【常考题】高三数学上期中一模试题(带答案)

1、【常考题】高三数学上期中一模试题（带答案）一、选择题1.朱载培（15361611）,是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作 律学新说中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等 程律” .即一个八度 13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为fi,第七个音的频率为f2f2 ,则 f =f1A. 412/22.数列anB. 11162的刖n项和为SnnC.1, bn8 2n1 an nD. 3 2N* ,则数列bn的前50项

2、和为（）A. 49B. 50C.99D. 1003.设 ABC的三个内角A, B, C成等差数歹U, 个三角形的形状是sin A、sin B、sinC成等比数列，则这A.直角三角形B.等边三角形（）C.等腰直角三角形D,钝角三角形4.已知等差数列an的前n项和为Sn,cS9S5a19,95则Sn取最大彳1时的n为A.B. 5C.D. 4 或 55.设等差数列an的前n项和为Sn,且nSn1n 1Sn n N.若 a8 a70,则（）A.Sn的最大值是SB.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S76.已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得/

3、ABC=120 ,则A、C两地的距离为A. 10 km)B. 、3 kmC 10.5 kmD. 10、7 km7.已知数列an满足a1=1,且an13an1 n(-)n(n 2 ,且nC N*),则数列an的通项公 3式为（A.an3nn 2nB- an3nC. an=n+2D. an= ( n+2)3n8.ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若bsin AV3a cos B 0 ,且 b2ac ，ac的值为（） bA. 2C.2D. 49.已知等比数列 an的各项均为正数，若log3a log3a210g3 a1212 ,则 a6a7A.B. 3C. 6D.10.12,A.3xxx

4、, y满足约束条件x0，若目标函数z axby (a 0,b0)的最大值为3的最小值为( b256已知B. 25-25D.ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为(.3A.一4D.12.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, S表示VABC的面积，若ccosB bcosCasinA, S 3 b24A. 90二、填空题B. 60C. 45D. 3013.在ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, a 2,且b sin1A sinB c bsinC,ABC面积的最大值为14.2x已知实数x, y满足不等式组xy2y3 0,

5、则z x 2y的最小值为6x y 3 0,15.设不等式组x 2y 3 0,表示的平面区域为1,平面区域2与1关于直线x 12x y 0对称，对于任意的 C 1,D 2,则|CD的最小值为 .1 216.已知a 0, b 0, 2, a 2b的取小值为 . a b3 -9 -17 .已知等比数列an的前n项和为Si.右a3= , S3=,则a1的值为2218 .设 a R,若 x>0时均有(a1)x1( x 2ax1) 则 a=.19 .在 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a,b,c成等比数列，且a2 c2 ac bc,贝U 一- 一的值为. bsin B20 .在2U

6、BC中，若 sfinAsiiiRsin。= 78 13 ,则。二.三、解答题21 .在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为a, b, c, 2cosc acosB bcosA c 0.(i)求角C的大小；()若 a v/2, b 2，求 sin 2B C 的值. 222 .已知数列an的前n项和sn n一n .2(1)求数列an通项公式；1(2)令bn ,求数列 bn的前n项和Tn.anan 123 .在VABC中，角A B C所对的边分别是a, b, c,已知sinB sinC msinA m R ,且2a 4bc 0.一 5当a 2, m 一时，求b, c的值； 4(2)若角同为锐角，求

7、m的取值范围.一一Y 一,3, v24 .已知向重a , sinx cosx与b 1,y共线，设函数 y f x . 2 22(1)求函数f x的最小正周期及最大值.(2)已知锐角 ABC的三个内角分别为 A,B,C ,若有f A J3 ,边3-.21BC 后sin B ,求 ABC的面积.72*25 .已知数列an的前n项和Sn pn qn p,q R,n N ，且a1 3§ 24.(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn 2an ,求数列bn的前n项和Tn .2126.数列an中，a1 1 ,当n 2时，其前n项和&满足&2 an (Sn -).2(1)求Sn的

8、表达式；S(2)设bn =,求数列bn的前n项和Tn .2n 1【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除、选择题1. D解析：D【解析】【分析】:先设第一个音的频率为 a ,设相邻两个音之间的频率之比为q ,得出通项公式，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。【详解】:设第一个音的频率为 a ,设相邻两个音之间的频率之比为q，那么an aqn1 ,根据最1后一个音是最初那个音的频率的2倍，a2a2n122冠，所以a134aaqq 乙q43 2,故选 df a3【点睛】从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等：本题考查了等比数列的基本

