2020年江苏省无锡一中高一(下)期中数学试卷

1、第4页，共14页期中数学试卷题号一一总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 经过点（-2, 3）且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是的倾斜角是 .2. 在那BC中，已知AB=3, A=120 °,且那BC的面积是邛,则AC的边长为 3. 直线（m+1） x-（12m） y+4m=0经过一定点，则该定点的坐标是 4. 设 AABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 b+c=2a, 3a=5b,则/C=5. 若直线l经过点A（-3,4），且在坐标轴上截距互为相反数，则直线l的方程为 6. 在AABC 中，sinA： sinB： sinC=2： 3： 4

2、,贝U sinC=.7. 直线 ax+2y+a+1=0 与直线 2x+ay+3=0 平行，则 a=8. 表面积为3兀的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为 9. 直线l过点P （1, 5）,且与以A （2, 1） , U（0, Ji）为端点的线段有公共点，则 直线l斜率的取值范围为.10. 如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的棒卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即 丁樟卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成序E三&三组，经90°桦卯起来.现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边

3、长为1,欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30 0则正四棱柱的高为.11.9BC的三边长是三个连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，则此三角形的面积为.12. 9BC 中，ZC=90 °, M 是 BC 的中点，若戏贝 U sin/BAC=13.如图，已知AB为圆。的直径，C为圆上一动点，PAX 圆。所在平面，且 PA=AB=2,过点A作平面&XPB, 交PB, PC分别于E, F,当三棱锥P-AEF体积最大 时，tan ZBAC =.14 .如图，半圆。的直径为2, A为直径延长线上一点， OA=2, B为半圆上任意一点， 以线段AB为

4、腰作等腰直角 那BC （C、O两点在直线 AB的两侧），当ZAOB变化 时，OC/恒成立，则 m的最小值为 .二、解答题(本大题共 6小题，共80.0分)15 .在那BC中，角 A、B、C对应边分别为 a、b、c.(1)若 a=14, b=40, cosB=：,求 cosC；(2)若a=3, b=2中冏，B=2A,求c的长度.16.如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面ABCD是平行四边 形，PA"面ABCD . M是AD的中点，N是PC的中 点.(1)求证：MN /狂面PAB;(2)若平面PMC#面PAD,求证：CM1AD；(3)若平面ABCD是矩形，PA=AB,求证：平面PMC &

5、#177;平面PBC.17 .在那BC中，设a, b, c分别是角 A, B, C的对边，已知向量Hf= (a, sinC-sinB),r* e.尸(b+c, sinA+sinB),且及！ A(1)求角C的大小(2)若c=3,求 BBC的周长的取值范围.18 .已知如图，斜三棱柱 ABC-AiBiCi中，点D、Di分别为AC、A1C1上的点.(1)当黑;等于何值时，BCi/狂面ABiDi?(2)若平面BCiD/平面ABiDi,求:的值.19 .某地拟在一个 U形水面PABQ ("=/B=90°)上修一条堤坝 (E在AP上，N在BQ上),围出一个封闭区域 EABN,用以 种植

6、水生植物.为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点 E, N拉2条分隔线ME, MN,将所围区域分成 3个部分(如 图)，每部分种植不同的水生植物.已知AB=a, EM = BM,MEN =90 °,设所拉分隔线总长度为I.(1)设ZAME=2。，求用。表示的I函数表达式，并写出定义 域；(2)求I的最小值.20 .已知 a, b, cC (0, +*.(1)若 a=6, b=5, c=4 是BBC 边 BC, CA, AB 的长，证明：cosAeQ；(2)若 a, b,c分别是 AABC 边 BC, CA, AB 的长，若 a,b,cCQ 时，证明：cosACQ；(3)若存在 入C

7、 (-2, 2)满足c2=a2+b2+ ?ab,证明：a, b, c可以是一个三角形的 三边长.第 4 页，共 14 页答案和解析第12页，共14页1 .【答案】arctan3.【解析】解：设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为 x -2y+m=0,把点（-2, 3）代入可得-2-6+m=0, . m=8,故所求的直线的方程为x -2y+8=0,故直线的斜率为k=。则直线方程是的倾斜角是arctan,故答案为：arctani.事设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为 x -2y+m=0,把点（-2, 3）代入可得m值，从而 得到所求的直线方程，即可求出直线的倾斜角.本题考查用待定系数法求直

