《利用向量法求空间角》教案

1、3.2.33.2.3 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角教学目标教学目标1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点教学重点求解二面角的向量方法教学难点教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学过程教学过程一、复习引入1用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题化为向量问题）（2）

2、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）2向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：bababa,cos|（2）两向量夹角公式：|,cosbababa（3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点知识点1 1：面直线所成的角：面直线所成的角（范围：）2, 0(（1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b，那么直线 a与b 所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线 a、b 的方

3、向向量分别为和，ab问题问题 1 1： 当与的夹角不大于 90时，异面直线 a、b 所成ab的角与 和 的夹角的关系？ ab问题问题 2 2：与的夹角大于 90时， ，异面直线 a、b 所成的角ab与 和的夹角的关系？ ababOObaObaba,ba,结论：异面直线 a、b 所成的角的余弦值为|,cos|cosnmnmnm思考：思考：在正方体中，若与分别为、1111DCBAABCD 1E1F11BA的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？11DC1DF1BE（1）方法总结：几何法；向量法（2）与相等吗？11,cosBEDFBEDF11,cos（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？例例

4、 1 1 如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的111CBAABC aa21AC1CB角.解法步骤：解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系，则xyzA)2, 0(),0 ,21,23(),2,21,23(),0 , 0 , 0(11aaBaaCaaaCA ，)2,21,23(1aaaAC)2,21,23(1aaaCB 即21323|,cos22111111aaCBACCBACCBAC和所成的角为1AC1CB3练习 1：在 RtAOB 中，AOB=90，现将AOB 沿着平面 AOB 的法向量方向平移到A1O1B1

5、的位置，已知 OA=OB=OO1，取 A1B1 、A1O1的中点 D1 、F1，求异面直线 BD1与AF1所成的角的余弦值。解：以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设 OA=1,则 A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F1( ,0,1) ，D1( , ,1)212121) 1 , 0 ,21(1 AF) 1 ,21,21(,1BD103023451041|,cos111111BDAFBDAFBDAF所以，异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值为AxDCB1Azy1D1C1B1E1FAyxCB1AD1B1CAyxCB1AD1B1C知识点知识点 2 2、直线与平面所成的角、直线与

6、平面所成的角（范围：）2, 0思考：设平面的法向量为，则与的关系？nBAn,据图分析可得：结论：例例 2 2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和111CBAABC aa21AC所成角的正弦值.BBAA11面分析：分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系，则xyzA),0 , 0(),2, 0 , 0(1aABaAA)2,21,23(1aaaAC 设平面的法向量为BBAA11),(zyxn 由00002001zyayazABnAAn取，1x)0 , 0 , 1 (n213

7、23|,cos22111aaNACnACnAC和所成角的正弦值.1ACBBAA11面21练习：练习：正方体的棱长为 1，点、分别为、的中点.求直1111DCBAABCD EFCD1DD线与平面所成的角的正弦值.11CBCAB1ABOBAn,2ABOn2,BAnABOn（图 1）（图 2）|,cos|sinABn131(,2 )22ACaaa 知识点知识点 3 3：二面角：二面角（范围：）, 0方向向量法：方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中l.CDlCDABlAB,结论：例例 3 3 、 如图，甲站在水

8、库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面上的点 B 处.从 A，B 到直线 （库底与水坝的交线）的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b ,CD 的长为 c , AB 的长为 d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图. dABcCDbBDaAC，根据向量的加法法则, .DBCDACAB222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDACDBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCA设向量与 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.CADB因此 .cos22222dcbaab所以 .2cos2222abdcba库底与水坝所成二面角的余弦值

9、是.22222abdcba3331010DCBAl|,coscosCDABCDABCDABBxADC1Bzy1A1D1CAB法向量法法向量法结论： 或归纳：归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例例 4 4、如图，是一直角梯形，面，ABCD90ABCSAABCD，求面与面所成二面角的余弦值.1BCABSA21ADSCDSBA解：如图建立空间直角坐标系，则xyzA) 1 , 0 , 0(),0 ,21, 0(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 0(SDCA 易知面的法向量为SBA)0 ,21, 0(1 ADn ) 1,21, 0(),0

10、 ,21, 1 (SDCD 设面的法向量为，则有SCD),(2zyxn ，取，得， 0202zyyx1z2, 1yx) 1 ,21, 1 (2n36|,cos212121nnnnnn又方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角1n2n 即所求二面角的余弦值为.36练习：练习：正方体的棱长为 1，点、分别为、的中点.求二1111DCBAABCD EFCD1DD面角的余弦值。DAEF1nl2n21,nn21,coscosnn21,coscosnn1nl2n21,nn21,nn21,nnABCDxzyS解：由题意知，则)0 , 1 ,21(),21, 1 , 0(EF)21, 1 , 0(AF)0 , 1 ,21(,AE设平面的法向量为，则AEF),(zyxn ，取，得02102100yxzyAEnAFn1y2 zx )2, 1 , 2(n 又平面的法向量为AED) 1 , 0 , 0(1AA 3