完整版概率论与数理统计复习题答案

1、上海第二工业大学?概率论与数理统计?复习题一、填空题1 .P(A B) = P(A),那么A与B的关系是 独立.2 .A,B互相对立,那么A与B的关系是 互相对立3 . A,B 为随机事件,P(A)=0.4, P(B)=0.3, P( AU B) = 0.6 , WJ P(aB)= 0.34 . P(A)=0.4, P(B)=0.4, P(AUB)=0.5,那么 P(A,jB)= 0.7.5 . A,B 为随机事件,P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A B) =0.5 , WJ P(B A) =_2 _ 一3 一6 .将一枚硬币重复抛掷3次,那么正、反面都至少出现一次的概率为0.75

2、.7 .设某教研室共有教师11人,其中男教师7人,现该教研室中要任选3名为优秀教师,那么3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为 .338 .设一批产品中有10件正品和2件次品,任意抽取2次,每次抽1件,抽出后 不放回,那么第2次抽出的是次品的概率为 1 o6 -1 1 19. 3人独立破译一密码,他们能单独译出的概率为-,-,-,那么此密码被译出的5 3 4概率为3.5 10.随机变量X能取-1,0,1 ,取这些值的概率为c,3c,5c,那么常数c=.2 4 8- 15一k11.随机变量 X 分布律为 P(X =k) = ,k =1,2,3,4,5, WJ P(X >3X < =

3、0.4 .15012. F(x) =10.41x :-2,-2 Ex M0,是X的分布函数,那么X分布律为x -0X1Pi-200.4 0.6二、 3< 一)03 2 一Q13 .随机变量X的分布函数为F(x)=sinx,I1,14 .随机变量 X N(1.04, 1) , P(X W3) =0.975 , P(XW0.92)= 0.025.15 .设 X N(3,22),假设 P(X >C) = P(X EC),那么 C =_3_.(注：(0) = 0.5)16 .设 X N(N,.2),其分布函数为 F(x),那么有 F(N+xo) + F(N -xn)=7117.随机变量X的

4、分布律为40.220.740.1,那么随机变量函数Y = sin X的分布律为0.30.718.随机变量X的概率分布为X -11y卜那么Y=2X +1的分布函数为y ： - 1, -1<y<3,_0y _3.,0 Fy(y)n/119.假设X服从的分布是N(0,1),那么2X+1服从的分布是 N(1,4)一.20.设 X N(2,9),YN(1,16),且 X,Y 相互独立,那么 X+Y _ N(3,52).21 .假设X 口 B m p UYB( n, pX ,Y独立,那么X +Y服从的分布是B(m +n, p)_022 . X P(%),Y_ P(%) , X,Y 独立,那么

5、X+Y服从的分布是P(%+%).23 .随机变量 X B(5,0.2),那么 E(2X+3)=5, D/2X+3)= 3.2.24 .随机变量 X|_U (0,2 ),那么 E(X 3)= -4, D(X-3)=1.325 .设随机变量XX2,X3相互独立,其中X1在0,6上服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为 九=3的泊松分布,记 Y = X1-2X2+3X3, MEY =_12.1 n26 .假设X1,X2,Xn是取自总体X N(N产2)的一个样本,那么X =-H Xi服从 n -2一N(一)一. n27 .设夕是e的无偏估计,那么夕必须满足条件E (的=日.1 一

6、28 .总体X以等概率取值1,2,8 ,那么未知参数日的矩估计量为 2X-10e-X29 .设Xi,X2,.,Xn为X的样本,X LI B(5, p),那么关于p的矩估计量是一-5 30.设由来自正态总体 X N (氏0.92)容量为9的简单随机样本,得样本均值X =5,那么未知参数N的置信度为0.95的置信区间为4.412,5.588 _.(附：% = 1.96) 方二、选择题1 .设A, B为两随机事件,且BuA,那么以下式子正确的选项是(A ).(A) P(A+B) =P(A)(B) P(AB)=P(A)(C) P(B A) = P(B) (D)P(BA) =P(B) P(A)2 .事件

