专题4.1复杂的三视图问题高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

1、专题4.1莫杂的三视问题24三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别.揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据还原几何体的基本要素是长对.齐，高平直，宽相等”要切实弄清常见几何体（圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球）的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图.对于简单几何体的组合体的三视图，首

2、先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置.解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同根据几何体的三视图确定直观图的方法：（1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；（3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；（4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；（5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱 对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体二.解题策略类型一构造正方体（长方体）求解【例1】【2018

3、年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 由三视图可得四棱锥|P - ABCD,在四棱锥p - AHCD中，P办二2AD=2,8 = 2/H = 1 ,由勾股定理可知:【答案】C14 = 22尸。=2%5/"=34（? = 何，则在四棱锥中，直角三角形有：4/M门用？共三个，故选C.dH【指点迷商”正视图、侧视图是三角形，考虑底面顶点数是四，是四棱锥.【举一反三】1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（1 A.61 B.3C.-1D. 1【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥.P-ABC ,其中点A为中点，所以11一，

4、1 ,111.故选B.3 26V P-ABC2、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.43B.83D.U3【解析】几何体如图四接锥E-AECD所示F正方体楼长为人其中 >27AD =BC = 242 ，预点E到底面AECD的距离为点E到AD的距寓即近，底面四边形加8为矩形，所以111C=Jj = -AB-AD J3 = -x2x272xa/2=-,故选九5333X Dhr 二3、12017北京，理71某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为M （左视图正（主视图(A) 3板(B) 2 <3 (C) 2 g(D) 2【解析】原几何体是四棱锥 P-ABCD，如图

5、,最长的棱长为补成的正方体的体对角线,由三视图可知正方体的棱长为2,所以该四棱锥的最长棱的长度为l V22 22 222 J3 .故选 B.& 网£>类型二旋转体与多面体组合体的三视图【例2】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是27T则它的表面积是（ 口A. ”_ 45_C.口【答案】C【解析】由已知三视图可知：该几何体的直观图是一个底面半径为广，高为尸的圆柱内挖去一个半径为 窜的半球,因为该几何体的体积为:JT,所以nr工,一工.士笈*=±知，gp-Kr

6、a = -it,工团a 7 as 7所以该几何体的表面积为工黑丁？+如XT +:*领XT*= 5jrrs = S3TX ;= F江,24-4故选C.【指点迷:津】1.三视图有两个长方形含两个虚半圆，一个圆，故知该几何体是圆柱内挖去一个半径为球.2.三视图有两个半圆含虚三角，想到半球有挖空部分，俯视图是一个圆含实线正方形，几何体是由半 径为2的半球挖去一个正四棱锥.【举一反三】1、一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）7t1,2bL7t【解析】由三视图知该四棱锥是底面边长为1, 2 图为”1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为七,从而该几何体白体积为"

7、X12X1 + 2 >41兀>22洋故选C.2、一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（）正视图恻视图俯视图B.Mx8 C.D.注尹分析：该几何体是由半径为 2的半球挖去一个正四棱锥，四棱锥的高为2,底面为正方形，其对角线为 4,2,底面为正方形，其对角线为 4,则分别求出2部分的体积并相减即可得到答案解：由题意知，该几何体是由半球挖去一个正四棱锥，四棱锥的高为该正方形边长为工近,故四棱锥的体积为-I X （入幻2一，半球的体积为.一，故该几何体吏-X-UX23 =的体积为1百注一 1百a故答案为D.类型三与三视图相

8、关的外接与内切问 ”题【例3】已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3,底边长为2,俯视图是个半径为1的圆（如图所示），则这个几何体的内切球的体积为 （）【答案】A【解析】由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1,母线长为3,其正视图为等腰三角形，圆锥的内切球半径等于正视图三角形内切圆半径，且内切圆的半径满足 jr（3 + 3 + 2） =2-V3="V ,解得丁二工二几何体的内切球体积为U二手乂谭）三号"，故选A .【指点迷津】（1）三视图的定义正确读取图中线的位置关系和数量关系.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，

