(完整版)必修四向量加法运算及其几何意义(附答案)

1、向量加法运算及其几何意义学习目标1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则彳两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性.声知识梳理自主学习知识点一向量的加法1 .向量加法的定义定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.对于零向量与任一向量 a,规定0+a=a+ 0= a.2 .向量求和的法则三角形法则如图，已知非零向量 a, b b,则向量AC叫做a与b E),在平面内任取一点 A,作AB=a, BC = 的和，记作 a+b,即 a+b=AB + BC

2、= >AC平行四边 形法则如图，已知两个不共线向量 a, b,作AB =邻边作？ABCD,则对角线上的向量AC = a+b= a, AD=b,以 AB, AD 为思考 如图，已知向量a, b,分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a+b.答案 作法1:在平面内任取一点 O,作OA=a, AB=b,则OB=a+b.作法2:在平面内任取一点 O,作OA=a, OB=b,以OA, OB为邻边作？OACB,连接OC,则 OC = OA+OB= a+b.12知识点二向量的加法和向量的模(1)当向量a与b不共线时，a+b的方向与a, b都不相同，且|a+b|<|a|十|b|;(2)当a与b

3、同向时，a+b, a, b的方向相同，且|a+b|= |a|+|b|;(3)当a与b反向时，若|a|>|b|,则a+b与a的方向相同，且|a+ b|= |a|- |b|. 若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+ b|= |b|- |a|.知识点三向量加法的运算律交换律a+ b= b+ a结合律(a+ b) + c= a+ (b+ c)思考1 根据下图中的平行四边形 ABCD,验证向量加法的交换律：a+b= b+a.(注：AB=a,AD = b)答案 . ;AC= Ab+BC,Ao=a+b.,. AC=AD + DC,，AC=b+a. a+ b= b+ a.思考2 根据下

4、图中的四边形 ABCD,验证向量加法的结合律：(a+b) + c=a+ (b+c).答案 AD=AC+CD = (AB + BC) + cD,.AD = (a+b)+c,又 AD = AB+BD= AB+(BC+CD), .AD = a+(b+c), (a+ b) + c= a + (b + c).市点突痂-题型探究题型一向量加法及其运算律例1化简：f三 z7L(1)BC+AB; (2)DB + CD+BC;7-L三(3)AB+DF + CD + BC+FA. -一解 (1)B C + A B = A B + B C = A C.>(2) D B + C D + B C = B C +

5、C D + D B=(BC+ CD) + DB = BD + DB = 0.(3)A B+ D F + C D + B C+ F Ar±'三= AB + BC+ CD + DF + FA-一 = AC + CD + DF+ FA> 少=AD + DF + FA=AF + FA=0.跟踪训练1如图，在平行四边形 ABCD中，O是AC和BD的交点. aB+AD =.(2)AC+ CD + DO =-(3)AB+AD + CD = (4) A C + B A + D A=题型二 向量加法在平面几何中的应用一 .，一一， ,，一 一 ， ， 、 ， 例2 已知四边形 ABCD的

6、对角线 AC与BD相交于点 O,且A O=O C, D O = O B.求证：四边形 ABCD是平行四边形.、一 ilY一一证明 AB=AO+OB, DC=DO + OC,一 ， ±又. AO=OC, OB = DO,AB=DC.AB = CD 且 AB / DC.四边形ABCD为平行四边形.跟踪训练2如图所示，在四边形 ABCD中，AC=AB + A&,试判断四边形的形状.解 . AC=AB+AD,夕 < T I-/，DC = DA + AC= DA+AB + AD = DA+AD + AB=AB,即 DC = AB./H四边形ABCD为平行四边形.题型三向量加法的实

7、际应用例3在水流速度为4甲km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶, 求船航行速度的大小和方向.解 如图，设AB表示水流速度，则AC表示船航行的实际速度，作 AD统4 .33BC,则AD即表示船航行的速度.因为 |AB|= 4 瓜 |AC|= 12, Z CAB=90°,所以 tan/ACB =即/ACB=30°, /CAD = 30° .所以 |AD|=8 艰，/BAD=120 ° .即船航行的速度为 8 73 km/h ,方向与水流方向所成角为120° .跟踪训练3如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方

8、向飞行800 km 北|到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km /步、厂送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.二.解 设AB, BC分别表示飞机从 A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行800 km,则飞机飞行的路程指的是|AB|+|BC|；两次飞行的位移的和指的是 Ab+ Bc=Ac.依题意，有 AB|+|Bc|= 800 + 800= 1 600(km),又 a= 35°, 3= 55°, Z ABC =35°+ 55 = 90°,所以|AC|

9、= J|Ab|2+ |BC|2 = 8002+8002= 800*(km).其中/BAC = 45°,所以方向为北偏东 35°+ 45° = 80°从而飞机飞行的路程是 1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800v2 km,方向为北偏东80°向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,即把每个向量平移， 使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量.如图，即：A1A2+A2A3+A3A4+ +An lAn=AlAn或 A1A2+A2A3+ + An lAn+AnAl= 0.这是一个极其

10、简单却非常有用的结论.利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效.例 4 在正六边形 ABCDEF 中，AC + E3D + CE+5f + EA+ FB =解析 ;ac+Bd + ce + i5f + Ea + fb= (AB+BC)+(BC+CD)+ (CD + DE) +(DE + EF)+ (EF + FA)+(FA+AB)=(ab + bC + cd + dE + eF + fA) + (bc c cd + de + eF + fA+ ab) =0+0=0.答案 0心当堂检测自查囱纠1 .作用在同一物体上的两个力Fi=60 N, F2=60 N,当它们的夹角为120