7、 A,B 满足：P(AB)=0.2,P(B)=0.5,P(AB)=0.8,那么 P(AUB尸(A ).(A) 0.7(B) 0.3(C) 0.6(D) 0.83 .连续型随机变量分布函数F(x)=【a'be 'x>0 ,其中常数a,b值为(C ).0, x < 0(A) a=1,b=1(B) a=0,b=1 (Q a=1,b = 1(D) a=1,b=14 .假设f(x) =2x可以成为某随机变量X的概率密度函数,那么随机变量X的可能值充满区间(B ),(A) (0,0.5)(B) (0,1)(C) 0*)(D) 5F5 .当随机变量X的可能值充满区间(A ), 那

8、么f(x) = cosx可以成为某随机变 量X的密度函数.37(A) 0-(B) -,n(C) 0川(D) -n,-n22246.随机变量X服从参数1 =1/8的指数分布,那么P(2<X <8)= ( D )08 -xO 8 -x1 _1d(C) -(e4-e-1)8T-1(D) e 4 -e 17.随机变量X服从xLI n(R,.2),假设仃增大,那么P(<3仃)(D ).B) £ e 8 dx(B) - 1 e 8 dx(C)单调增大(B)单调减小(C)增减不定(D)保持不变18 .设随机变量X的概率密度f(x)=',那么Y=2X的概率密度是(B ) 二

9、(1 x )1211(A)(B) 2-(C) (D) 1 arctan y二(1 4y )二(4 y )二(1 y )二9 .关于联合分布与边缘分布的关系,以下结论错误的选项是( C )0(A)二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布(B)二维均匀分布的两个边缘分布未必是均匀分布(C)边缘分布可以唯一确实定联合分布(D)联合分布可以唯一确实定边缘分布10 .设(X,Y)的联合分布函数为F(x, y),那么其边缘分布函数Fx(x)= ( B )(A) limF(x,y)(B) lim F(x, y)、一；-'：(C) F(0,y)(D) F(x,0)11.随机变量X,Y相互独立,且*00.

10、210.8,Y010.2 0.87,那么必有(C )o(A) X =Y(B) P(X =Y) =0(Q P(X=Y)=0.68(D) P(X=Y) = 1.12.关于正态分布的结论中错误的选项是( C ).(A)服从正态分布的随机变量的任一线性变换后仍然服从正态分布(B)边缘分布是正态分布,联合分布不一定是正态分布(C)联合分布是正态分布,边缘分布不一定是正态分布(D)正态分布的数学期望决定了密度函数的对称轴,方差决定了密度函数的陡 峭程度13.离散型随机变量X服从二项分布,且EX =2.4,DX =1.44 ,那么二项分布的参数n, p的值为(B(A) n =4, p =0.6(B) n=6

11、,p=0.4(C) n =8, p =0.3(D) n =24, p =0.114.随机变量离散型随机变量X的可能取值为x1 =-1, x2 = 0, x3 = 1 ,且EX =0.1, DX =0.89 ,那么对应于 Xi,X2,X3 的概率 Pi, p2, P3为(A ).(B) P1 =0.4, P2 =0.1,p3 =0.5(B) pi =0.1, P2 =0.4, P3 =0.5(C) pi =0.5, P2 =0.1, P3 =0.4(D) pi = 0.4, P2 =0.5, P3 = 0.115 .设随机变量X f(x) =0.5eJ3.5x,(x>0),那么以下计算正确

12、的选项是(C ).(A) E(X)=0.5(B) D(X)=2(C) E(2X 1) =5(D) D(2X+1) =9 rZexx>0.16 .设随机变量X密度函数为f(x)=,E(X) = 1/2EYP)九,x 其他那么以下计算正确的选项是(D ).(A) E(Y) =2,D(Y) =4( B) D(2Y2) = 6(C) E(Y2)=42(D) E(Y+1) =1117.总体X服从参数人的泊松分布(九未知),X1,X2,.,Xn为X的样本,那么(C ).1 n -、一(A) -Z Xj -九是一个统计量n i 二1 n-、一(B) -Z XEX是一个统计量n i 二n(C) 1Z X