9、利用等体积法求内切球半径.（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径.【举一反三】1、如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）B- T【答案】C【解析】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥P-ABC,其中侧面旦4H_L底面JlBl,在34日1和PAB中,="PB = 9M, AC 二班二 AP 二即二灵.取工B的中点D,连PD,则为1月EC外接圆的圆心，且PZ)_L底面Bf,所以球心口在PD上.设球半径为R,则在RIAODB中，0D =1一足UH =况DB = 1,由勾股定理得 髀=(1一区产+1£,

10、解得R=l,所以三棱锥的外接球的表面积为 S =4工于=垢.故选C.2、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为A. 273B.316D.3【解析】根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-ABC,其中平面 ADCL平面 ABC, AADC为等边三角形.取AC的中点为E,连接DE、BE,则有DE, AC,所以DE,平面ABC,所以DEEB.由图中数据知AE=EC=EB=1,DE= ,AD=逐E： - DE： =2=DC=DB,AB=BC=无,AC=2.设此三棱锥的外接球的球心为O,则它落在高线 DE上，连接OA,则有AO2=AE2+OE2=1+O

11、E2,AO=DO=DE-OE=卜弓-OE,所以AO=咚，故球O的半径为三，故所求几何体的外接球的表面积S=4兀邑r =至兀故选D.3、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为 1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 （）B. 453C. 3D. 12«【答案】C【解析】把原来的几何体补成以Q以DC. D产为长、宽、高的长方体，原几何体匹棱锥与长方障是同一个外接球，2我与=户1工1=4.,S = 4州掘=4才乂岂=M汗.耳4类型四与三视图相关的最值问题【例4】某几何体的一条棱长为 "，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为屁的线段，在该几何

12、体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为(B) 2 志(C) 4(D) 2 V5【解析】由题意可构造长方体如图,长方体的沿角线AC,为题中已知的几何体的棱长,长方体的三个面分【答案】C左泓图C.64D.64.7别作为三视图中的三个投影面谩长方体的三楼长分别为江至4将平面DD1C©作为正视图投影面,则 /+/+i=工储+一=6;丁 = 1。韶视图中棱的投影长为口 = J?Ii J褥视图中棱的投影长为 b=47Tif所以q十占二77TT十TTTTcJ-"；=' =4。所以日十方的最大值为4当且仅当 行£时上式取等号）j故选C

13、。【指点迷津】构造长方体，体对角线为已知长度的棱，长方体三个面为投影面.根据题意，用长方体的棱长表示a+b,用不等式ab Jg求其最值.212【举一反三】xy的最大值为（）1、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图，其中，/B_L平面”。，cd bd .作口 E/D。, ECBD,且日£、交于石点，连接反，则且£ = 设八？，根据图中的几何关系，有, + / = 1Q / + 自/）/,两式联立消去工得' +/-* 再由均值不等式lm ?叫得叼£出.故选C.E2、若某几何体的三视图如图所示，这

14、个几何体中最长的棱长为,几何体的体积为【答案】163t解析】由三视图可得该几何体为三棱锥F-他C,正方体楼长为4,点¥为四等分点一盘C为底面的中心口最长楼为 F队 PA=+1，=而,PB二 JpM + AB】=也”41 =屈。=1x4x2= 4. fifr工以1%皿= S&K 灯=34?<4 = 2口3、某三棱锥的三视图如图所示.(1)该三棱锥的体积为 .(2)该三棱椎的四个面中，最大面的面积是 正（K）视图侧（左）视图【答案】8 2 .34111【解析】二棱锥的底面积 S 3 4 - 6, V Sh64 8, 233其四个面的面积分别为早 S314 310,-1c -

15、S 3 4 6 , S22S41 4 2522 22J34, 面积最大为 2后.&网三.强化训练、选择题1 .【山东省泰安市高三 2019年3月检测】九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为堑堵已知某 堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该堑堵”的表面积为（）A 4 2 2? B 2?C.4 4 -2?D. 6+4 2【答案】D【解析】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC A'B'C',底面是一个直角三角形，两条直角边分别是J2、斜边是2,且侧棱与底面垂直，侧棱长是2,1.几何体的表面积 s 2 21 2222/2

16、6 4桓,2故选：D.2 .【辽宁省大连市2019届高三3月测试】我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1,则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A. 40B. 43C. 46D. 47由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面ABC。JL平面Ct）= 2/B = 6,EF = 4,底面梯形是等腰梯形，高为 3 ,梯形八口口?的高为4，等腰梯形|FE口。的高为vTiS = 5 ,三个梯形的面积之和为

