第二章 学案5 用样本频率分布估计总体分布

1、人教人教A A数学数学必修必修学案学案5 5用样本的频率分布估计总体分布用样本的频率分布估计总体分布人教人教A A数学数学必修必修人教人教A A数学数学必修必修 1.1.将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的，叫做该，叫做该组的组的，每组频数除以，每组频数除以的个数即得该组的的个数即得该组的. . 2.2.当总体很大或不便于获得时当总体很大或不便于获得时, ,可以用可以用估计总体估计总体的频率分布的频率分布, ,反映总体频率分布的表格称为频率分布表反映总体频率分布的表格称为频率分布表. . 3.3.以横轴表示以横轴表示, ,纵轴表示纵轴表示的比值的

2、比值, ,以每个组距为底以每个组距为底, ,以各频率除以组距的商为高以各频率除以组距的商为高, ,分别画成矩形分别画成矩形, ,这样就得到了频率分布直方图这样就得到了频率分布直方图. . 4.4.把频率分布直方图中各个长方形上端的把频率分布直方图中各个长方形上端的顺次连接起来顺次连接起来, ,就得就得到频率分布折线图到频率分布折线图. .返回返回个数个数频数频数全体数据全体数据频率频率样本的频率分布样本的频率分布样本分组样本分组中点中点人教人教A A数学数学必修必修 5.5.频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势, ,如果将样本容如果将样本容量

3、取得足够大量取得足够大, ,分组的组距取得足够小分组的组距取得足够小, ,则相应的频率分布折线图将越来越则相应的频率分布折线图将越来越接近于一条接近于一条, ,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. .6.6.当样本的数据较少当样本的数据较少, ,且最大数是两位有效数字时且最大数是两位有效数字时, ,用中间的数字表示用中间的数字表示, ,即第一个有效数字即第一个有效数字, ,两边的数字表示两边的数字表示, ,即第二个有效即第二个有效数字数字, ,它的中间部分像植物的茎它的中间部分像植物的茎, ,两边部分像植物茎上长出的叶子两边部分像植物茎上长出的叶子, ,因此因

4、此, ,通通常把这种图叫做茎叶图常把这种图叫做茎叶图. .返回返回光滑曲线光滑曲线y y=f f(x x)十位数十位数个位数个位数人教人教A A数学数学必修必修返回返回人教人教A A数学数学必修必修学点学点1 1列频率分布表列频率分布表, ,画频率分布直方图、频率分布折线图画频率分布直方图、频率分布折线图返回返回本题考查频率分布直方图的画法本题考查频率分布直方图的画法. .对某电子元件进行寿命追踪调查对某电子元件进行寿命追踪调查, ,情况如下情况如下: :(1)(1)列出频率分布表列出频率分布表; ;(2)(2)画出频率分布直方图及折线图画出频率分布直方图及折线图; ;(3)(3)估计电子元件

5、寿命在估计电子元件寿命在400 h400 h以上的电子元件出现的频率以上的电子元件出现的频率. .(1)(1)频率分布表如下频率分布表如下: :人教人教A A数学数学必修必修用样本的频率分布估计总体的分布时用样本的频率分布估计总体的分布时, ,要使样本能够很好地反映总体要使样本能够很好地反映总体的特性的特性, ,必须随机抽取样本必须随机抽取样本. .由于样本的随机性由于样本的随机性, ,可以想到可以想到, ,如果随机抽取另如果随机抽取另外一个样本外一个样本, ,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同同. .但是但是, ,它们都

6、可以近似地看作总体的分布它们都可以近似地看作总体的分布. .(2)(2)频率分布直方图及折线图如图频率分布直方图及折线图如图2-5-1.2-5-1.图图2-5-12-5-1(3)(3)由频率分布表可知由频率分布表可知, ,寿命在寿命在400 h400 h以上的电子元件出现的频率为以上的电子元件出现的频率为0.20+0.20+0.15=0.35.0.15=0.35.返回返回人教人教A A数学数学必修必修下面列出下面列出4343位美国历届总统位美国历届总统( (从从17891789年的华盛顿到年的华盛顿到20012001年的小布什年的小布什) )的就任年的就任年龄龄: :5757616157575

7、757585857576161545468685151494964645050484865655252565646465454494951514747555555555454424251515656555551515454515160606262434355555656616152526969646446465454(1)(1)分别以分别以5 5和和4 4为组距画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图为组距画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图, ,并用自己并用自己的语言描述一下历届美国总统就任年龄的分布情况的语言描述一下历届美国总统就任年龄的分布情况; ;(2)(2)两次所作的频率分布直方