13、：是一个统计量 n id1 n(D),£ X：-DX是一个统计量 n id18.设总体X N(H.2),其中N,仃2未知.X1,X2,X3是取自总体X的一个样本,那么非统计量是(D )0一、1,、(A) (X1 X2 X3) 3(C) max： X1,X2,X3)19.人的体重为随机变量X, E(X)=a那么(A ).(A)E(Y) = a(B)(8) X1X2 2,一 1222(D) (X1 +X2 +X3 ). CTD(X) = b, 10个人的平均体重记为Y,E(Y) =0.1 a(C) D(Y) =0.01 b(D)D(Y) = b20.设X服从正态分布N(1,32) , X

14、1,X2,X9为取自总体X的一个样本,那么X -1(A) U-N(0,1)3/、X -1(C)N(0,1)9X 一 1(B)N(0,1)1X 一 1(D) X 1N(0,1)321.设X服从正态分布N(1,22), X1,X2,Xn 为 X 的样本,那么(C ).(A) N(0,1) 2X -1(C) X 1 -N(0,1)2 _ 、n(B)左N(0,1)(D)X -1.2N(0,1)n22.设X服从正态分布,EX =-1,EX11 361 .1.1.二X1一X2-X3 , 33 =4,X =1£ Xj ,那么X服从(A ). n t3、11 1(A) N(-1,-)(B) N(-1

15、,1)(C) N( ,4)(D) N(-)nnn n23 .从总体XN(H,.2)中抽取样本X1,X2,Xn,以下结论错误的选项是(B )1 n(A)1£ Xi服从正态分布n y1 n(C) D(-x Xi);n i 12 CTn(B)为£ (XX)2服从 *(n)二 y1 n(D) E( Xi)=n y24 .设.2是总体X的方差存在,XhX2,.,Xn为X的样本,以下关于N无偏估计量的是(D ).(A) max(X1,X2,Xn)( B) min(X1,X2,Xn)(C)1n -1n- Xii 1(D) X125.从总体X N(R,.2)中抽取简单随机样本X1,X2,X

16、3,统计量A3114X2 1X3,1224="2X22X3555C ).都是总体均值EX =卜的无偏估计量,那么其中更有效的估计量是(A) h(B)e(C)?(D)心26 .设仃2是总体X的方差,X1,X2,., Xn为X的样本,那么样本方差S2为总体方差仃2的(C ).(A)矩估计量(B)最大似然估计量(C)无偏估计量(D)有偏估计量27 .设(与仇)是参数日置信度为1-s的置信区间,那么以下结论正确的选项是(C ).(A)参数8落在区间(田,斗)之内的概率为1-3(B)参数日落在区间(包,与)之外的概率为a(C)区间(0,4)包含参数日的概率为1(D)对不同的样本观察值,区间(口

17、,仇)的长度相同28 .设a为总体X的未知参数,力仇(81 <仇)为样本统计量,随机区间(日1,仇)是 日的置信度为1 -仪(0 <« <1)的置信区间,那么有(B )(A) p(4<e<4)=a(B) P(01 <0 <02)=1-0(C) P(u2)=1-二,(D) P( ,=：29 .在假设检验中,Ho表示原假设,H1表示对立假设,那么称为犯第一类错误的 是(A ) o(A) 也不真,接受H1(B)也不真,接受Ho(C) H0不真,接受Ho(D)H0不真,接受H130 .总体 X 口 N,.2 ),样本 X1,X2*l,Xn ,假设才金

