简单的逻辑概念

1、 §12 簡單的邏輯概念甲 . 簡易邏輯概念1. 敘述與開放語句： (1) 敘述：凡可明確而斷言為真或假的語句稱為敘述. Ex：2 + 3 = 5,太陽從西方升起均為敘述.(2) 開放語句：一語句若不加限制條件, 即無法判別其對錯, 此種語句稱 為開放語句. Ex：中, 如果便是真, 如果便是假.(3) 否定敘述：將一敘述加以否定, 便是其否定敘述. 設表示一敘述, 則其否定敘述( 敘述的反面 ), 以 ( 或 )表示之. Ex：表2 + 3 = 5, 表.(4) 真假值：敘述的真或假, 稱為此敘述的真假值. 通常以表示敘述為真, 以表示敘述為假.(5) 複合敘述：將二個或二個以上的

2、敘述用連接詞或或是且組成 一個新的敘述, 稱為複合敘述, 通常或以表示之, 且以表示之.(6) 基本應用符號：(i) 存在：意思是 ” 意思有一個 ”. 代表符號用 ” ”.(ii) 所有的：亦可稱作 “ 對每一個 ”, 記號為 ” ”.(iii) 恰：” 既存在且唯一 “的意思, 也就是正好一個. 記號為 “! ”.2. 邏輯推理： 由一些已知是正確( 即真 )或已知錯誤( 即偽 ), 來論斷其他事物的真偽 如何,所用到的思考法則, 就是邏輯理論. (1) 命題：凡型如 ”若., 則.”之形式的敘述, 稱為命題( 命題亦為 複合敘述的一種 ). 設為兩個敘述, 命題若, 則通常以表之. 其中

3、 稱為命題的前提, 稱為命題的結論. (2) 命題四態：命題名稱命題記法(i)原命題若則(ii)逆命題若則(iii)否命題若非則非(iv)否逆命題若非則非 (i)(iv) 同真或同假. (ii)(iii) 同真或同假. 原命題( ) 逆命題( ) 互 逆 轉 互 轉 轉 否命題( ) 否逆命題( ) 3. 判斷命題真偽的方法：(1) 直接證法：由前提出發, 經過一系列正確命題的推導, “ ” 再由” 蘊含關係 ”之遞移性, 導致結論成立, 此種證法叫做直接證法.(2) 舉反例：要確定一個命題是偽命題, 只要舉出一個滿足” 前提 ”而不滿足 ” 結論 ”的實例即可. 此種在數學中稱為舉反例.例

4、1. 下列各語句, 何者為一個敘述? (A) (B) (C)上帝保佑你 (D) (E) (F) (G)三角形之三內角的和為. (A)(B)(G) 類題. 下列各語句, 何者表一敘述? (A)2, 4, 8三數成等比數列 (B)今天天氣很好 (C)你的數學程度很好 (D) (E)數學太難了 (F)二平行線的內錯角相等 (A)(D)(F)例 2. 下列複合敘述何者為真? (A)且 (B)或 (C)且 (D)或 (E) 或5 = 5. (B)(C)(E)例 3. 寫出下列各敘述的否定敘述： (1)或 (2) (3)張三比李四高( 指身高 ) (4) 且 (5)為銳角三角形 (6). 2 = 2且,

5、1 > 2, 張三不比李四高, 或, 不為銳角三角形, 類題. 寫出下列敘述的否定敘述： (1)且 (2)或 (3)或 (4) (5) 或, 且, 且, , 或例 4. 寫出下列敘述的否定敘述：(1) 今天本班同學都出席. 今天本班有同學缺席.(2) 上次考試數學有人不及格. 上次考試所有人都及格. (3) 中至少有1個元素. 中不存在有元素. (4) 中至多有10個元素. 中至少有11個元素.(5) 中恰有3個元素. 中至少有4個元素或中至多有2個元素 (中不恰有3個元素 ).類題. 寫出下列各語句的否定句：(1) 本班學生數學皆及格. 本班至少有一個學生數學不及格.(2) 本班學生數

6、學皆不及格. 本班至少有一個學生數學及格.(3) 本班學生, 至少有5個數學及格. 本班至多有4個學生數學及格.(4) 本班學生, 至多有5個數學及格. 本班至少有6個學生數學及格. 例 5. 設為實數, 試判斷下列各命題的真偽? (A) 若, 則或 (B) 若, 則且 (C) 若或, 則 (D) 若且, 則 (E) 若, 則且 (A)(C)(D)(E)為真, (B)為偽 例 6. 寫出若兩個三角形全等, 則其面積相等的四態, 並判定它們的真偽. 原命題若兩個三角形全等, 則其面積相等真逆命題若兩個三角形面積相等, 則兩者全等偽否定命題若兩個三角形不全等, 則其面積不相等偽逆否命題若兩個三角形