11、76;时，则这两个力的合力大小为（）A. 30 N B. 60 NC. 90 N D. 120 N2 .如图，D、E、F分别是 ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是 （）一. .A.FD + DA + DE = 0C.FD +-DE +AD = AB-LB.A D + B E+C F = 0,D.AD + EC+ FD = BD3.已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,则aB+BC + AC的模等于 . 4,化简：(1)AB+CD + BC;(2)(M A + B N) + (A C+ C B)； (3)AB +(BD + CA) +DC.5.如图所示，P, Q是 ABC

12、的边BC上两点，且 BP=QC.求证：AB+AC = AP+AQ.课时精练一、选择题1 .已知向量 a/ b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向（A .与向量a方向相同C.与向量b方向相同2 .下列等式错误的是（）A . a + 0= 0+ a = aC.AB+BA=0)B.与向量a方向相反D.不确定B.AB + BC +AC = 0> > -> >D.CA+AC= MN + NP+ PM3. a, b 为非零向量，且 |a+b|=|a|+|b|,则（）A . a/b,且a与b方向相同B . a, b是共线向量且方向相反C. a= bD. a, b无论

13、什么关系均可4.如图所示，在平行四边形 ABCD中，bC+DC + BA等于（）A&-A. BDB.DB:/C.BCD.CB5.如图所不，在正六边形 ABCDEF中，若AB = 1,则|AB+FE+CD|等于（）A . 1C. 3B. 2D. 2 .36.设a=(AB+CD)+(BC+DA), b是任一非零向量，则下列结论中正确的是a/b;a+b=a； a+b=b;(3)|a+ b|= |a|- |b|； |a+b|= |a|+|b|.A. B, C. D.二、填空题7,根据图不'填空，其中 a=DC, b = CO, c= OB, d= BA.(1)a+ b + c=;(2)

14、b+d + c=.8 .已知|a|=3, |b|=5,则向量a+b模长的最大值是 .9 .已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB=a, AC=b, BC=c,则 |a+b+c|=10 .已知点G是 ABC的重心，则GA+GB+GC =.三、解答题11 .如图，平行四边形 ABCD中，对角线AC与BD交于。点，P为平面内任意一点.求证：R+ PB+ PC+ PD = 4PO.12 .已知 |OA|=|a|=3, |OB|=|b|=3, Z AOB=60 , 求 |a+ b|.13 .如图所示，在平行四边形 ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点 F,E,使BE= DF.求证：四边形

15、AECF是平行四边形.当堂检测答案1 .答案 B2 .答案 D解析 FD + DA + Di = FA+Di = 0,三_AD + BE + CF = AD + DF + FA= 0,f LL r± r±fFD + DE + AD = FE + AD = AD + DB = AB,f三 三 _r±AD + EC + FD = AD + 0 = AD = DB w BD.故选D.3 .答案 2月 f -L4,解(1)AB+ CD + BC= AB+ BC解析 |AB+ Bc+AC|= |2AC|= 2|aC|= 213.+ CD = Ad.f zrt. ffff 士

16、. 一-.(2)( MA + BN) + (AC + CB) = (MA + AC) + (CB+BN) = MC + CN= MN.ff一 一(3)AB+ (BD+ CA)+ DC = AB+ BD+ DC + CA= 0.、.一 -ff -L5,证明AP= AB+ BP, AQ = AC+ CQ,r± f-L，AP+AQ= AB+AC+ BP+CQ.又. BP=QC且BP与CQ方向相反, .Bp +(Cq = 0,-it -工 -> E r ->-> -> >.AP+AQ= AB+AC,即 AB+AC=AP + AQ.课时精练答案一、选择题1 .答案

17、 A解析 如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a（或b）的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与 a的方向相同.2 .答案 B解析 ;AB+BC + ;AC= Ac+A0 = 2AC W0,故 B 错.3 .答案 A4答案 C解析 EBC+ 5C + E3A = I3C + (DC + I3A)= BC+0= BC.5答案 B解析 |AB+ Fl+Cb|= |AB+BC+CD|=|Ab|=2.6 .答案 C解析 a=0, a II b, a+b=b, |a+b|= |a|+|b|,故选 C.、填空题7 .答案(1)DB (2)CA解析 (1)a+b+ c=

18、DC + Co + OB=Db.f 。 f 三(2)b+d + c=C o+ b a+o b = c a.8 .答案 8解析 |a+b|< |a|+ |b|=3+5=8.，|a+b|的最大值为 8.9 .答案 2小解析 |a +b+c|=|AB + AC+BC|= |AB+BC + ;AC| = |AC + AC|= 2|品| = 2心.10 .答案 0解析 如图所示，连接 AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE 到 D 点，使 GE=ED,则GB+GC=GD, GD+GA=0,. " GA + GB + GC = 0.三、解答题11 .证明-. Pa+PB+PC + iPd=Po+oa+ po+ ob+ po + 0C+ Po+ od=4P 0 +(0 A +0 B+0 C + 0 D)= 4P0 + (0A + 0C) + (0B + 0D)=4P0 +0+ 0 = 4P0.