18、验 Ho： N =5,H1 :卜 #也,那么H 0的拒绝域为(D )(A)X二 /、n:u,z2(C)卜,_0 :二 tn -1S/ ；n 2X J.、产 u uo(珞7n 2X L(D)芦 >ta(n-1)S/Vn 3(B)C3 4P(B A)=妾=0.8C20(2)取到白球是从甲盒中取出的概率P(A B)=4.设一盒中有5个纪念章,编号为1,2, 3, 4, 5,在其中等可能地任取3个,二、计算题1.某厂生产的100个产品中,有95个优质品,采用不放回抽样,每次从中任取 一个,求：(1)第一次抽到优质品；(2)第一次、第二次都抽到优质品；(3)第 一次、第二次都抽到优质品、第三次抽到

19、非优质品的概率.解：设A：第i次取到优质品,(i =1,2,3),八95一95 94(1) P(A)=0.95;(2) P(AA2)= 0.9020;100100 99,一 一 95 94 5(3) P(AA2 A$) = 1 1 = 0.0460.100 99 982 .玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各多!中含0, 1只残次品的概率分别为0.8 和0.2, 一个顾客欲购置一箱玻璃杯,在购置时顾客开箱验货,顾客随机的观察 了4只,假设无残次品那么购置下该箱玻璃杯,否那么退回.试问：顾客购置该箱玻璃 的概率.解：设A = 箱中有i只残次品打=0,1, B = 4只均无残次品,且：P(A0) =

20、0.8, P(A)=0.2, P(B|A0)=1,P(B) = P(4)P(B 4) + P(A)P(B A) = 0.8 1+0.2 0.8=0.963 .有甲、乙、丙三个盒子,其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个 白球、三个白球和三个黑球.掷一枚骰子,假设出现 1, 2, 3点那么选甲盒,假设出现 4点那么选乙盒,否那么选丙盒.然后从所选中的盒子中任取一球.求：(1)取出的球是白球的概率；(2)当取出的球为白球时,此球来自甲盒的概率.解：B:取到白球,B ：取到黑球；A：甲盒；A2:乙盒；A3：丙盒(1)取到白球的概率 p(A) = p(A)P(b A) + p(a2)P(b a2

21、) + p(A)P(b a3)用X表示取出的3个纪念章上的最大号,求：(1)随机变量X的分布律；(2) 分布函数 解：设X为取出的3个纪念章上的最大号,那么 X的可能取值为3,4,5 ;£一9.c3 io'1133P(X=3)F 二万 P-4)= 5r 方 P-5)O x<3于是X的分布律为X 345 、P 0.1 0.3 0.6,0.1, 3Mx<4 F(x)=0.4, 4 <x<51 , x 之 55 .某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度函数2、100/x2,x _100f (x)= 0, otherwise(1)试求一个电子管

22、使用150小时不用更换的概率；(2)某一电子设备中配有10个这样的电子管,电子管能否正常工作相互独立,设随机变量Y表示10个电子管中使用150小时不用更换的个数,求Y的分布律.解：(1)设电子管的寿命为随机变量 X, P(X >150)=亡f (x)dx=j8 100dx 150150 x 3(2)设10个电子管中使用150小时不用更换的个数为随机变量 Y,那么依题 意,YB(10,|), P(Y=k)=C1k0(2)k(1)10,k =0,1,2,.,10. 3336 .某人有9把钥匙,其中只有一把能翻开一门.今任取一把试开,不能翻开者 除去,求翻开此门所需要试开次数(记为随机变量 X

23、 )的数学期望和方差.解：设X翻开门的次数,X可能取值为1,2,3,9.1P(X -1)=-P(X =2) =8P(X = 3) n g8 71P(X =9) = ?29 8X 1 211P 9 9所以,131 .991 ,于是9)EX =1 1 2 1+9 1一 1 11= (1+ +9)/一=45/一 =5 ,9922 1212122195EX2 =12m +22 x- +92 父=(12 +92)m= , 999932295220DX =EX2 -(EX)2 = -52 = . 337.设随机变量X的概率密度为“x)9""0.(1 , EX=0.6;0, otherw

