一元二次不等式高次不等式分式不等式解法

1、课题： 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法目标：1 .稳固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握掌握简单 的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2 .培养数形结合的水平,一题多解的水平,培养抽象概括水平和逻辑思维 水平；3 .激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会 从不同侧面观察同一事物思想.重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法.难点：正确申根.过程：一、复习引入1. 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2. 一元二次不等式的解法步骤.引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法, 以及特殊的高次不等式、 分式不等式的解法.二、新

2、课1. 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1解不等式(x +4)(x -1) <0.分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法那么可知,假设原不等式成立,那么左边两个因式必x - 1 > 0 x - 1 < 0须异号,原不等式的解集是下面两个不等式组：,X 0与" 0的解集、x + 4<0、x + 4>0x -1 >0x1<0,、一 ,一的并集,即x|l Ux|l =(|)Ux|-4<x<1=x|-4<x<1.书写时可 x+4<0 x+4>0_按以下格式： 加 x-1>0. -1<

3、;0解一 ：. (x-1)(x+4)<0 = 或、x+4<0、x+4>0=x C 小 或-4<x<1= -4<x<1 ,原不等式的解集是x|-4<x<1.小结：一元二次不等式ax2 + bx + c > 0 (或ax2 + bx + c < 0 )(a # 0 )的代数解法：设一元二次不等式 a.+bx+c>0 (a=0)相应的方程a.+bx+c = 0(a#0)的两根为 x1、x2 且 x1 <x2 ,那么 ax2 + bx + c>0u a(x-x1 )(x-x2 )>0 ;假设a >0,那么得

4、'x - xi <01 或J X-x2 <0,x- x1 > 0,x- x2 > 0.x < xi1或J、x<x2,x x1,、x > x2.当 x1cx2 时,得 x < x1 或 x A x2 ;当 x1 = x2 时,得 x W R ,且 x # x1.假设a <0,那么得x-xi <01 或JX-x2 >0,x x) <0,=*x - x2 > 0.x<%,一1或JJ*,x<.、x>x2.当 x M x2 时,得 x1Mx M x2 ；当 x1 = x2 时,得 x 三 0 .分析三

5、：由于不等式的解与相应方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0 ,解得x (从小到大排列)分别为-4, 1,这两 根将x轴分为三局部：(-8,-4) (-4, 1) (1, +8)；分析这三局部中原不等式左边各因式的符号(-丈-4)(-4, 1)(1, +QO)x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知,原不等式的解集是x|-4<x<1.例 2:解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0 ;解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为：-2, 1, 3;列表如下：-213x+2-+

6、x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知,原不等式的解集为：x|-2<x<1或x>3.小结：此法叫列表法,解题步骤是：将不等式化为(X-Xi)(X-X2)(x-xn)>0(<0)形式(各项X的符号化“ +),令 (X-X1)(X-X2)- (X-Xn)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数 轴分成两局部,n个分界点把数轴分成n+1局部；按各根把实数分成的n+1局部,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列)；计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号；看下面积的符号写出不等式的解集.练习：解不等式：x(x

7、-3)(2-x)(x+1)>0.x|-1<x<0 或 2Vx<3.思考：由函数、方程、不等式的关系,能否作出函数图像求解直接写出解集：x|-2<x<1 或 x>3. x|-1<x<0 或 2Vx<3在没有技术的情况下：可大致画出函数图星求解,称之为 申根法将不等式化为(X-X1)(x-X2)(X-Xn)>0(<0)形式,并将各因式X的系数化“+ ； (为了统一方便)求根,并在数轴上表示出来；由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么？)；假设不等式(X的系数化“ +后)是“ >0那么找“线在X轴上方的区间； 假设不

8、等式是“ <0那么找“线在X轴下方的区间.例 3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：检查各因式中x的符号均正；求得相应方程的根为：-1, 2, 3 (注意：2是二重根,3是三重根)；在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如以下图:.原不等式的解集为：x|-1<x<2或2<x<3.说明：: 3是三重根,在C处穿三次,2是二重根,.在B处穿两次,结 果相当于没穿.由此看出,当左侧f(x)有相同因式(x-xi)n时,n为奇数时,曲线在 xi点处穿过数轴；n为偶数时,曲线在xi点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶练习：解不等式：(x

9、-3)(x+1)(x2+4x+4) <0.解：将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2<0；求得相应方程的根为：-2 (二重),-1,3;在数轴上表示各根并穿线,如图：.原不等式的解集是x|-1 «x«3或x=-2.说明：注意不等式假设带“二号,点画为实心,解集边界处应有等号；另外, 线虽不穿-2点,但x=-2满足“二的条件,不能漏掉.2.分式不等式的解法例4解不等式：区二3 < 0.x 7错解：去分母得x-3<0原不等式的解集是&|x<3上解法1:化为两个不等式组来解:x-3 人x-3>0.fx-3<0厂或一7&l

10、t;x<3u -7<x<3,<0=3 或 3U x Cx+7、x+7c0、x+7>0原不等式的解集是：x | -7 :二x :二3).解法2:化为二次不等式来解:匕：二0匕-7<x<3,；(x_3)(x + 7)<0_x + 7 0 一原不等式的解集是 小 | -7 ： x :二3)说明：假设此题带“=,即(x-3)(x+7) <0,那么不等式解集中应注意 x#-7的条 件,解集应是x| -7<x <3.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数,不等号方向不变；不 等式两边同乘以负数,不等号方向要变；分母中有未知数x,不等

11、式两边同乘以一个含x的式子,它的正负不知,不等号方向无法确定,无从解起,假设讨论分母 的正负,再解也可以,但太复杂.因此,解分式不等式,切忌去分母.解法是：移项,通分,右边化为0,左边化为 上)的形式.g(x)例5解不等式：x2 3x+2 <0.x - 2x - 3解法1:化为不等式组来解较繁.解法 2： . 工叱,x2-3x+2)(x22x 3)E0 = 2x -2x-3x -2x-3 = 0(x-1)(x-2)(x-3)(x+1) <0(x-3)(x+1) #0.原不等式的解集为x| -1<x <1或2Ex<3.练习：1.课本P21练习：3；2.解不等式金 A

12、2.x 5答案：1.x|-5<x<8;x|x<-4,或 x>-1/2 ; 2.x|-13<x<-5.24x练习：解不等式：-2岂x+1.(答：x|x W0或1<x<2)x -3x 2三、小结1 .特殊的高次不等式即右边化为0,左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式,一般用区间法解,注意：左边各因式中x的系数化为“+,假设有因式为二次的(不能再分解了)二次项系数也化为“+,再按我们总结的规律作； 注意边界点(数轴上表示时是“ 0还是“.).f(x)f( x)2 .分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为 一色>0(或一<0)的形g(

13、x)g(x)式,转化为：；f(x)g(x)>0(或;'f(x)g(x)<0),即转化、g(x)#0 c(x)#0为一次、二次或特殊高次不等式形式 .3 . 一次不等式,二次不等式,特殊的高次不等式及分式不等式,我们称之 为有理不等式.4 .注意必要的讨论.5 . 一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴 .四、布置作业五、思考题：1 . 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.解：将二次项系数化“ +为：(x2-x-12)(x+a)>0,相应方程的根为：-3, 4, -a,现a的位置不定,应如何解?讨论：i当-a>4,即a<-4时,各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|-3<x<4或x>-a.ii当-3<-a<4,即-4<a<3时,各根在数轴上的分布及穿线如下:<-3-a4 x原不等式的解集为x|-3<x<-a或x>4.iii当-a<-3,即a>3时,各根在数轴上的分布及穿