8、图及折线图相同吗两次所作的频率分布直方图及折线图相同吗? ?试分别估计就任年龄在试分别估计就任年龄在5555岁以岁以下的频率下的频率, ,并与实际频率作比较并与实际频率作比较. .返回返回(1)(1)以以5 5为组距为组距, ,如下表如下表: :人教人教A A数学数学必修必修返回返回频率分布直方图如图所示频率分布直方图如图所示, ,折线图略折线图略. .以以4 4为组距为组距, ,列表如下列表如下: :人教人教A A数学数学必修必修返回返回频率分布直方图如图所示，折线图略频率分布直方图如图所示，折线图略. .可见历届总统的就任年龄可见历届总统的就任年龄90%90%集中在集中在45654565岁

9、之间岁之间. .（2 2）不相同）不相同. .以以5 5为组距的分析方案，就任年龄在为组距的分析方案，就任年龄在5555岁以下的频率为岁以下的频率为0.4883.0.4883.以以4 4为组距的分析方案为组距的分析方案, ,就任年龄在就任年龄在5555岁以下的频率为岁以下的频率为0.5115.0.5115.实际就任年龄在实际就任年龄在5555岁以下的频率为岁以下的频率为0.4419.0.4419.人教人教A A数学数学必修必修学点学点2 2频率分布直方图的应用频率分布直方图的应用为了了解高一学生的体能情况为了了解高一学生的体能情况, ,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试某校抽取部分学生进行

10、一分钟跳绳次数测试, ,将将所得数据整理后所得数据整理后, ,画出频率分布直方图画出频率分布直方图( (如图如图2-5-22-5-2所示所示), ),图中从左到右各小长方图中从左到右各小长方形面积之比为形面积之比为2 2：4 4：1717：1515：9 9：3,3,第二小组频数为第二小组频数为12.12.图图2-5-22-5-2(1)(1)第二小组的频率是多少第二小组的频率是多少? ?样本容量是多少样本容量是多少? ?(2)(2)若次数在若次数在110110以上以上( (含含110110次次) )为达标为达标, ,试估计该校全体高一学生的达标率是多试估计该校全体高一学生的达标率是多少少? ?返

11、回返回人教人教A A数学数学必修必修（1 1）频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明）频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到题意中看不清楚的信息和数据模式分布的形状，使我们能够看到题意中看不清楚的信息和数据模式. .(2)(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性, ,由抽样的由抽样的代表性代表性, ,利用样本在某一范围内的频率利用样本在某一范围内的频率, ,可近似地估计总体在这一范围内的可近似地估计总体在这一范围内的可能性可能性. .本题考查频率分布直方图本题考查频率分布直方

12、图. .(1)(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小频率大小, ,因此第二小组的频率为因此第二小组的频率为. .又因为频率又因为频率= = , ,所以样本容量所以样本容量= =150.=150.(2)(2)由图可估计该校高一学生的达标率约为由图可估计该校高一学生的达标率约为 100%=88%.100%=88%.故第二小组的频率是故第二小组的频率是0.08,0.08,样本容量是样本容量是150150，高一学生达标率是，高一学生达标率是88%.88%.返回返回人教人教A A数学数学必修必修在学校开展的综合实践活

13、动中在学校开展的综合实践活动中, ,某班进行了小制作评比某班进行了小制作评比, ,作品上交时间为作品上交时间为5 5月月1 1日至日至3030日日, ,评委会把同学们上交作品的件数按评委会把同学们上交作品的件数按5 5天一组分组统计天一组分组统计, ,绘制了频率分绘制了频率分布直方图布直方图( (如图如图2-5-32-5-3所示所示). ).已知从左到右各长已知从左到右各长方形的高的比为方形的高的比为2 2：3 3：4 4：6 6：4 4：1,1,第三组的第三组的频数为频数为12,12,请解答下列问题请解答下列问题: :(1)(1)本次活动共有多少件作品参加评比本次活动共有多少件作品参加评比?

14、 ?(2)(2)哪组上交的作品数最多哪组上交的作品数最多? ?有多少件有多少件? ?(3)(3)经过评比经过评比, ,第四组和第六组分别有第四组和第六组分别有1010件、件、2 2件作品获奖件作品获奖, ,问这两组哪组获奖率较高问这两组哪组获奖率较高? ?图图2-5-32-5-3返回返回人教人教A A数学数学必修必修返回返回人教人教A A数学数学必修必修茎叶图在数据较少茎叶图在数据较少, ,较为集中时比较适用较为集中时比较适用, ,由于较好地保留了原始数由于较好地保留了原始数据据, ,所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布, ,还可以用来分析样本数还可以用

15、来分析样本数据的一些数字特征据的一些数字特征. .学点学点3 3茎叶图的应用茎叶图的应用本题考查茎叶图本题考查茎叶图. .返回返回某中学高一某中学高一(1)(1)班甲、乙两名同学自高中以来每次数学考试成绩情况如下班甲、乙两名同学自高中以来每次数学考试成绩情况如下: :甲的得分甲的得分:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107乙的得分乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,97,102:83,86,93,99,88,103,98,11