24、ise试求：(1)常数 a,b； (2) DX ; (3)设丫 = 3"求£丫,、 国1b ob斛：(1) ( f (x)dx = ( (a+bx)dx =(ax + x ) 0 = a+=1;022长.1a 2 b 31abEX = j xf (x)dx = f x(a + bx)dx = (x +- x ) 0 = - +- = 0.6 ;s 、,.、232 3于是,a=0.4,b=1.2一一1_,一、9w 9 _'9(2) EX = x f (x)dx x (a bx)dx =(.：、 ,00.4 3 1.2一 x 一x4)1 _2+2650 -15 10 -

25、T5q 5226521 1DX =EX2 -(EX)2 =-(0.6)2 =.150150(3) EY =.-he1ex f (x)dx = ° ex(0.4 1.2x)dx =0.4(e 2)8 .某地抽样调查结果说明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60-84 分之间的概率.附表:x00.51.01.52.02.53.06(x)0.5000.6290.8410.9330.9770.9940.999解：设考生外语成绩X N(,.2) , x =72.96 -72. 24. 24P(X 96) =1

26、-P(X -96) =1 -D() =1 _中()=0.023二 中()=0.977- -: - 12crcrCT.84 -72,60 72P(60 < X <84)=阳)()=G(1) = 2(1) -1 = 0.682 .12129 . 口袋里有2个白球,3个黑球.现不放回地依次摸出2球,并设随机变量1第一次摸出白球：1第二次摸出白球XY.第一次摸出黑球、0第二次摸出黑球试求：(1) (X,Y)的联合分布律；(2) X和丫的边缘分布律；(3)问 X,Y 是否独立(4) D(2X+1).0103103101310110解：1联合分布为:(2)XIIPi01)Y01、32,32Pi

27、55；V55J（3） P(X =0,Y =0) =P(X =0)P(Y =0),所以 X 与Y 独立._2_ 2_6_24（4） EX =2,EX2 =2,DX =2.D2X+1 = 4DX =,55252510 .设随机变量X, Y相互独立,且等可能的取1, 2, 3为值,定义随机变量U=maxX,Y,V =minX,Y,试求：1 U,V的联合分布律；2 U,V是否相互独立?P(U =1,V =1) = P(X =1,Y =1)=1/9P(UP(U= 1V=2)=P®)=0其余同理可得.=2,V =1)=P(X =2,Y =1) P(X =1,Y =2) =2/9P P(U =1)

28、 =1/9,P(V =2) =3/9,P(U =1,V =2) =0 (2) . P(U =1,V =2) = P(U =1)P(V =2),U,V不独立.11 .设同时独立地掷一枚硬币和一颗骰子两次,用 X表示两次中硬币出现的正面次数,用Y表示两次骰子点数不超过4的次数.1求X,Y的联合分布.2求X+Y 的和分布.3 PX+Y=1解：设X可能取值为0, 1, 2; Y可能取值为0, 1, 2.于是,所以联合分布为和分布为:0123416131243636363636X Y,P(X Y=1) =P12.设随机变量X,Y的概率密度为f(x, y)=21x -xy,30,试求:1 X,Y的边缘概率

29、密度;(2) P(X+Y>1).解:11-r 18 9 60<x<1,0<y<2otherwise12-xy)dy = (x y 3- 26xy)I (xfX (x) = 一 f(x,y)dy= 0, 0,2 c 22co=2x +-x,0 <x<1 3otherwise(2)fY(y)= jf(x,y)dx =,211312、(x 二 xy)dx=(二 x - x y)03360,1111y,0 < y < 2036otherwise_12211212 2P(XY 1) = 0dx1Kx%xy)dy= 0(xy xy )-dx361421

30、53431254二(x x x)dx = (xx x )0 32694241 65° 一 7513.设随机变量X,Y在区域D =x, y0 :二 x :二 2,-1 :二 y :二 2,上服从均匀分布,试求：1随机变量X,Y的概率密度函数；2 PX <Y解：1由于服从均匀分布,所以其联合密度函数为1八,0 x ： 2, -1 ： y : 2f (x, y) = <6°、0,其它22 11(2) P(XEY)Tf(x,y)dxdyTdxm = 3.14.设二维随机变量(X,Y)的概率为yf (x, y)= <e ,0 二 x : y0,其他(1)求(X,Y)

