2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学(文)试题

1、2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学（文科）试题一、单选题1.设集合 A=x3<x<l,B=x|x24x12M0,则 ACB=（）D. (3,1)A. 1-2, -1 ) B. (-2,-1)C. (1,62,已知复数2=2，2为）的共轲复数，则（1+Z）. Z=（）A . 5 + iB. 5 -iC. 7 -iD. 7 + iD.3 .已知平面向量a=（2,1）,b=（2,4 ）,则向量3与b的夹角的余弦值为（）A.第3页共24页4 .某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）国

2、1*一国2D. 31.25%A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%5,已知 tana =&，则 cos 2覆一一=()4A.也B.3C, 42D."6666x - y 06.若x,y满足约束条件x + y42,则z=4x + y的最大值为()x 1 - 0A . -5B. -1C. 5D. 6227.已知双曲线C:7-y7=1（a>0 , b>0）的焦点到它的渐近线的距离为 2,点 a bP（3三一2）是双曲线C上的一点，则双曲线 C的离心率为（8.将函数f (x )=sin 'x+土丽图像向右平移 m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)

3、6的图像，若g(x )为奇函数，则 m的最小值为()二2 二二二A . -B .C. -D . "249 .已知 p:ln2 ln9ln J3 lna , q:函数 f (x )= Inx -a在(0, e4上有 2个零点，则 P是q的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件10 . 一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1,大圆工，如图2放置容器柱底面半径为2 ,如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为hi时，放面以上空余部分的图为 h2,则=()2h2阳 IIB211 .已知定义在 R上的函数f(x )满足

4、f(x)=f(-x),且在(0,收)上是增函数，不等式f (ax +2尸f (-1 )对于xw 1,2恒成立，则a的取值范围是A.13，- B- l-1，-21C卜2，”D. 0，112.已知函数ex(2'f (x)= -t .lnx+x+-恰有一个极值点为1,则实数t的取值范围是 xIx JA.11 -ZeC P2JD力二、填空题13 .已知等差数列an的前n项和是Sn,公差d=3,且a1，a3,a8成等比数列，则Sio =.14 .中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1 5这5个数中随机

5、选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为 .15 .如图，圆锥 VO的母线长为l ,轴截面VAB的顶角/AVB = 150)则过此圆锥的 项点作该圆锥的任意截面 VCD,则|_VCD面积的最大值是 ；此时NVCD=16 .过抛物线C： x2 =4y的准线上任意一点 P作抛物线的切线 PA, PB,切点分别为A, B,则A点到准线的距离与 B点到准线的距离之和的最小值是 .三、解答题17 . AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知(sin A+sin B X a b )+bsinC =csinC，点 D 为边 BC 的中点，且 ad =行.(1)求 A;(2)若b =2c

6、 ,求MBC的面积.an -118.已知数列tan)满足a1 =1,且an* =77.an 31，一证明数列1是等差数列，并求数列 tan'的通项公式.an 12n(2)若bn =,求数列bn 的前n项和Sn .an 119 .中央广播电视总台 2019主持人大赛是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和第3页共24页大二两个年级各随机抽取了 100名大学

7、生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为赛迷”00125 0.0 H0 aoioo D00WO.4XJ5O 0.00150时间分用n*81(0.20)12加24* I * 印”中少L« -Wh loo>r & 一大一学生场均关注比赛时间的频率分布直方图大二学生场均关注比赛时间的频数分布(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是赛迷”的概率大，请说明理由；(2)已知抽到的100名大一学生中有男生 50名，其中10名为 赛迷”试完成下面的2M 2列联表，并据此判断是否有 90%的把

8、握认为 赛迷”与性别有关.非赛迷”赛迷”合计男女合计2小 2n ad -bc上.附： K =，其中 n = a + b + c + d.a b c d a c b dP(K2 *0 )0.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.02420.如图 1,在等腰梯形 ABF1F2 中，两腰 AF2 = BF1 =2,底边 AB=6, F1F2 = 4,D、C是AB的三等分点，E是F1F2的中点.分另iJ沿CE, DE将四边形BCEF2和ADEF2折起，使Fi、F2重合于点F ,得到如图2所示的几何体.在图2中，M、N分别为CD、EF 的中点.第30页共24页证明：MN _

