2020-2021学年北师大版必修12.3函数的单调性学案

1、§3函数的单调性1保前基做情理wnaaaMj触物梳理知识I学习目标理解函数的单调性、最大(小)值的概念，掌握判断；和证明一些简单函数单 调性的方法. M促椅理1 .在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于 任意两数xi, X2C A,当xi<x2时、都有f(xi)<f(x2),那么，就称函数y = f(x)在区间A上是增加的、 有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的.2 .在函数y=f(x)的定义域内的一个区间 A上，如果对于任意两数xx x2C A,当xi <x2时、都有f(xi)>f(x2),那么，就称函数y=f(x)在区间A上是减少的、

2、有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的.练一练：若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)>f(b)，则a与b的大小关系是.答案：a<b3 .如果y= f(x)在区间A上是增加的或减少的,那么称A为单调区间.4 .如果函数v= f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称 函数y=f(x)在这个子集上具有 单调性.练一练：0, 3是函数f(x)定义域内的一个区间，若f(i)<f(2),则函数f(x)在区间0, 3上()A,是增函数B.是减函数C .不是增函数就是减函数D .增减性不能确定答案：D5 .如果函数v= f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的、我们分

3、别称这个 函数为增函数或减函数，统称为单调函数.箜5指星1 .理解函数的单调性应注意哪些问题？答：(1)单调性是函数在定义域内的 “局部”性质，即必须在定义域内的某 个区间内研究.(2)定义中的X1, X2具有任意性，不能通过取特殊值来替换.(3)也可利用"X1>X2时，f(X1)>f(X2)”来说明函数在某个区间上是递增的；用“X1>X2时，f(X1)<f(X2)”来说明递减.(4) “X1<X2"、“f(X1)<f(X2)”及“f(X)是递增的”这三者中，知道其中某两个 关系即可得第三个.递减的函数也具有类似性质.(5)一个函数具有多

4、个单调区间时，不能用并集符号“U”，可用“，”隔开1 ,区间.如函数y=1的单调递减区间为(8, 0), (0, +oo).X2 .定义法证明单调性的一般步骤是什么？答:(1)取值：任取X1 , X2CM且X1<X2.(2)作差：即整理f(X1) f(X2),可通过因式分解、配方、通分、分母有理化等 方法变形，直到利于判断差的符号为止.(3)判断差的符号(4)作结论.团堂互询描克卜蝴粉I羯律息w典网精折求显然函数的单调区间老画D 如图，两图分别为函数y= f(X)和y=g(X)的图像，试写出函数y=f(X)和y=g(X)的单调增区间.【解】函数f(X)的单调增区间为：1, 4), 4,

5、6.函数g(X)的单调增区间为:【方法总结】 借助图像直观写出单调区间，注意区间端点能否取到，多个 单调区间可用逗号隔开，一般不能用“Ux 3 , x w 1 ,空活学巧练l l作出函数f(x)=(X2) 2+3, x>1的图像，并指出函数f(x)的单调区间.解：f(x) =x 3, x w 1(x-2) 2 + 3, x>1的图像如图所示由图可知,x 3, x w 1函数f(x)=/ c、2 c ，的单调减区间为( 8,1和(1,2),单调增(x-2) 2 + 3,x>1,j ,八区间为2, +00).庭fe曝函数单调性的证明磨血 判断函数？(x) = x+1在(0, +o

6、o)上的单调性，并用定义证明. x1 ,【解】 函数？(x) = x+-在(0, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增. x11证明如下：任取 x1 ,x2C (0, +OO),且 x1<x2,则？(x1)?(x2)= 乂1+年如 十 工 x x2,、11,、,11.= (x1x2)+=(x1 x2) 1x1x2 , 当 0<x1<x2<1 时，0<x1x2<1, .>1,xi x2x 1x2x 11 一1- .1<0,又,x1 x2<0, . . ?(x1)?(x2)>0,即？(x1)>?(x2), . ?(x) = x

7、 + 一在(0,x1x2x11一一1)上单调递减；当 x2>x1>1 时，x1x2>1 ,<1 ,1>0.X x1 x2<0,?(x1)x1x2x1x2一 一1 ,-?(x2)<0 ,即？(x1)<?(x2),?(x) = x+在(1, +8)上单调递增.x【方法总结】按取值、作差、判断符号、下结论的步骤进行证明.变形是关键，常用方法有：因式分解、配方、分子(母)有理化、通分等.冬活学巧继2-J已知函数f(x)=x2+x，(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)在2, +8)上的单调性.解：(1)f(x)的定义域为x|xw0.任取 X1,