9、应用, 比数列。2. A解析：A【解析】试题分析：当n1 时，a1 S12时,anSnSn 11 2n ,把n 1代入上式可得a13 .综上可得an2nnn2 .所以bn3,n 12n,n为奇数且n2n,n为偶数1 .数列bn的前50项和为L 496 L 50考点:24 3 4925 25021求数列的通项公式2；2数列求和问题.49 .故A正确.3. B解析：I2,又因为sin A、3【解析】 【分析】先由 ABC的三个内角A, B, C成等差数列，得出B -, A C3， 2 一 一3 也、一sinB、sinC成等比数列，所以sin B sin A sin C ,整理计算即可得出答案 4【

10、详解】因为 ABC的三个内角A, B, C成等差数歹U,所以B , A C 3又因为sin A、sinB、sinC成等比数歹U,所以 sin2 B sin A sin C2 所以sin A sin Asin A,2sin cos A3,2sin Acos?sin2A-sin2 A 21 cos2A41 .sin 22A即sin2A 13又因为A 23所以A故选B【点睛】本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得一,再利用三角公式转 3化，属于中档题.4. B解析：B【解析】由an为等差数列，所以S992d4,即2,由a19 ,所以an 2n11,令 an 2n 11 0 ,即11n 7，所以S

11、n取最大彳1时的n为5, 故选B.5. D解析：D【解析】【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由 a8 a7 0可得a7和a8的符号，即可判断 Sn的最小值.【详解】 由已知，得 n 1 Sn nSn 1 ,所以所以n a1 an2nn 1a1an 12 n 1'所以anan 1 ,所以等差数列an为递增数列.又a8a70 ,即即数列 an前7项均小于0,第8项大于零，所以Sn的最小值为S7,故选D.【点睛】本题考查了等差数列前 n项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n项和最值的判断，属于中档题.6. D解析：D【解析】【分析】直接

12、利用余弦定理求出 A, C两地的距离即可.【详解】因为A, B两地的距离为10km, B, C两地的距离为20km,现测得/ ABC=120°,则 A, C 两地的距离为： AC2= AB2+CB2 - 2AB?BCcosZ ABC = 102+202-“12 10 20700.2所以AC= 106km.故选D.【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力.7. B解析：B【解析】(Jn(n 2 ,两边同时除以 占工二1,运用累加法，解得 叩-1,整理得an1试题分析：由题可知，将 an an 13考点：累加法求数列通项公式8. A解析：A【解析】【分析】由正弦定理，化简求得 s

13、in B J3cosB 0,解得B再由余弦定理，求得34b2 a c 2,即可求解，得到答案.【详解】在 ABC 中，因为 bsin A J3acosB 0，且 b2 ac ,由正弦定理得 sin Bsin A J3sin AcosB 0 ,因为 A (0,),则 sin A 0 ,所以 sin B J3cosB 0,即 tanB J3,解得 B -,由余弦定理得 b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac (a c)2 3ac (a c)2 3b2,一 22a c 一即4b2 a c ,解得 2,故选A.b【点睛】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很

14、好地解决三 角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.通常当涉及两边及其中一边 的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运 用余弦定理求解.9. D解析：D【解析】【分析】首先根据对数运算法则，可知log3 31a2.a1212,再根据等比数列的性质可知a1a2 a12a6a7 ,最后计算 a6a7的值.【详解】由 10g3 a1 10g3 a2 L10g3 al2 12 ,可得 log3 a1a2L a12 12,进而可得 a1a2 L a12a6a7 6 312 ,a6 a79 .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意

15、在考查转化与化归和计算能 力.10. A解析：A【解析】【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数z ax by(a 0,b 0)何时取最大2 312 3值，进而找到a, b之间的关系式2a 3b 6,然后可得2 3 1(- 3)(2a 3b),化 a b 6ab简变形用基本不等式即可求解。2 31 23、,cI/ 6a6b、1”c 6a6b、25所以I-(-)(2a 3b)-(13 )-(132J)工。a b 6 a b6 b a 6 b a 66a 6b.一 . 6当且仅当b a 即a b °时，上式取“=”号。52a 3b 65所以当a b 6时，2 °取最