8、线的方程，两直线垂直，斜率之积等于-1,设出与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为 x -2y+m=0是解题的关键.2 .【答案】5【解析】 解：在AABC中，.AB=c=3, A=120° , AABC的面积为呼即 b=5,则AC的边长为：5.故答案为：5.b的值，再利用余弦利用三角形面积公式列出关系式，将 c, sinA及已知面积代入求出 定理列出关系式，把 b, c, cosA的值代入计算即可求出 a的值. 本题考查三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.3.【答案】（4,4）【解析】【分析】根据题意，将直线的方程变形可得m （x+2y+4） + （x-y） =0,

9、进而解。可得x、y的值，即可得答案.本题考查过定点的直线问题，注意将直线变形，属于基础题.【解答】解：根据题意，直线（m+1） x- （1-2m） y+4m=0,即 m （x+2y+4） + （x-y） =0, 4_ ,+ 4 = 0 -产又由|= O ,斛可信=则该直线恒过点（-t W）；故答案为：（-j,-,）.【解析】【分析】属于基础题.本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力,利用已知条件可得c=；a,利用余弦定理，即可求得 C.【解答】解：.b+c=2a, 3a=5b,b=a, c=；a,.cosC=口 + 罚-25°故答案为：5.【答案】4x+3y=0 或 x-y+7=

10、0【解析】 解：当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=gx,即4x+3y=0；当在坐标轴上截距不为0时，.在坐标轴上截距互为相反数，. x-y=a,将 A (-3, 4)代入得，a=-7,.此时所求的直线方程为 x-y+7=0 ;故答案为：4x+3y=0 或 x-y+7=0 .可分当在坐标轴上截距为0时与在坐标轴上截距不为0时讨论解决.本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为 0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯，属于中档题.【解析】 解：.SinA： sinB： sinC=2： 3： 4,，由正弦定理，得 a： b： c=2： 3： 4,不妨设 a=2, b=3, c=4

11、,广。* 4-16_ 13 k 2 x3=-W，则 sinC= I ='-故答案为：孚.由 sinA： sinB： sinC=2： 3: 4 及由正弦定理，得 a： b： c=2： 3: 4,不妨设 a=2, b=3,c=4,由余弦定理和同角的三角函数关系即可求出.本题考查正弦定理、余弦定理，属基础题，准确记忆定理的内容是解题关键.7 .【答案】-2【解析】解：由a2-4=0,解得a=上.经过验证a=2时，两条直线重合，舍去.故答案为：-2 .由a2-4=0,解得a.经过验证即可得出.本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8 .【答案】2【解析】

12、 解：设圆锥的底面的半径为r,圆锥的母线为1,贝U由兄=2兀得1=2r,而 S=Ttr2+ 兀？2r=3 <2=3 兀故 r2=1解得r=1 ,所以直径为：2.故答案为：2.设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为 3%构造方程，可求出直径.本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.9 .【答案】 I00, -1U5-石，+叼【解析】解：如图示:当直线1过B时设

13、直线1的斜率为ki,则 ki=： =5-胴，当直线1过A时设直线1的斜率为k2,则 k2= *=-1,.要使直线1与线段AB有公共点，则直线1的斜率的取值范围是（-00, -1 U5-w乐+°°）,故答案为（-8, -1U5#, +8）.结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可.本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道基础题.10 .【答案】5【解析】 解：.球形容器表面积的最小值为30 71,.球形容器的半径的最小值为=倦=与,正四棱柱体的对角线长为曲,设正四棱柱体的高为h,.12+22+h2=30,解得h=5.故答案为：5.由球表面积的最小值

14、求出球形容器的半径的最小值，从而得到正四棱柱体的对角线长, 由此能求出正四棱柱体的高.本题考查球、正四棱柱的高等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.11 .【答案】里【解析】解：设三角形三边是连续的三个自然n-1, n, n+1,三个角分别为 %乃3“，2”, 由正弦定理可得:.一 cos再由余弦定理可得：(n-1) 2= (n+1) 2+n2-2 (n+1) n?cos a=(n+1) 2+n2-2 (n+1) n?j,化简可得：n2-5n=0,解得：n=5或n=0 (舍去)，.n=5,故三角形的三边长分别为：4, 5, 6贝U cos a =, . sin a=,i-rS= E x 5

15、 x 6 x 彳=在9BM中,代入数据可得故答案为：?根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1, n, n+1,三个角分别为 %乃3a,2 a,由n-1, n+1, sin火以及sin2 a利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函 数公式化简后，表示出cos %然后利用余弦定理得到（n-1） 2=（ n+1） 2+n2-2 （n+1）n?cos 将表示出的cos “代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，从而得到三边长的值，由三角形面积公式可得三角形的面积.此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦 定理很好的建立了三角形的边角关系，熟