7、面積不相等, 則兩者不全等真類題. 寫出原命題的四態, 並指出它們的真偽. 原命題若四邊形為平行四邊形, 則其對角線互相平分真逆命題若四邊形的對角線互相平分, 則該四邊形為平行四邊形真否定命題若四邊形不為平行四邊形, 則其對角線不互相平分真逆否命題若四邊形的對角線不互相平分, 則該四邊形不是平行四邊形真例 7. 寫出對頂角相等的逆命題, 否定命題, 逆否命題. 原命題若兩個角是對頂角, 則這兩個角相等真逆命題若兩個角相等, 則這兩個角是對頂角偽否定命題若兩個角不是對頂角, 則這兩個角不相等 偽逆否命題若兩個角不相等, 則這兩個角不是對頂角真類題. (1) 寫出若, 則的命題四態, 並判定真偽

8、? 原命題若, 則真逆命題若, 則偽否定命題若, 則偽逆否命題若, 則真(2) 設, 寫出原命題若, 則的逆命題, 否定命題, 逆否命題.原命題若, 則真逆命題若 則偽否定命題若, 則 偽逆否命題若, 則真例 8. 作某班學生的家庭調查時, 有如下之結果：(1) 有哥哥的人沒有弟弟. (2) 沒有哥哥的人有妹妹 (3) 沒有姊姊的人有弟弟和妹妹, 由此可推得下列那一個結論? (A) 沒有弟弟的人有哥哥 (B) 有妹妹的人沒有哥哥 (C) 沒有哥哥的人有弟弟 (D) 沒有妹妹的人有姊姊 (E) 以上皆非 (D)類題.(1) 假如我們承認下列二蘊涵式成立： (i) 某人家裡有電視機某人不是窮人.

9、(ii) 某人是窮人某人不必納稅 是否可以推得某人家裡沒有電視機某人不必納稅? 不可以(2) 已知下列三敘述為真：(i) 若為綠, 則為紅. (ii) 若為白, 則為黃. (iii) 若為紅, 則為藍. 今已知非藍, 試問能否判別之顏色? A非綠, 而B白 (3) 設為三函數, 且下列三命題皆為真：(i) 若, 則 (ii) 若, 則(iii) 若, 則.今已知為真, 由此可推知下列何者為 真? (A) (B) (C) (D) (E) (C)(E) 乙 . 充分、必要、充要條件1. 充分、必要條件： 命題為真, 我們以表示之, 讀做可推演或 蘊涵, 此時稱為的充分條件, 而稱為必要條件. 2.

10、 充要條件： 如果且均成立時, 記作. 此時稱為的充分且必要條件( 簡稱為充要條件 ), 也是的充要條件. <Notes:>(1) 設具有性質之元素所成之集合為,具有性質之元素所成之集合為. 則： (i) 當為之充分條件時, 則若則為真, 故若, 則亦真 .(ii) 反之, 若, 則若, 則為真, 故若則為真 為之充分條件.(iii)為之充要條件, 則且 .(2) 充分、必要、充要條件之證明方法：(i) 欲證為之充分條件時, 只要證出若則為真即可.(ii) 欲證為之充分條件時, 只要證出若則為真即可.(iii) 欲證為之充分條件時, 只要證出若則及若則 都為真即可.3. 證明問題的

11、方法： (1) 直接證法： 證明命題時, 如果從已知條件( 前提 )出發, 利用已有的定義, 公設, 定理, 經正確的邏輯推理, 證得命題的結論成立, 這種方法稱為直接證法. (2) 反證法：( ) 欲證明時, 轉而證明, 就是反證法. 其步驟： (i) 反設：假設結論不成立. (ii) 歸謬：從結論的反面出發, 進行一系列的推導, 得出矛盾的結果. (iii) 結論：說明” 反設 ”不成立, 從而肯定結論是真. 例 9. 試就下列各試題填上最適當的條件, 其中各題的文字皆為實數 (A) 充分非必要 (B) 必要非充分 (C) 充要條件 (D) 非充分且非必要 (1)是的 條件. (2)是的

12、條件. (3)是的 條件. (4)是的 條件. (5)是的 條件. (6)是的 條件. (C)(A)(D)(A)(B)(A)類題. (1) 下列各小題中, 是什麼條件 ? ( 充分, 必要, 充要或都不是 ) (i)：二次方程式有實根. ：是實數. (ii)：是正三角形. ：為等腰三角形. (iii)：是實數, . ：是實數, . (iv)：是鈍角三角形. ：為鈍角. (v)：是自然數, 是7的倍數. ：是自然數, 是7的倍數. 充要, 充分, 都不是, 必要, 充要(2) 試就下列各試題填上最適當的條件, 其中各題的文字皆為實數 (A) 充分非必要 (B) 必要非充分 (C) 充要條件 (D) 非充分且非必要 (i)是的 條件. (ii)是的 條件. (iii)是的 條件. (iv)是的 條件. (v)且是的 條件. (vi)或是的 條件. (A)(D)(B)(A)(C)(B)例10. 設為整數, 試證：當為奇數, 則為奇數. 類題