16、小值差。5 a b6故选A。【点睛】利用基本不等式a b 2 , ab可求最大(小)值，要注意“一正，二定，三相等"。当a, b都取正值时，(1)若和a b取定值，则积ab有最大值；(2)若积ab取定值时, 则和a b有最小值。11. A解析：A【解析】【分析】 设三角形的三边分别为 n,n 1,n 2(n N*),根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n的值，于是可得最小角的余弦值.【详解】由题意，设ABC的三边长分别为n,n1,n 2(n N*),对应的三角分别为 A,B,C,由正弦定理得nn 2n 2sin Asin Csin 2An 2,

17、2sin Acos A所以cos An 22n又根据余弦定理的推论得cos A(n2)2 (n 1)2 n22(n 2)(n 1)n 52(n 2)n 2所以2n所以cos An 5,解得n2(n 2)4 53 , 2(4 2)4 3即最小角的余弦值为-4故选A.【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程, 使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题.12. D解析：D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA=1,即A = 900,由余弦定理、三角形面积公式可求 角C,从而得到B的值.【详解】由正

18、弦定理及 ccosB bcosC asinA,得sinCcosB sinBcosC sin2A,2sin C B sin A sinA1,因为 00A1800,所以 A 900;由余弦定理、三角形面积公式及s b2a2c2,得1 absinC 2abcosC,424整理得 tanC * ,又 00 C 900，所以 C 600，故 B 300.故选D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题.、填空题13 .【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式 法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可

19、转化为化简得由余弦定理得 因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要 解析：3【解析】【分析】根据正弦定理将2b sin A sin Bc b sinC转化为222a b a b c b c,即 b2 c2 a2 bc,由余弦定理得 cosA -一c 2bc 、1再用基本不等式法求得 bc 4,根据面积公式 Sabc bcsinA求解.2【详解】根据正弦定理2 b sin A sin Bc b sinC可转化为a b a b c b c,化简得 b2 c2 a2 bcb2由余弦定理得cosA sin A 1 cosA 222c a12bc222bcb c时取"

20、"因为 b2 c2 a2 bc所以bc 4 ,当且仅当所以 S ABC 'bcsinA bc 244则ABC面积的最大值为志.故答案为：3 本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力, 属于中档题.14 .-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的ABCS直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z最小所以故填-6解析：-6【解析】1 z由题得不等式组对应的平面区域为如图所小的ABC,当直线y X 经过点A(0, 3)2 2时，直线的纵截距*最大，z最小.所以Zmin 0 2 36.故填-6.215【解析】作出不等式组所表示的可行域如图

21、阴影部分由三角形ABC勾成其中作出直线显然点A到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点 A到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区解析：立5 5【解析】作出不等式组所表示的可行域1 ,如图阴影部分，由三角形ABC构成，其中A(1, 1),B(3,0),C(1,2),作出直线2x y 0 ,显然点A到直线2x y 0的距离最近，由其几何意义知，区域1, 2内的点最短距离为点 A到直线2x y 0的距离的2倍，由,一一，-2 1|J5 一.点到直线的距离公式有：d j ,所以区域 1内的点与区域 2内的点之.22 125间的最近距离为管，即|CDf ¥ 1

22、 小 K氐、N及产| V2娓5-4点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题.巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键 .16.【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且 仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生 对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换 ,一 9斛析：2【解析】【分析】ii2b) 2 (a 2b)(2a先化简a12b (a22，一 鹏 -),再利用基本不等式求最小值 b由题得a12b (a2112b) 2 (a 2b) ( 2a2) 1(5 2a 空) b 2 b a9 .2 23当

23、且仅当 a b 即a b 时取等.2222a 2b,9故答案为：92【点睛】.解本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力 题的关键是常量代换.17.或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q=1时S3=3a1即可求解当qwl时根据求和公式求解【详解】当 q=1时S3= 3a1=3a3= 3X =符合题意所以a1=;当qwl时S3= = a1(13解析：3或6 2【解析】 【分析】由题意，要分公比q 1,q 1两种情况分类讨论，当 q=1时，Ss=3a1即可求解，当qw1 时，根据求和公式求解.【详解】 当 q=1 时，S3 = 3a1=3a3=3