16、练掌握定理是解本题的关键，属于中档题.12 .【答案】半【解析】解：如图 设 AC=b, AB=c, CM = MB4, /MAC = £故 cos 3 =cos( j/AMC) =sin/AMC=sin (止/AMB) 改=sin /AMB . ,而在RTAACM中，cos废手故可得而鼻二卷化简可得a4-4a2b2+4b4= (a2-2b2) 2=0,解之可得a寸b,再由勾股定理可得 a2+b2=c2,联立可得c乖b，故在RTAABC中，sin/BAC=!£午噜亚，A8。闻 3另解：设/BAM为a, /MAC为3,正弦定理得 BM： sin “AM： sin ZBBM :

17、 sin 3AM又有 sin 3 =cosAMC=cos ( a+ZB),联立消去 BM , AM 得 sinZBcos ( “ 七B) =sin %拆开，将 1 化成 sin2ZB+cos2ZB,构造二次齐次式，同除 cos2/B,可得tan a若片抖*=：,贝U cos/BAM=： tan/BAM=；解得 tan/B=； cosB=易得 sin/BAC*.另解：作 MD4B 交于 D,设 MD=1, AM=3, AD=2 J , DB=x, BM = CM农+ 1,用ADMB和ACAB相似解得x=3贝U cosB=g易得sin/BAC卷.故答案为：孚作出图象，设出未知量，在那BM中，由正弦

18、定理可得 sin小MB=：,进而可得cos 3 =, b在RT祥CM中，还可得cos 3 =,建立等式后可得a=12b,再由勾股定理可得 c.助，而sin/BAC/；=: 代入化简可得答案.本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题.PAX13 .【答案】隹【解析】 解：.AB为圆。的直径，C为圆上一动点,圆。所在平面，且 PA=AB=2,过点A作平面a1PB,交PB, PC分别于巳F,. PB!面 AEF,又 AF?平面 AEF , . AF1PB,又 ACBC, APXBC, AC AAP=A,BCFF面 PAC, .AF?平面 PAC, . AFXBC,.

19、BCnPB=B,AF方面 PBC,.zAFE=90°,设/BAC=。，贝U AC=2cos。，BC=2sin g PC、晨|二石百,PA v Af在 RtAPAC 中，AF=一 =h + g%AE=PE=3 EF=d 铲一盘产Fiq-、=：;- = =- = =-=:'-'=，"/!? + 内,.当AF=1时，Vp-aef取最大值,:此时,AF=二1,解得 cosh；, sin ep-f悭. tan中总.当三棱锥P-AEF体积最大时，tanZBAC=2.故答案为：<2.由题意 PB4面 AEF,从而 AF1PB,由 AC1BC, AP1BC,得 AF1

20、BC,从而 AF面 _ _ c 、1_I_ 左白帛停I r=rI 3PBC, ZAFE=90 ,设/BAC=a 则 AF二】,AE=PE=/2, EF=jAE-AF ,炉产 TEF = l< AFX EFX PE=： x AF2-1)2 + 1 当 AF=1 时，Vp-aef 取最大值9， 由此能求出当三棱锥 P-AEF体积最大时，tanZBAC的值.本题考查三棱锥体积最大时，角的正切值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、 空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.14 .【答案】2I2+1【解析】 解：根据题意，以 O为坐标原点，OA为x轴 建立坐标

21、系，如图：则A (2, 0)，设 “OB=0, (0W。4q则B的坐标为(cos 0, sin 9 , =# I 则=(cos 0-2, sin, ABC为等腰直角三角形，则 ACBB且|AC|=|AB|,又由C、O两点在直线 AB的两侧，则二(sin Q2-cos°,则。1二。/木=(2+sin 9 2-cos® ,则 b/=(2+sin 9 2+ (2-cos。2=9+4 (sin -cos。=9+4'j2sin ( 9),分析可得：当0年时，|小矛取得最大值9+%后，则OC的最大值为2泛+1 ,若OC<m恒成立，则 m>?+1 ,即m的最小值为 雄

22、+1;故答案为：2£+1.根据题意，以 O为坐标原点，OA为x轴建立坐标系，设 ZAOB=0,分析A、B的坐标，可得向量的坐标，又由AABC为等腰直角三角形，则 ACBB且|AC|=|AB|,分析可得向量的坐标，进而由向量坐标的加法可得向量的坐标，进而可得向量的模，分析ACOC0C其最大值，若 OC用恒成立，分析可得答案.本题考查向量数量积的计算，涉及三角函数的恒等变形，属于综合题.由正弦定理可得 =搦器fE,则 sinA15 .【答案】 解：(1) a=14, b=40, cosB=,. a< b, - cosA= . cosC=cos -tt(A+B) 尸-cos (A+B

