2018-2019学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

1、2018-2019学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1 .用反证法证明命题 土角形三个内角至少有一个不大于60口”时，应假设（）A.三个内角都不大于 60°B.三个内角都大于 60°C.三个内角至多有一个大于 60°D.三个内角至多有两个大于 60°【答案】B【解析】由 至少有一个”的否定为匚个也没有”即可得解.【详解】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，至少有一个”的否定： 个也没有”；即上内角都大于60度”.故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定a-3i2 .设复

2、数z=a+bi （i为虚数单位），a,b = R ,且 = b+ i ,则复数z的模等于 i（ ）A . 10B.石C. 5D. VTC【答案】Da-3i .【解析】化简a =b+i为a-3 =bi-1,然后，利用复数的定义求解，即可求出a,b , i进而求出复数z的模即可【详解】,a-3i由=b +i,得 a 3i =bi 1,得 a = 1,b = -3 ,i则 z = a+bi = -1 -3i,得 |z =yl（-1） +（-3f =布答案选D【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数的模及除法运算，属于基础题3 .论语 学路篇中说：名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴

3、；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措 手足.”上述推理用的是（）A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D. 一次三段论【答案】C【解析】试题分析：名不正是言不顺的充分条件，所以名不正则言不顺”是演绎推理。言不顺是事不成的充分条件，所以言不顺则事不成”是演绎推理。以此类推，所以 故名不正则民无所措手足”是演绎推理【考点】推理点评：演绎推理是前提与结论之间具有充分条件或充分必要条件联系的必然性推理4 .某同学根据一组x, y的样本数据，求出线性回归方程y=bx+a和相关系数，下列说法正确的是（）A.y与x是函数关系B. y与x是函数关系C. r只能大于0D. |

4、 r |越接近1,两个变量相关关系越弱【答案】B【解析】根据线性回归方程的定义进行求解即可【详解】解：由两变量x, y具有线性相关关系，可知 y与x不是函数关系，故 A错误；求出线性回归方程 ；=1*+：,其中；与x是函数关系，故B正确；相关系数可能大于 0,也可能小于0,故C错误；|r|越接近1,两个变量相关关系越强，故 D错误.故选：B.【点睛】本题考查两个变量的线性相关性，是基础题.5.点M的直角坐标是（-1,73）,则点M的极坐标为（）r冗）r冗）r 2冗）（A. 2,B. .2,C. . 2,D. 2,2kTt+ ,3.3,3.3k Z【答案】C【解析】分析：利用 Pcos6=x,

5、Psin6 = y, P2 = x2 + y2 ,先将点M的直角坐标 是（-1, J3）,之后化为极坐标即可.222_ 2详解：由于P =x +y ,得P =4, P =2 ,1由 Pcose =x ,得 cos日=,22 一结合点在第二象限，可得e ,3. . 2_. . _则点M的坐标为（2,），故选C.3点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径p和极角e的意义，利用p =Jx2 +y2来得,根据点所属的象限得到相应的正角， 从而得到结果.6 .若关于x的不等式| ax - 3 | <7的解集为x | - 5vxv2,则a的值为（）A . -

6、4B.4C. - 2D.2【答案】C【解析】利用ax -3 <7 ,得Y <ax<10 ,然后把选项中的答案依次代入这个不等式，即可判断选项【详解】由|ax3<7,得到-4<ax<10,分别代入选项中的答案，明显地，当 a = 2时,满足 ax -3 <7,且x5<xc2,本题选C【点睛】本题考查绝对值不等式的求解问题，属于基础题7 .雷达图（RadarChart）,又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（ SpiderChart）,是财务分析 报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人五个方面的数据雷达 图，则下列说法不正确的是（）A.甲、

7、乙两人在能力方面的表现基本相同8 .甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙C.在培训与销售两个方面甲的综合表现优于乙D.甲在这五个方面的综合表现优于乙【答案】C【解析】看图分析数据即可判断选项【详解】C选项中，乙在培训与销售两个方面的综合表现优于甲本题考查看图做出数据分析，属于基础题8已知lb15）xa（<1,则下列不等式中一定成立的是（A. logab+logba> 2B. logab+log ba> 2C. logab+logbaA 2D. logab+log baw- 2【解析】利用指数函数的单调性得出b>1 >a>0,然后利用均值不等式即可求出最值