9、L平面ABCD(2)求几何体ABF -DCE的体积.21的直线与P满足21.已知椭圆C： x2 + y2 =1(a >1)的左顶点为 A,右焦点为F,斜率为椭圆C交于A , B两点，且OB _L AB ,其中O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆 C交于M , N两点，若点| NPOP =3PM，且NP与椭圆C的另一个交点为 Q ,求J1的值.0P 3PM|PQ|1.22.设函数f (x )=x t lnx ,其中x=(0,1 )t为正实数. x(1)若不等式f (x)<0恒成立，求实数t的取值范围；21x(2)当 x匚(0,1)时，证明

10、 x +x 1<elnx.x解析、单选题1 .设集合 A=x|3<x<l,B=x|x24x12M0,则 AflB=()A. 1-2, -1 )B. (-2,-1)C. (1,6D. (-3,1)【答案】A【解析】先求出集合 A, B ,再根据交集的运算即可求出Ap B .【详解】因为 A=x|3<x<仆，B=x| 2 <x<6,所以 Ac B = x | 2 W x < 1.故选：A.【点睛】本题主要考查交集的运算以及一元二次不等式的的解法，属于基础题.2,已知复数z=2i,z为z的共轲复数，则(1十z). z=()A.5 + iB.5iC. 7

11、 iD.7 + i【答案】D【解析】由共轲复数的定义求出z,再根据复数代数形式的四则运算法则即可求出.【详解】 因为 z=2 +i，所以(1+z) z=(3 i *2 + i )=7+i .本题主要考查复数代数形式的四则运算法则以及共轲复数的定义的应用，属于基础题.3.已知平面向量a=(2,1),b=(2,4 ),则向量a与b的夹角的余弦值为()A.B.C.-D. L十曰一一十一一 rr H【解析】由向量的模的坐标计算公式求出a,b ,利用数量积的坐标表不求出a b ,再根据向量的夹角公式即可求出.【详解】810由a =(2,1 ),b = (2,4 ),得a = J5,|b =2，5 .设向

12、量：与1的夹角为6 ,则cos-二【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.4 .某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A. 6.25%B.7.5%C. 10.25%D. 31.25%【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比水费开支占总开支的百分比为250250 450 10020% =6.25%.故选：A本题考查折线图与

13、柱形图，属于基础题5 .已知 tana = J2,则 cos. 2" -4c 42C.6【解析】利用三角恒等变换与同角三角函数的平方关系将cosl 2：一化简为关于4tana的式子，代入tano（ =J2即可得解.因为tana = J2,所以cos 2二一2 ii 2：2. 2=cos2 二- -sin2 =二cos cos : -sin2：工 厂,2sin： cos二22 1 tan. 2 tan ;1 tan2 ;、2 cos2: -sin2 :. 2sin ： cos ：2：22：22 cos :-sin :工） cos 工 “ sin 一2 2 4 - .2 .636故选：D

14、【点睛】本题考查三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，注意“1在化简中的妙用，属于基础题.x - y _ 06.若x,y满足约束条件«x + y E2,则z=4x + y的最大值为（x 1 _ 0B. -1C. 5D. 6【解析】作出可行域，根据平移法即可求出z = 4x + y的最大值.【详解】画出可行域，如图所示:由图可知，当直线 z=4x + y经过点(1,1)时，z取最大值5.故选：C.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法，属于基础题. 227 .已知双曲线 C:y-7=1(a>0 , b > 0 )的焦点到它的渐近线的距离为 2,点 a bP(4j2,2

15、)是双曲线C上的一点，则双曲线 C的离心率为()A.百B.迫C匹D.匹323【答案】D184.222【解析】根据题意可知，b=2, - - =1, c2 =b2+a2,解出a,c，即可求出.a b【详解】x2 y2因为双曲线C:-2与=1( a a 0,b a 0)的焦点到它的渐近线的距离为 2,所以b = 2,a b把点P(3J2, 2)的坐标代入方程x2L=i ,得114=1, a2=9, a 4a 4c2 =a2+b2 =13,即 a=3,c=V13,所以 e=£=痘. a 3故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题.8 .将函数f (x )=sin .

