完整全等三角形专题构造全等三角形方法总结,推荐文档

1、专题：构造全等三角形利用三角形的中线来构造全等三角形倍长中线法倍长中线法：即把中线延长一倍,来构造全等三角形.1、如图 1,在 ABC43,G图1AD是中线,BE交AD于点F,且AE= EF.试说明线段AC与BF相等的理由.简析 由于AD中线,于是可延长 AD到G使DG= AD连结BG那么在AC前 AGBD, AD= GD / ADO / GDB CD= BD 所以4 AC挈 GBDSAS , 所以 AC= GB / CAD= / G 而 AE= EF,所以/ CAD= / AFE又 / AFE = /BFG 所以/ BFG= / G 所以 BF= BG 所以 AC= BF.说明 要说明线段或

2、角相等,通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等,而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形.利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图,在 ABC中,AD平分/ BAC.在 AB上截取 AE=AC ,连结 DE.可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形.ED=CD , ZAED=ZC . ZADE=ZAD0法二：如图,在 ABC中,AD平分/ BAC.延长 AC至U F ,使AF=AB ,连结 DF.可以利用角平分线所在直线作对称轴.翻折三角形来构造全等三角形.戴氏教育集团BD=FD . /B=/F. ZADB=ZADFfl法三：在 ABC中,AD平分/ BAC.

3、作DM,AB于M , DN ±AC于N.可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形b o DM=DN . AM=AN. NADM=NAND0还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等"来证 DM=DN 2、：如图,在四边形ABCD 中,BD是/ ABC的角平分线, AD=CD ,求证：/ A+/C=180法一：证实：在 BC上截取BE,使BE=AB ,连结DE BD是/ABC的角平分线法二：延长 BA至I F,使BF=BC ,连结DF BD是/ABC的角平分线./ 1 = /2 角平分线定义在4ABD和4EBD中AB=EB / 1 = /2 已证BD=BD

4、 公共边 A ABD EBD S.A.S./ 1 = /2 角平分线定义在 BFD和 BCD中BF=BC /1=/2 已证BD=BD 公共边A BFDA BCD S.A.S/A = /3 全等三角形的对应角相等AD=DE 全等三角形的对应边相等AD=CD ,AD=DE 已证.DE=DC 等量代换./ 4=/C 等边对等角 /3+ 24=180°平角定义,/A = / 3 已证Z A+ /C=180° 等量代换法三：作 DM,BC于M , DN,BA交BA的延长线于 N BD是/ABC的角平分线./ 1 = /2 角平分线定义DN ± BA , DM ±B

5、C ：/ N= / DMB=90 垂直的定义在 NBD和 MBD中/N=/DMB 已证/ 1 = /2 已证BD=BD 公共边 A NBDA MBD A.A.SND=MD 全等三角形的对应边相等DN ± BA , DM ±BC . .NAD 和 MCD 是 RtA在 RtANAD 和 RtVICD 中ND=MD 已证AD=CD RtANAD RtzlCD H.L / 4=/C 全等三角形的对应角相等 /3+ 24=180° 平角定义,/ A = / 3 已证Z A+ /C=180° 等量代换法四：作 DM LBC于M , DNLBA交BA的延长线于 N

6、BD是/ABC的角平分线DN ± BA , DMXBC ND=MD 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. .NAD 和 MCD 是 RtA在 RtANAD 和 RtVICD 中ND=MD 已证AD=CD RtANAD RtzlCD H.L /4=/C全等三角形的对应角相等 /3+ 24=180° 平角定义/ A = / 3 已证/F=/C 全等三角形的对应角相等DF=DC 全等三角形的对应边相等AD=CD ,DF=DC 已证DF=AD 等量代换4=/ F 等边对等角 / F=/ C 已证./ 4=/C 等量代换 /3+ Z 4=180° 平角定义Z A+ /C=

7、 180° 等量代换Z A+ /C=180° 等量代换利用高可以高线为对称轴构造全等三角形3、在 4ABC 中,AD ± BC ,假设/ 0=2ZB.试比较线段 BD与A0+0D的大小.简析 由于ADXB0,所以可在 BD上截取DE = DC,于是可得 ADEA AD0 (SAS),所以 AE = AC, /AED = /C,又/ 0=2/ B,所以/ AED = 2ZB,而/ AED = / B+ Z BAE, 即/B=/BAE,所以 BE = AE = A0,所以 BD = BE+DE = AE+DE = AC+CD .说明 利用三角形高的性质,在几何解题时,

8、可以高线为对称轴构造全等三角形求解.利用特殊图形可通过旋转变换构造全等三角形4、设点P为等边三角形ABC内任一点,试比较线段 PA与PB+PC的大小.简析 由于 ABC是等边三角形,所以可以将 ABP绕点A旋转60°到AACP'的位置,连结 PP',那么 AACPS ABP (SAS),所以 AP'= AP, CP'= BP, APP'是等边三角形,即 PP = PA,在 CPP'中,由于 PP'v PC+PC,所以 PAvPB+PC.说明由于图形旋转的前后,只是位置发生了变化,而形状和大小都没有改变,所以对 于等边三角形、正方

9、形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题.网用利用平行线构造全等三角形5、 ABC 中,AB =AC, E是AB上任意一点,延长 AC至ij F,连接EF交BC于M,且EM=FM试说明线段BE 与CF相等的理由.简析 由于BE与CF的位置较散,故可考虑将线段 CF平移到ED,所以过点E作ED/ CF ,贝U / EDB = / ACB, / EDM = / FCM,由于 EM = FM , / EMD = / FMC ,所以 EMDFMC (AAS),所以 ED=CF,又由于 AB=AC,所以/ B=/ACB,即/B=/EDB, 所以EB=ED,所以BE = CF.说明这里通过

10、辅助线将较散的结论相对集中,使求解的难度降低.综合练习1、如图, ABC中,AD是/ BAC 的角平分线, AB=AC+CD ,求证：/ C=2 / B 法一：证实：在 AB上截取AE ,使AE=AC ,连结 DE. AD是/ BAC的角平分线()1 = /2 角平分线定义 在 AED和 ACD中AE=AC Z 1=72 已证AD=AD 公共边AEDA ACD S.A.SZC = Z 3 全等三角形的对应角相等 ED=CD 全等三角形的对应边相等又 AB=AC+CD=AE+EB EB=DC=ED 等量代换.Z B=/4 等边对等角 /3= / B+/4= 2/B 三角形的一个外角等于和它不相邻

11、的两个内角和C=2Z B 等量代换 法二：延长 AC至ij F,使CF=CD ,连结DF. AD是/ BAC的角平分线1 = /2 角平分线定义 AB=AC+CD , CF=CD AB=AC+CF=AF 等量代换在 ABD和 AFD中 AB=AF 已证/1=/2已证 AD=AD 公共边ABDA AFD S.A.S/F = /B 全等三角形的对应角相等 CF=CD B=/3 等边对等角 Z ACB= 2/F 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 丁./ ACB=2 / B 等量代换2、如图,直线 MN / PQ,且AE平分/ BAN、BE平分/ QBA , DC是过E的任意线 段,交 MN于点D,交PQ于点Co求证：AD+AB=BC .法一：证实：延长