8、,得出正确选项aI < 1,彳曰1 b w I 5利用指数函数的单调性得,b>1>a>0,则 loga b <° , logb a <0 ,eln b而 loga b logb a 二 ln aln aln b''ln b l lna ?.T | 一< lna I lnb力T1图卜器）第18页共18页所以，logab十logbaE-2,答案选d本题的难点在于利用单调关系本题考查指数函数的单调性问题以及不等式求最值问题, 得出参数之间的大小关系进行求解，属于基础题9 .圆p= 5cos65 J3sin的圆心坐标是（C. (5,x

9、 = p cos 1【解析】利用«的极坐标定义求解即可y = ；sin u【详解】原式可化为：P2 =5Pcos日-5j3Psin日，利用极坐标定义可转化为:x2 + y2 = 5x 一5 J3y ,配方为5 5、2 f5d3 2lx-+! y 5-3-=25,则圆心坐标为:(52/5代Q_I 十 I= 5， 口 22I 2) I 2 J55.3-一,，化成极坐标，得出 P =2 2答案选C 【点睛】 本题考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程与普通方程的转化，属于基础题10.函数y= 4Jx 3 +3力x的最大值为()A. 5B. 8C. 10D. 12【答案】C 4 4 4 4rw

10、i /【解析】利用向量的关系 a b < a b ,可设向量a =(4,3), b = (Jx-3,-7-x ),然后进行求解即可【详解】由已知得，函数的定义域为 3<x<7,设向量：= (4,3), b = (Jx 3, j7 x ),则 a =5, b =2, a b < a b =10 ,当且仅当 a|_b时， .一 . 一 139即4j7 x 3jx3 =0时,等号成立，解得 x = ，属于定义域范围，25所以，该函数 y可以取得最大值为 10答案选c【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题11.执行如图所示的程序框图，如果输出的a值大于2019,那么判断框

11、内的条件为( )开始a = % + Jt/Wib /封A. k<10?B. k> 10C. kv 9D. k>9>【答案】A【解析】根据程序框图，列出每一步的程序运算，即可求解【详解】 a =1,k =1=条件（是）=a = 6,k = 3 ； a =6,k =3=条件（是）= a=33,k=5 ； a =33,k =5=条件（是）=a =170, k = 7 ； a =170,k =7=条件（是）=a =857,k = 9； a =857,k =9=条件（是）=a=4294,k = 11 ； a =4294, k =11=条件（否）二输出 a （此时 a >20

12、19）；答案选A【点睛】本题考查程序框图的条件判别，属于基础题12.某校有A、B、C、D四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社团中， 在被问及在哪个社团时，甲说：我没有参加A和B社团”.乙说： 我没有参加A和D社团”.丙说： 我也没有参加 A和D社团”.丁说： 如果乙不参加B社团，我就不参 加A社团”.则参加B社团的人是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】B【解析】有乙、丙的说法知甲和丁参加了A、D社团，又由甲说知，甲参加了 D社团，则丁参加了 A社团，根据丁的说法知乙参加了B社团.【详解】解：有乙、丙的说法知甲和丁参加了A、D社团,又由甲说知，甲参加了 D社团，则丁参加了 A社

13、团，根据丁的说法知乙参加了 B社团.故选：B.【点睛】本题考查推理的相关知识，考查分析问题,解决问题的能力以及逻辑思维能力，属于基础题13 .在同一平面直角坐标系中满足由曲线x2+y2= 1变成曲线x 9y'3人、+ = 1的一个伸缩变4换为（x' =3xA . iy'=2yx'=B. 4y'=1-x312yx' = 9x C. iy' = 4y1=-x917 x2 v'2由条件可得，把曲线y94一一 x'=1方程整理为.一j32i=1,则可得xyx = , y = ,进而可以求出答案32【详解】2 w,2由题意得，把x2

14、+y2= 1经过伸缩变换变成曲线 +-=1,94xyx' = 3x则可令x =x, y =X ,化简得«，32y'=2y答案选A【点睛】本题考查曲线方程间的伸缩变换，属于基础题14.在矩形ABCD中，对角线 AC分别与AB, AD所成的角为 %氏贝U sin2 “ +$吊3=1,在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，对角线 AC1与棱AB, AD, AA1所成的角分别为火,孙 沁，与平面AC,平面AB1,平面AD1所成的角分别为 31,隹，自，则下列说法正确的是（sin2 货 +sin2 呢+sin2 03= 1 sin2 ai+sin2 02+sin2 g=