31、的两个边缘密度；(2)判断(X,Y)是否相互独立;(3)求 P(X +Y <2)；(4)求X的分布函数.e斛：(1) f (x, y) = :0,0 :二 x ： y, 其它fX x = f x, y dy =0I! e dy x 0 x其他,xe0x 0其他y a工, e dx y 0 yefY V )= J-f x,y dx= 0=|0 其他I0y 0其他(2) fx(x )fY(yf (x,y) ,X与 Y 不独立;(3)2 -x 2P(XY 20 xe'dydx = 1 - 2e,e,(4)x.I ! e'dx x 01 -e',x 0ox< 0Fx

32、(x) - ,i-fX(x)dx= 0=0, x<00,15.设二维随机变量(X,Y)具有概率密度«2 x 3 y)x 0,y 0, otherwiseAe f (x, y)= 0,X,Y是否(1)求常数A; (2)求联合分布函数F(x,y)； (3)求边缘密度；并问独立 ( 4)求 P(-1 <X <1,-2 <Y <2).解：(1)由于 二、:f (x,y)dxdy=L10 Ae'2x43y)dxdy = A(ge'x) ；*(-；/,)占=2 = 1,得 A = 6.x y(2)当 x <0 或 y <0 时,由于 f

33、(x, y) = 0 ,所以,F (x, y)=工 Jf (x, y)dxdy = 0.,2x-3y)2x3y.dxdy =(1 -e )(1 -e );当 x >0,y >0时,F(x,y) = j jf(x, y)dxdy= 0 6e 00(1-ex)(1-e2y),x 0,y 0所以,F(x,y)“ 八 人甘,.10,其它(3)边缘密度函数为:fx(x)=.joOr -ber6ef(x,y)dy= 00,f -be6ef(x, y)dx= 00,-(2x 3y)2x:dy = 2e ,x >0x . 0'2x3y)dx=3e*y,y 0；y < 0由于 f

34、x(x) f(y) = f (x,y),所以 X,Y 独立.(4) P(-1 :二 X <1,-2 :二 Y < 2)= F(1,2) - F(-1,2) -F(1,-2) F(-1,-2)= F(1,2)=(1e')(1e').12P(-1 <X <1,-2 <Y M2) = f 6exdxf eydy = ex 0 y 0 =(1-e)(1-e) 00o16.设随机变量相互独立,X服从(0, 1)均匀分布,Y服从参数为1的指数分 布,试求：(1)随机变量X+Y的分布的密度函数；(2) E(X+Y).e：x 0飞,x -“ ,、1,0 :二 x

35、：二 1斛：(1)由于fX(x)=<10,其它又由于 fz(z) = _ fX (x) fy(z - x)dxoQ又由于忙：0,那么z ：:0时,fZ (z)=00三2三1时,fZ(z)= o 1 e'zdx =1 -e1 (z x)1 z z z1 三z时,fZ(z)= 01 e dx=e ,e =e (e-1)0,z<0fZ(z) = 1 -e： 0 < z < 1e?(e -1),1 < z(2)由于由于X服从均匀分布,所以EX =1/2,由于Y服从指数分布,所以EY = 1故 E(X +Y)=E(X) +E(Y) =3/2.17.设随机变量(X,Y

36、)具有概率密度f(x, y)=-(x + y),0<x<2,0<y<2 80 .otherwise求：(1) E(X) (2) D(X +Y)22 x7解：(1)E(X)=1xf(x,y)dxdy= dx (x + y)dy = w ;0086由于D(X Y)=E(X Y) L(p)=P(X =0)P(X =1)2P(X =2)P(X =3)4 =4p6(1-p)2(1-2p)4; -(E(X Y)2这里,由于X与Y的对称卜故E(Y)=7, E(X+Y)=7M2 = , 663(222.222(x-y)又因 E(X+Y)=J f (x + y)f (xy)dxdy= f