16、4,98,79,101,97,102作出两人数学成绩的茎叶图作出两人数学成绩的茎叶图, ,并根据茎叶图对两人成绩进行比较并根据茎叶图对两人成绩进行比较. .由已知数据可得由已知数据可得: :选择选择6,7,8,9,10,116,7,8,9,10,11作为茎作为茎, ,个位数个位数字为叶字为叶, ,则甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图则甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图2-5-4.2-5-4.从茎叶图中可以看出乙同学得分情况大致对称从茎叶图中可以看出乙同学得分情况大致对称, ,中位中位数是数是98,98,较集中在较集中在9090多分多分. .甲同学得分也大致对称甲同学得分也大致对称, ,中位数是中位数是

17、88,88,较集中在较集中在8080多分多分, ,因此乙同学成绩较好因此乙同学成绩较好, ,发挥比较稳定发挥比较稳定. .图图2-5-42-5-4人教人教A A数学数学必修必修某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下: :甲的得分甲的得分:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.乙的得分乙的得分:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51

18、.（1 1）画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图；画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图；（2 2）根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平）根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平. .返回返回按照作茎叶图的方法首先画出茎叶图按照作茎叶图的方法首先画出茎叶图, ,然后分析然后分析. .(1)(1)作出茎叶图如下作出茎叶图如下: :(2)(2)由上面的茎叶图可以看出由上面的茎叶图可以看出, ,甲运动员的甲运动员的得分情况是大致对称的得分情况是大致对称的, ,中位数是中位数是36;36;乙运动员乙运动员的得分情况除一个特殊得分外的得分情况除一个特殊得分外, ,也大致对称也大致对称, ,中中位数是位数是26.2

19、6.因此，甲运动员的发挥比较稳定因此，甲运动员的发挥比较稳定, ,总体得总体得分情况比乙运动员好分情况比乙运动员好. .人教人教A A数学数学必修必修返回返回如何理解用样本的频率分布估计总体分布如何理解用样本的频率分布估计总体分布? ?用样本的频率分布估计总体的分布时用样本的频率分布估计总体的分布时, ,要使样本能够很好地反映总体的特要使样本能够很好地反映总体的特征征, ,必须随机抽取样本必须随机抽取样本. .由于抽样的随机性由于抽样的随机性, ,当抽取的样本变化时当抽取的样本变化时, ,所形成的样本所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不

20、同. .但是但是, ,它们都可以近似地看作它们都可以近似地看作总体的分布总体的分布. .人教人教A A数学数学必修必修返回返回1 1. .画频率分布直方图时画频率分布直方图时 (1) (1)决定组距与组数决定组距与组数, ,将数据分组时将数据分组时, ,组数应力求合组数应力求合适适, ,以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来. .这时应注意这时应注意: :一般样本容量越大一般样本容量越大, ,所分组数越多所分组数越多; ;为方便起见为方便起见, ,组距的选择应力求组距的选择应力求“ “取整取整”; ”;当样本容量不超过当样本容量不超过100100时时, ,按照

21、数据的多少按照数据的多少, ,通常分成通常分成512512组组. .2 2. .在频率分布直方图中在频率分布直方图中, ,纵轴表示纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积的总和等于小长方形的面积表示，各小长方形的面积的总和等于1.1.人教人教A A数学数学必修必修C C返回返回1.1.一个容量为一个容量为100100的样本的样本, ,其数据的分组与各组的频数如下其数据的分组与各组的频数如下: :则样本数据落在（则样本数据落在（1010，4040上的频率为（）上的频率为（）A.0.13A.0.13B.0.39B.0.39C.0.52C.

22、0.52D.0.64D.0.64落在落在(10,40(10,40的样本频数为的样本频数为13+24+15=52,13+24+15=52,所以其频率为所以其频率为 =0.52.=0.52.故应选故应选C.C.人教人教A A数学数学必修必修返回返回D D由题意知样本在由题意知样本在(-,50(-,50上的频数为上的频数为14.14.频率为频率为 . .故应选故应选D.D.2.2.一个容量为一个容量为2020的样本数据，分组后，组距与频数如下：的样本数据，分组后，组距与频数如下：(10,20(10,20,2; ,2; (20,30(20,30, ,3;(30,403;(30,40,4;(40,50,4;(40,50,5;(50,60,5;(50,60,4;(60,70,4;(60,70,2,2，则样本在区间（，则样本在区间（ ,50,50上上的频率是（）的频率是（）人教人教A A数学数学必修必修返回返回D D3.3.观察新生婴儿的体重观察新生婴儿的体重, ,其频率分布直方图如图其频率分布直方图如图2-5-52-5-5所示所示