24、x9= 9,符合题意，所以 a= 3 ;222当 qw1 时，埼=a_J_q_ = a(1 + q+q2)=9 ,22 3, 口3又a3 = aiq = 一 倚 ai = 2 ,代入上式，22q'm 3C 9 rr 11得2 (1 + q+ q)=,即工+2=0, 2q '“2 q q1-1 ，、斛得一=一2或一=1（舍去）.qq3一.1 2因为q=-,所以a1=1=6,2 223综上可得a1=3或6.2【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档 题.18.【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令都过定点考查函数令则

25、与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故 . .一 3斛析：a -2【解析】【分析】【详解】当4=1时，代入题中不等式显然不成立当口丰1时，令跖二（厘-1）K一1, 此二？ 一口工一l ,都过定点似-1）考查函数 防=（由-1） x-l,令y = 0 ,则x=1 、二J1 =（1一1）工-1与K轴的交点为 ，口1厘-1 /二五,口时，均有口- 1（父一以一 1）20n（ 11二也过点-Q H J.-U0以-1） a -13,、人，解得出 二1或厘=0 （舍去），19.【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】成等比数列.又在中由余

26、弦定理因.由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题解析：2.2利用a,b,c成等比数列得到c2 b2a2 bc ,再利用余弦定理可得A 60 ,而根据正弦c 1定理和a,b,c成等比数列有 ，从而得到所求之值.bsin B sin A【详解】a, b,c成等比数列，b2 ac.又,a2 c2 ac bc , c2 b2 a2 bc .2. 22.在 ABC中，由余弦定理 cos A c-b -, 2bc 2由正弦定理得cbsin B因 A 0, A 60 .sinC sin C2,sin Bsin B sin B因为 b2ac ,所以 sin2 B sin Asin C ，故

27、sin C sin C 12.3sin2 Bsin Asin C sin A 3故答案为2_3.3在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件， 如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理 化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角 的关系式或边的关系式.20. 2冗 3【解析】二,由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=7:8:13 .a： b: c=7: 8: 13令 a=7kb=8kc=13k (k>0)利用余弦定理有 cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64一 2

28、用斛析：【解析】-由正弦定理可得 sin4:sinfl：sinC = 7:8; 13，" ：石：c = 7 ： 8 ： 13 ,令。=7k ,匕=8在，v = 13A (fc>0),利用余弦定理有a2 c2 49ALi + 64北工一 169北21=. C= 120 ，故答2fs112fc32案为12。解答题21.(I) C4 (n)7.210【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，求得 cosC的值，由此求得 C的大小.（II）根据余弦定 理求得c ,利用正弦定理求得 sin B ,利用同角三角函数关系式求得cosB ,由二倍角公式求得sin2B,cos2B的值，再由

29、两角差的正弦公式求得sin 2B C的值.sinBcosA sinC 0解：（I）由已知及正弦定理得J2cosC sin AcosB-一 一.一、.20应cosCsinC sinC 0， cosC ，02一 3（口）因为a J2, b 2，C ，由余弦定理得422,2cab 2abcosC242.2210, c 同由一 -b-sin B ，5,因为B为锐角，所以cosB 逃sin C sin B55sin 2B 2 25 -, cos2B cos2 B sin2 B - 555542232sin 2B C sin 2BcosC cos2BsinC52527,210【点睛】本小题主要考查利用正弦

30、定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题22. (1) ann； (2) Tn n 1（1 ）根据an和Sn关系得到答案（2）首先计算数列 bn通项，再根据裂项求和得到答案【详解】解：（1）当 n 1 时，a1 S1 1当n 2时，为 Sn Sn1 n n 1时符合 nTn【点睛】本题考查了和Sn关系，裂项求和,是数列的常考题型23. (1)2; (2)-622【解析】试题分析:本题考查正弦定理和余弦定理；(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系再通过解方程组求解；(2)利用余弦定理进行求解试题解析:由题意得 b c2ma, a4

31、bc0.(1)当 a2, m一时，b 452，bc1,b解得c12;2 cosAb22c2bc2bc2ma2bc2 a -2 2 a 万2a2m2 3,:月为锐角,cosA2m2 30,-22,又由b c ma可得m 0,.出 m ,2. 2点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:第二步:定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步:求结果.24. (1)T 2 ,当 X 2k 6,k Z 时，f X max 2 (2) Sabc 号(1)因为a与b共线，所以-y (sin x cos x) 0 222f x 2sinx 一,所以f x的周期T 23(2)2k、,32si