37、 dx f (x+ y) dy = 60087 n 5所以D(X Y) =6 -(-)2=-L 0.5639 仅18.设总体X的概率密度列<P01P2 2p(1- p)23P2 1-2p>1 .其中p(0 < p <万)是未知参数,得到总体X的样本值：1, 3, 0, 2, 3, 3, 1, 3,(1)求参数p的矩估计值；(2)求参数p的最大似然估计值1 .2 .-1解：(1) X =-Z Xi =2 ; EX =2p(1-p)+2p +3(1-2p)=3-4p = X ; = p=一.8 y4In L( p) =ln 4 +6ln p +21n(1 p) +4ln(1

38、 -2p),、.628-21n L(p)'= 一=0= 12p 14p+3=0;p 1 一 p 12 P7 _ . 1317137-13p =,由于 0MpM -,所以 p =舍去,所以 p = 0.2828 o122121219.设总体X的概率密度为f(x,e) = /xeU,0<x<1,其中日>0的未知参数, 0, otherwiseX1,X2,Xn是来自总体的一个样本,(1)求参数8的矩估计量；(2)求参数8的最大似然估计量.解：(1) EX = jf(x)dx = jxexO'dx=X ,于是未知参数日的矩估计量为仁上01 -X(2)构造似然函数 L(

39、6)= 口 f(x,6)=8x-ex20JL8xn°= 8n(x1xn)6； i 1n取对数：ln L(二)二n ln(1-1) ln( x1 xn) = n ln 二(1-1)' ln x ;nn% ln为i 1i 1令 d 1n L(S =n +£ lnxi =0= ?= d? y i即未知参数9的最大似然估计值为20.设总体X服从正态分布N(巴n1 二-n" ln xii 1.2), Xi, X2, X3, . , Xn 为其样本,试求:(1)%.2的矩估计量；(2)假设.2=4, n多大时方能使N的90%勺置信区间的长度不超过1 ?(0.05 =

40、1.65 )解：(1)由矩估计法知EX =XEX 2 _1 c X2EX X i n il = X=221n 2J2 二2 一 Xi2 n i4? = X=-21n 2 2二?2 = '、 Xi2 - X2n ij2记关于N的置信区间长度为LL =(X +%=) ( X y=) =2Ua3=号.n弓、n i . n当 ot =0.1 时,L = 2 1.65E1= n >(2x2x1.65)2,Wn>4421 .从一批钉子中随机抽取16枚,测得其长度(单位：厘米)为:2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14

41、2.10 2.13 2.11 2.14 2.11.假设钉子的长度X服从正态分布N 巴0.012,求总体均值N的置信度为90%的置信区间.保存到小数后四位u0025 =1.96,U005 =1.645.解：X =2.215,n =16,1 - ： -0.9- : - 0.1,；- - 0.01所以N的置信度为90%勺置信区间为：X 士% 亍=2.215 ±1.645 M 猿=2.2109, 2.2191.22 .某大学数学测验,抽得20个学生的平均分数为X = 72,样本方差s2=16, 假设分数X服从正态分布N 匕.2,求仃2的置信度为98%勺置信区间.保存到 小数后四位附:2 0.

42、0119 =36.191,20.9919 =7.63322(n -1)s (n -1)s句(n 1)' £2o(n1) I< 22解：由题意,.2的置信度为98%勺置信区间为:19 16 19 16.,8.3999,39.827136.191 7.63323.要求一种元件的使用寿命为1000小时.今从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命的平均值为 950小时.该种元件寿命服从标准差 仃=100小时的正态分布,试在显著性水平a =0.05下确定这批元件是否合格?附:Uu = 1.962解：假设 H0: 1 =1000 , H1 :1 #1000 ; n = 25,x = 950,o =100,% = 1000 ;X统计量：U=X_*N0,1,二/ . nx -0950 -1000仃/亦100/725= 2.5 1.96,所以,拒绝H.,即认为这批元件不合格.24 .设某次测试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可认为这次 测试全体考生的平均成绩为70分并给出检验过程.t0.0535 =1.6896,t°.02535