16、 3x+ |的图像向右平移 m(m0)个单位长度，得到函数g(x) 6的图像，若g(x)为奇函数，则m的最小值为()nA .一9【答案】C2 二B. 一9C.n18nD .24【解析】根据平移法则可知,ng (x )= sin(3x 3m+)，再根据g(x)为奇函数，即 6可得到3m +工=kn, k w Z ,由此解出.6【详解】n+n由题意知g (x )= sin(3x3m+)因为g(x诞奇函数，所以3m + = M ,k三Z .66一 二 k二斛得m = 一 ，k匚Z ,因为m > 0 ,所以m的取小值为 一.18318故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换以及函数y =

17、 Asin( wx+小)的性质应用，属于基础题.9 .已知 p: ln2 ln9 >ln J3 Ina , q:函数 f (x 产 Inx -a在(o, e4上有 2个零点，则 p是q的()a.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】a【解析】先分别求出p,q对应的a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可 判断.【详解】1 1对 p , ln 乏 In9 > ln a/3 lna u ln2 x2ln3 aln3 ln au 0ca<4；2 2对q,函数f (x )= Inx -a在(0,e4 上有2个零点，即函数y = lnx

18、<0 < x E e4)与, 一 ，一 八, 一 、，一、，,4,y=a的图象有两个交点，因为 lne =4,画出它们的图象，可知0<aE4,所以p= q,q，p,即P是q的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的判断，对数运算性质和对数函数单调性的应用，根据函数零点个数求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于中档题.10. 一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1,大圆柱底面半径为2 ,如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为A ,如图2放置容器%时，放面以上空余部分的图为h2,则=()h2r1<ri J<

19、;ri JV ri【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解【详解】2.在图1中，放面以上空余部分的体积为 nr, h1 ；在图2中，液面以上空余部分的体积为,fr 22,2,2, hronr2h2 .因为 ri ri hi = nr2h2,所以=.h2 Iri J故选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.11.已知定义在 R上的函数f(x )满足f(x)=f(-x),且在(0,收)上是增函数，不等式f (ax +2尸f (-1 )对于xw 1,2 恒成立，则a的取值范围是A.3 1 2,一1D.0,1】【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(-°0,

20、0)上是减函数，由此313可将不等式化为 -1 E ax +2 E1 ；利用分离变量法可得 -9 M a M -，求得-士的最大 xxx一1值和-一的最小值即可得到结果.x【详解】；f(x)=f(-x),f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于 y轴对称又f (x法(0,收)上是增函数二f (x )在(3,0 )上是减函数'* f (ax+2)w f (-1)： ax+2 1,即 T 9+2当31* -1 <ax +2 <1对于xu 1,2 恒成立 - - < a < 在1,2上恒成立xx:3 <a < -1 ,即a的取值范围为：I-3, -1 I2一

21、 2本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从x, e12.已知函数f (x )= 一 x而利用分离变量法来处理恒成立问题.-1 lnx +x +- i恰有一个极值点为1,则实数t的取值范围是 xB.-：1，3C.D.【解析】根据题意可知,x-1 x 2/ xe-tix + 2J有且只有一个解 x = 1 ,=0因为x =1是它的唯一解,x所以方程x 2-t=0在(0,")上无解，利用导数判断函数xg(x 在)上的单调性，即可求出.x 2由题意知函数f(

22、x )的定义域为(0,),xT ex12f'x ;丁，r1q(x-1)ex-(x+2)t(xFx+2)x-tx 2因为f(x)恰有一个极值点为1,所以f'(x)=0有且只有一个解，即 x = 1是它的唯一xx解，也就是说另一个方程 ?t=0无解.令g (x = fXA0),则x 2x 2X, x 1 e1g'(x) =-A0,所以函数g(x )在(0,依c)上单增，从而g(x )> g(0 )=,所x 22以，当t E1时， _t =0无解，f (x- -t1 lnx +x +- i恰有一个极值点，所2 x 2xx1 以实数t的取值范围是I-, I.2故选：C.【

