D19连续函数的运算71596

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. xx cot,tan在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减)

2、(证明略)在1, 1上也连续单调(递减)11xoy22递增.xsinxarcsin目录 上页 下页 返回 结束 xye在),(上连续其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.又如又如, xyoxylnxey 11单调 递增,).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点函数若定理3证：证：,)(连续在点auuf.)()(, 0, 0成立恒有时使当afufau目录 上页 下页 返回 结束 ,)(lim0axxx又,0, 0, 00时使当对于xx.)(成立恒有auax将上两步合起来:,0, 0, 00时使当xx)()()()(afxfafuf.

3、成立)()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 目录 上页 下页 返回 结束 意义意义1.1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换; ;.)(. 2的理论依据变量代换xu例例1 1.)1ln(lim0 xxx求. 1 xxx10)1ln(lim原式)1(limln10 xxx eln 解解目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.4. 连续函数的复合函数是连续的.证证: 设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0

4、连续在点 x且即注意定理注意定理4 4是定理是定理3 3的特殊情况的特殊情况. .目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *rx因此xy1sin在*rx上连续 .复合而成 ,xy1sinxyo目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续定义区间定义区间是包含在定义域内的区间1.1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, ,在其定义在其定义 域内不一定连续域内不一定连续; ;2. 2. 初等函

5、数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法. .说明：说明：)()()(lim000定义区间xxfxfxx目录 上页 下页 返回 结束 21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为znnx,2因此它无连续点而例例2 2. 1sinlim1xxe求1sin1e原式. 1sin e解解1.1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, ,在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续; ;2. 2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法. .)()()(lim000定义区间xxfxf

6、xx目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例4. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxex36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2)21ln(sin3li

7、m0 xxxe目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 若) 1)(, 0)( ,)(lim0 xuxuaxuxx则有)()(lim0 xvxxxu,)(lim0bxvxxe)(ln)(lim0 xuxvxxeablnba幂指函数即：)()(lim0 xvxxxuba目录 上页 下页 返回 结束 1,41,)(xxxxx例例6. 设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算结果仍连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反例,