8、 X2 2 , +00),且 X1<X2,2 . 12 . 1X2-X1z则 f(X1) f(X2)= X1 + X2+ =(X1 + X2)(X1 X2)+=(X1 X IX2X1X2、，1X2) X1 + X2-X1X2 .X 1 X2由于 X1>2, X2>2,且 X1<X2,八 .1X1-X2<0, X1 + X2>X12,所以 f(X1)<f(X2),故f(X)在2, +8)上是单调递增函数.曜要 由单调性求参数值国 设f(X)是定义在(0, +8)内的增函数，且f(Xy) = f(X)+f(y),若f(3) =1,且f(a)>f(a1

9、)+2,求a的取值范围.【解】. f(Xy) = f(X) + f(y),且 f(3) = 1,. f(9)=f(3 X 3) = f(3) + f(3) = 2f=2.又 f(a)>f(a1) + 2,；f(a)>f(a1)+f(9),即 f(a)>f9(a 1).a> 0,由单调函数的概念得9 (a1) >0,解得1<a<9.8a>9 (a 1)故a的取值范围是1<a< 9.8【方法总结】抽象函数单调性问题，利用已知条件，把多个函数值和差的不等式转化为两个函数值的大小关系，利用单调性，转化为自变量的关系.要注 意定义域对字母取值的

10、影响.卒活学巧练3-1定义在(1, 1)上的函数f(X)满足f(x) = f(X),且f(1a) + f(1 2a)<0,若f(X)是(1, 1)上的减函数，求实数a的取值范围.解：由 f(1 a) + f(12a)<0,得 f(1-a)<-f(1-2a). f(x)= f(x), x(-1, 1), .f(1a)<f(2a1).又f(x)是(一1, 1)上的减函数,1<1 a<1,-1<1 -2a<1,1 -a>2a- 1,-2解彳导0<a<- 3故实数a的取值范围是0, 2 .3名刿相群里厦瓯 已知f(x)是定义在1, 1上

11、的增函数，且f(x 1)<f(1-3x),求x 的取值范围.【错解】f(x)是定义在1, 1上的增函数，且f(x 1)<f(1-3x),x-11<1-3x,解得 x<2.【错因分析】学生解此题时，只注意到了函数的单调性，未考虑函数的定义域，导致所求结果范围变大.【正解】f(x)是定义在1, 1上的增函数且f(x 1)<f(13x),0< x< 2,1<x K 1,2101 3x&1,即。* x<3'解得 0&x<1.；x 的取值范围是 0<x<2.x1<1 3x,1x<2,工口加 的孵飕

12、稳操胜券| 知识点一函数的单调性1.下列函数中，在区间(0, +°0)上为增函数的是()-21A. ?(x) = x -xB. ?(x) = :xC. ?(x)=1xD. ?(x)=x|答案：D2.如图，已知函数y= f(x)的图像，则函数的单调减区间为'3解析：从图像上可以看出y=f(x)在一8, 2 , 0, +8)分别递减，.其 递减区间为3一 8， - , 0 , +°°).3答案：一00, -, 0, +°0)知识点二 函数单调性的应用3.如果函数f(x)=x2 + 2(a1)x+2在区间4, +s)上是递增的，那么实数 a的取值范围是

13、()A.a&3B.a) 3C. a<5D . a>5解析：由题意知，2 (a”4,解得a>3.答案：B4 .函数y=f(x)在R上单调递增，且f(4m+5)>f( m),则实数m的取值范 围是.解析：,y=f(x)在 R 上单调递增，且 f(4m+5)>f( m), ；4m+5> m,即 m> 1.答案：(一1,十8)x-a5 .已知函数？(x) = F(a>b>0),判断？(x)在(一b,十)上的单调性，并证 入 r kJ明.解:x+a x+ b+ a b?仅)-x+ b- x+ bab1 + -a>b>0,a- b>0, .,.?仅)在(一13, 十°°)上单调递减.证明:、ra ba- b设 X1, X