23、点睛】本题主要考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值， 意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题13 .已知等差数列%的前n项和是Sn,公差d=3,且ai,a3,a8成等比数列，则Sio =.【答案】175【解析】根据等差数列 斗的通项公式表示出 4, a3, a8,列式即可求出首项 4 ,从而 得到an的通项公式，再根据等差数列前n项和公式即可求出.【详解】2因为现且3,28成等比数列，所以 侬+2父3) =a1(a1 +7M3),解得& =4 ,从而一 .10 9an =3n +1 ,所以 S19 =10X4+黑3=175.2故答案为

24、：175.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及等比中项的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.14 .中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1 5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为 .【答案】10【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求出.【详解】从这5个数中随机抽取3个整数，所有基本事件个数为10,其中的勾股数为（3,4,5）,. 1共1个，故概率P = .10,1故答案为：± .10【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用

25、，属于基础题.215 .如图，圆锥 VO的母线长为l ,轴截面VAB的顶角/AVB = 150）则过此圆锥的 项点作该圆锥的任意截面 VCD ,则VCD面积的最大值是 ；此时/VCD=一 _ 1 2【解析】设顶角 NCVD=a ,表不出截面 VCD的面积为S1 =l2sinu ,可知当 2sina=1时，VCD面积的最大值为 S1 =12,因为LVCD为等腰直角三角形，即可求出 VCD =45： .【详解】设顶角/CVD=u,则轴截面VAB的面积S=1l2sin150i = 1l2, 241 2截面VCD的面积为& = l sin « ,在三角形VAB和三角形VCD中，CD

26、E AB ,所 21 21 2以aE150.所以当a=90cWS1 = l2,.因此截面面积的最大值是 一l2,此时，因为2 21VC=VD,所以 jVCD -（180=90口）=4512故答案为：l2 ； 45° .2【点睛】 本题主要考查三角形面积公式的应用，以及圆锥的结构特征的应用，属于基础题.216 .过抛物线C： x =4y的准线上任意一点 P作抛物线的切线 PA, PB ,切点分别为A, B ,则A点到准线的距离与 B点到准线的距离之和的最小值是【解析】先求出直线 PA, PB的方程，联立解得xP = X1,由点P是两切线的公共点求得ab的方程为y=%/2+ 1 ,表示出

27、A, B两点到准线的距离之和并化简为2(X1 +X2 ) +4 ,从而求得最小值4设 A(xi, yi ), B(X2, y2 )，则直线PA , PB的方程分别为y =2X1X1X22X2联立解得xPX1X2、， X， yp =一2X2.又直线PA , PB的方程分别可表示为X1 y=x-y1, 2X2公 一 一，、.y = x y2,将p点坐标代入两方程，得2ypypX1 XP可一“X2 Xp所以直线ab的方程为 工2星_y = 1,即y=£2P+1,所以A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为yy2 2 = £ X 1-! XP '2 12 =Xp2X1X2X

28、1X24 = 4 4.4故答案为：4本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题 三、解答题17 . AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知(sin A+sin B X a b )+bsinC =csinC，点 D 为边 BC 的中点，且 AD = J7 .(1)求 A;(2)若b=2c,求AABC的面积.3T【答案】()A = 一 (2) 2后3【解析】(1)化简等式代入余弦定理即可求得A ; (2)由AD为 MBC的中线得uuu uur uuu2AD = AB AC，同时平万可得28=c2+b2+bC，与b = 2c联立解出b, c的值,代入三角形面积公式即可得解【详