23、) =-cosAcosB+sinAsinB=(2)由正弦定理可得贝U cosA=；,由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA,即9=24+c2-2/河g'c,整理可得c2-8c+15=0,解得 c=3 或 c=5.【解析】(1)根据正弦定理和两角和的余弦公式，即可求出，(2)根据正弦定理和余弦定理即可求出.本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了三角函数的化简，属于基础题.16 .【答案】 证明：(1)取PB的中点E,连接EN, AE. E, N分别是PB, PC的中点,. EN_BC,.M是AD的中点，四边形 ABCD是平行四边形，. AM &BC,I/ . EN_

24、AM , .,四边形AMNE是平行四边形，. MN /AE,又MN?平面PAB, AE?平面PAB,. MN 评面 PAB.(2)假设CM与AD不垂直，在平面 ABCD内过M作AD的垂线，交 BC于Q,连接PQ, MQ,东.PA1面 ABCD , MQ?平面 ABCD,/l VV. PAXMQ,又 ADMQ, PAAAD=A,. MQ4面PAD,又MQ?平面PMQ ,叶甘邑。平面 PMQFF面 PAD,显然这与平面PMC!平面PAD矛盾.故假设不成立，CMAD.（3） ,.四边形ABCD是矩形，AD必B,.PA1 面 ABCD, AD?平面 ABCD,. PASD,又 PAAAB=A,. AD

25、厅面 PAB, .ADLAE,由（1）可知四边形 AMNE是平行四边形，四边形AMNE是矩形，. MN _LEN ,又 AM = MD, PA=AB=CD, ZPAM = dMDC =90° , /.ZPMACMD ,. PM=CM,又N是PC的中点，. MN _LPC,又 PCAEN=N, PC?平面 PBC, EN?平面 PBC, . MN 面 PBC,又 MN?平面 PMC,平面 PMC"面 PBC.【解析】(1)取PB的中点 巳 连接EN, AE.通过证明四边形 AMNE是平行四边形得 出MN /AE,从而得出 MN忤面PAB；(2)假设CM与AD不垂直，构造与平面

26、 PAD垂直的平面PMQ ,得出矛盾结论即可；(3)证明四边形 AMNE是矩形得出 MN1EN,再证明PM=CM得出MN 1PC ,故而MN， 平面PBC,于是平面 PBC"面PMC.本题考查了线面平行，面面垂直的判定与性质，属于中档题.17 .【答案】 解：(1)由向量由二(a, sinC-sinB) , = (b+c, sinA+sinB),且?忖,得：a (sinA+sinB) = (b+c) (sinC-sinB) 由正弦定理，得：a (a+b) = (b+c) (c-b) 化为：a2+b2-c2=-ab,由余弦定理，得：cosC二， 所以，C=1，(2)因为C=： J所以，

27、B=：-A,由 B>0,得：0vAv!，由正弦定理，得：诉=嬴加=砒=2?，ABC 的周长为：a+b+c=2*3 （sinA+sinB） +3=2%亨sinA+sin （：-A） +3 ,由 0V Avg ,得:=23sin（ a+ .） +3 ,弓 v A+-<c）弓 v sin （A+亍）w 1所以，周长 C=23sin （A+；） +3 C （6, 2+3.【解析】（1）由向量平行的性质，正弦定理可得a2+b2-c2=-ab,由余弦定理得：cosC=-：,-M即可得解C的值.（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：a+b+c=23sin （A+；） +3,由 0&

28、lt;A<,利用正弦函数的性质即可求解.本题主要考查了向量平行的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解 三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.18 .【答案】 解：（1）如图，取D1为线段A1C1的中点，此时ij=1 ,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.在91BC1中，点O、D1分别为A1B、A1C1的中点， .OD1/BC1.又.OD1?平面 AB1D1, BC1?平面 AB1D1,BC1/平面 AB1D1.“13 .一，_ 一一 _ _.=1 时，BC1 怦面 AB1D1,(2)由已知，平面 BC1D/狂面AB1D1 且平面 A1BC1A平面BDC1=BC1, 平面 A1BC1A平面 AB1D1=D1O.因此 BC1/D1O,同理 AD1/DC1.电即沅二1 【解析】（1）欲证BC1/狂面AB1D1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC1与平面AB1D1内一直线平行，取 D1为线段A1C1的中点，此时 薨=1,连接A1B交AB1 于点O,连接OD1, OD1/BC1, OD1?平面AB1D1, BC1?平面AB1D1,满足定理所需条（2）根据平面BC1D与平面AB1D1平行的性质定理可知 BC1/D1O,同理