17、X 4 +3+纥S=46 ,""2故选C.3 .【广东省梅州市 2019届高三总复习质检】 九章算术给出求羡除体积的 泉”是：并三广，以深乘之,又以袤乘之，六而一 ”，其中的 广”指羡除的三条平行侧棱的长，深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除AB£-AB士G中,AAi = 1, B邑=b, CJ二用 两条平行线 四与星间的距离为h,直线CCj到平面AA2B声的距离为h，,则该羡除的体积为v二也出+ b + c),已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为),fiA. 3/3B. 3C. 3d.班【

18、答案】B【解析】由三视图还原原几何体知，羡除 ABC-AiB1cL中，AB/EF,底面 ABCD 是矩形，AE = CD = 2 , EF = 1,平面ADE 一平面ABCD , AB , CD间的距离h = AD = 2 ,如图，取AD中点G,连接EG,则EGJL平面ABCD ,由侧视图知，直线 EF到平面ABCD的距离为Y二1,n该羡除的体积为 V= (a + b +c) =(2 4 2 + l) = 1. 百624.【安徽省合肥市2018届高三三模】我国古代九章算术将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4,高为2

19、,则该刍童的表面积为A. 12遥B. 40 C. IS+ 12/D 1& + I2v5【答案】D【解析】由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体A况 JDlABS ,图中正方体棱长为4,小二，灵,凡E4.0分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形， 与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为P * 4=4 梯形的上下底分别为 Z4,梯形的高为FG =V2T = x 5,梯形面积为 ：乂迫+4）xVS = 3f5,所以该刍童的表面积为 2X844菖3匹=16 + 12,故选D.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

20、【答案】C【解析】通过三视图还原，可知三棱锥为如下图所示的P - ABC ,可通过切割长方体得到所以长方体的外接球即为三棱锥的外接球又= 2, CD = 2所以外接球半径：球的表面积为：:二：一.二二二一本题正确选项：1,俯视图是图2,若得到的几何6 .如图，一个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图，侧视图都是图体表面积为283T,则工二()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】所得几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半球表面积，即-，-，.一 ，一一，-.故选三.7 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()主校图 左视图俯视圉A-髀 B- 1 C-七"

21、;D- 71r【答案】D【解析】4.，观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即下方削去半个球，故几何体的体积为：V = nx（7）ax2x（；f32 ,故选D.8 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 10 B. 20 C. 30 D. 60【答案】A【解析】根据三视图将三棱锥 P-ABC还原到长方体中，如图所示,-jhc = X X 3 X 5x4 = 10故选A.9 . 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()【答案】A【解析】由题意可知几何体是一个底面半径和高都是6的圆柱，挖去一个半圆锥的几何体如图:几何体的

22、体积为：Trx6iK6-XXnx6zx6 =160u.故选：A.10 .如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为A . 15 兀 B. 18 兀3的半球，下部是【解析】 由三视图可知，该几何体是一个组合体，组合体上部为一个半径为 面半径为3.母线长为5,半球的表面积为27工32 = 187,圆锥的侧面积为 正工3犬5 的表面积为 我值一15不=会不 故选D.一个圆锥，圆锥的底:15tt ,所以该几何体凹进去的部分叫卯，! 一种棒卯构件11 .棒卯(s u nmo是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫棒, 棒和卯咬合，起到连接作用 .代表建筑有北京的紫禁

23、城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图中梯的三视图，则该样的表面积和体积为()h5 1 L5止:税图L5 1 I侧视图俯褂.图A, 8十16爪，2+BrB. 9+工讥2+MC. 8+ 16冗 4 +Sir1的正方形，高为2),下方为圆柱【解析】 由三视图知该样头是由上下两部分构成：上方为长方体(底面为边长是(底面圆半径为 2,高为2).其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积,所以5 =+伍 hZ9 - 4仕乂节+ 16耳.其体积圆柱与长方体体积之和，所以，二+ i 乂£乂2 = 8jz+2.故选A.12 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()(A) 6短.(B) 6(C) 672(D) 4【答案】B【解析】由正视