29、解】解：(1)由(sin A + sinB/ab )+bsinC =csinC ,可得 a2 -b2 +bc = c2， 222/由余弦定理可得cosA-b ca2bc 2所以A = .3uuu uuu uuu2AD = AB AC，两边同时平方可得(2)因为AD为AABC的中线,故 28 =c2 b2 bc.因为 b = 2c，所以 c = 2, b = 4.所以 MBC 的面积 SBC = ；bcsinA = 2j3.【点睛】本题考查余弦定理，三角形中线的向量表示及三角形面积公式，属于中档题18.已知数列4 满足ai = 1 ,且an 1an -1an 3证明数列1是等差数列，并求数列aj

30、的通项公式©n+1J2n一一(2)若bn=,求数列0的前n项和Sn.an1【答案】(1)见解析，an =2-1Sn=(1n除n+12-1【解析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列i 3是等差数列，并通过数列an 11 的通项公式得到数列aj的通项公式;an 12n1(2)因为bn =n 2 ,根据错位相减法即可求出数列bn)的前n项和Sn .an1(1)因为an书=an - 1an , 3v3 ，n2 an1两边都加上1 ,得小邛+1 =-an 31an 111_ 1on-n =5一 11 :211所以=一 1 + = +,即an 4十 12、an+1j 2% + 1LL ，1 口

31、 1, X 斗 ,11 ,所以数列b是以一为公差，首项为；=7的等差数列.an 12a1 1 2an =- 1 .2 ,1 n r所以-=不，即an 122n因为bn = n 2 ,所以数列bn的前n项和,n nan 1_一 _1_2_n1 Sn =1 父1 +22 +3父2 + +n 2 一 则 2Sn =1 黑21 +2父22+3父23+n 2n ,由一，得-Sn =1X1+1X21 +1父22 +，+1M2n,一n 2n =(1 n )2n -1 ,所以 Sn =(n1)2n +1.【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能

32、力，属于中档题.19 .中央广播电视总台 2019主持人大赛是中央人民广播电视总台成立后推出的第一 个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了 100名大学生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为赛迷”./Ui It，0,0125 0.。1 0,0100 (10090O.4XJ5O 0.

33、0025O20 40 60 SO 100120 酎何/分钟时间分酣1220*40)2仆1口阳”24* KO >22心 10IU16一,.大一学生场均关注比赛时间的频率分布直方图大二学生场均关注比赛时间的频数分布(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是赛迷”的概率大，请说明理由；(2)已知抽到的100名大一学生中有男生 50名，其中10名为 赛迷”试完成下面的2父2列联表，并据此判断是否有 90%的把握认为 赛迷”与性别有关.非赛迷”赛迷”合计男女合计2附:K2n ad -bc ,其中 n = a + b + c + d.a b c d a c b dP(K2 “。)0.150.100

34、.050.025kO2.0722.7063.8415.024【答案】(1)大一学生是 赛迷”的概率大.(2)表见解析，没有90%的把握认为 赛迷 与性别有关.【解析】(1)根据频率分布直方图可求出大一学生是赛迷”的概率为0.25,由频数分布表可求出大二学生是赛迷”的概率为0.22，所以大一学生是赛迷”的概率大；(2)根据中结论，可知 赛迷”有25人，非 赛迷”有75人，即可完成2M 2列联表，计算出K2的观测值，与临界值 2.706比较，即可判断是否有 90%把握.【详解】（1）由频率分布直方图可知，大一学生是赛迷”的概率P =(0.0025 + 0.010户20 = 0.25,由频数分布表可

35、知，大二学生是赛迷”的概率16 6P2 = 0.22 ,100因为P >P2 ,所以大一学生是 赛迷”的概率大.（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中,赛迷”有（0.0025+0.010F 20 父100 = 25（人）,非赛迷”有100-25 = 75（人），2 M2列联表如下：非赛迷”赛迷”合计男401050女351550合计7525100则K241.333, 3100 (40 15-35 10)75 25 50 50因为1.333 <2.706,所以没有90%的把握认为 赛迷”与性别有关本题主要考查频率分布直方图以及频数分布表的应用，填写2M2列联表，以及独立性 检验

36、的基本思想的应用，意在考查学生的数据处理和数学运算能力，属于基础题.20.如图1,在等腰梯形ABF1F2中，两腰AF2 = BE =2,底边AB=6,F1F2 = 4,D、C是AB的三等分点，E是F1F2的中点.分别沿CE, DE将四边形BCEF2和ADEF2折起，使F1、52重合于点F,得到如图2所示的几何体.在图2中，M、N分别为CD、EF 的中点.J证明：MN，平面ABCD(2)求几何体ABF DCE的体积.【答案】(1)见解析(2) 2J2【解析】(1)根据线面垂直的判定定理，可证 BC，平面CDN ,所以平面CDN _L平面 ABCD,再根据面面垂直的性质定理， 证出MN _LCD

37、,即可证出MN _L平面ABCD ； (2)由题可知，几何体 ABF - DCE为三棱柱，它的体积与以 4CDN为底面，以EF为 高的三棱柱的体积相等，即可求出.【详解】证明：连接CF,DN ,由图1知，四边形BCEF为菱形，且/CEF = 60s,所以4CEF是正三角形，从而 CN 1EF .同理可证，DN _ EF所以EF _L平面CDN .又EF / BC，所以BC，平面CDN ,因为BC二平面ABCD,所以平面CDN _L平面ABCD.易知CN = DN ,且M为CD的中点，所以 MN -L CD ,所以MN _L平面ABCD.(2)由(1)可知，几何体 ABF - DCE为三棱柱，它

38、的体积与以 4CDN为底面，以EF为 高的三棱柱的体积相等.因为 CN = DN = 22 -12 = .3,MN "打._1所以 Scdn = 2 .2 = ,2 , 2所以 VaBF _CDE = S_CDN EF = 2 2 = 2、, 2 .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及棱柱 的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和转化能力，属于中档题.2X 21的直线与21 .已知椭圆C： -T + y =1(a>1)的左顶点为 A,右焦点为F,斜率为椭圆C交于A , B两点，且OB _L AB ,其中O为坐标原点.(1

39、)求椭圆C的标准方程;(2)设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆 C交于M , N两点，若点P满足OP =3PM,且NP与椭圆|NP| C的另一个交点为 Q ,求jpQ|的值.【答案】(1) 土十y2 =1325(2) -7【解析】(1)由题意知AABO是以AO为斜边的等腰直角三角形，从而求得B点坐标,代入椭圆方程求出a，即可得解；(2)设点M (Xny ), N(-2,y2), Q(%,y3 ),直线MN的方程与椭圆方程联立求出x1X2 ;号31xx2 = 一，y1y2 = 一，利用计算出442点Q的坐标，因为点Q在椭圆C上，所以旦+ y2 =1 ,整理得 39 1x2 y12 16m231

40、11222 gx2y2m 3二等二力;七人+ %丫？)：1 ,因为2m 31.x122/x1 x2y1 y2 0 ,* y1 = 1332x2+y2 =1,方程解得325|NP| 25m =,即=一7|PQ| 7解：(1)因为直线AB的斜率为1,且 OB_L AB ,所以 MBO是以AO为斜边的等腰直角三角形,，、曰 1 a2c代人椭圆C的方程，得-+=1,解得a2 =3,442所以椭圆C的标准方程为 上+ y2=1.3(2)由(1)得F(J2,0 ),所以直线MN的方程为y = x J2.设点M(K,y1), N仅2,丫2), Q(%,y3 ),2= X_"代入3y2=1 ,得 4X2-6 J2x+3 = 0，所以X1X2 ="23X1X2 二,4所以y1y" x1- 2 x2- 2 =一4因为OP =3pM一 3-4，所以 OP = OM ,4所以c 33P 4X1,4y1 .|NP |PQ|=m，则 NP=mPQ,3 X4333二 y1一y2 =m X3 -X1,y3 - y1 ,444x3所以Ly33(m 1)4m3(m 1)4mx1yi1一X2 , m1y2. m因为点Q在椭圆C上,2所以 + y2 =1,所以1纯3X1.1X23 |L 4m mT 十：3(m+1)-4m1y1 一 y2