15、2cos2 ai+cos2 0C2+COS2 «3= 1sin2 团+sin2 &+sin2 自=1A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知条件，分别确定各个角的三角函数值，进而判断各个命题的真假，可得答案【详解】2. 2. 2(1) sin ： 1 sin 二 2 sin 二 3BC12 DC12 AC12AC?BCi2 DC； . AC12AC12 AC12 AC12AC12 - AB2 + AC12 -AD2 +AC12 -AA12 3AC： -(AB2 +AD2 + AA；)AC12AC12=2,所以，错，对;(2)2_22_2_222 工 2 工 2ABadAA2A

16、B2+AD2 + AA2 /cos 四 + cos 02 + cos a3=2+2+2 = 2= 1,AC12 AC12 AC12AC12所以，对(3)荷印+荷外+荷心段+需+盥所以,对答案选D【点睛】本题解题的关键点在于，确定各个角的三角函数值，属于中档题二、填空题2 -i15.已知复数万不 在复平面内对应的点为若向量AB与虚轴垂直，则Z2的虚部为 A,复数Z2在复平面内对应的点为B,【答案】,再有向量aB与虚轴垂直,. -334【解析】利用复数的运算法则得到AB= a-3,b+4 I,55可得Z2的虚部 【详解】2_i34_T 34Tz1 = i ,设 z2 = a + bi ,则 AB

17、= I a - 一，b + I,又由向重 ab 与虚轴垂2 i 55.55AB一4444直，付到b+=0, b =,则z2的虚部为，答案是5555【点睛】本题考查复数与向量的运算法则，属于基础题16 .恩格尔系数（Engel'sCoefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据：年个人消费支出总额了/万元11. 52 12.53恩格尔系数*0. 90.7仇50.30,1若y与x之间有线性相关关系，某人年个人消费支出总额为2.6万元，据此估计其恩格尔系数为.参考数据 Eh邙=4. £工5=

18、225. II参考公式上对于一组数据（网，“）,（曲，力），（石，心）产.（工.，弘），其回归直线3=£工十2的斜率和效距的最小二乘估计分别为，一二Sx? "-nX1 i-l【答案】0.26.【解析】利用相关公式，先求出y和x,再代入公式求出|?,最后得到左的值【详解】0.9 0.7 0.5 0.3 0.11 1.5 2 2.5 3 o由条件可得，则代入公式得y =- 0.5和 x = 2 ,55C 4 -5 2 0 5g= 4=-0.4,则 a = 0.5 (0.4产2 = 1.3,得到22.5-5 4 y与x的线性相关关系为y? = 1.3 + （0.4）x,把x =

19、2.6代入，得y = 0.26,答案为0.26【点睛】本题考查线性回归方程的求解与应用，考查的核心素养是数学运算与数学分析17.观察下列几个三角恒等式tan10 tan20 +tan20 tan60 +tan60 tan10 °= 1tan13 tan35 +tan35 tan42 +tan42 tan13 = 1tan5 tan100 +tan100 tan ( 15) +tan (15) tan5 = 1.一般的，若tan囚tan § tan尚有意义，你可以归纳出结论： 【答案】a + P + ¥ =90°,则 tan a tan P +tan P

20、tan V +tan ¥ tana = 1 .【解析】观察所给的等式，发现左边都是两个角的正切的乘积形式，一共有三项，且三个角的和为定值：直角，右边的值都为常数 1,由此推广到一般结论即可【详解】观察所给等式，若角 a, P, 丁满足口 +P +¥ =90，,且tanot , tan P , tan?都有 意义，贝U tana tan P + tan P tan 丁 +tan f tana = 1 ,故答案为:a +P +了 =90，,则 tana tan P +tan P tan 丁 +tan t tana =1【点睛】本题考查归纳推理的应用，推理过程由特殊再到一般，属于

21、基础题-2 - 122218.已知函数f(x) =2x书+2，如果对任意 什，f(3t+2t) +f (k-2t) v 0恒成立, 则满足条件的k的取值范围是 .【答案】k<-1或k>1.【解析】利用定义，先求出函数f (x )为单调减函数与奇函数，然后化简f (3t2 +2t )+ f (k2 -2t2 )<0得到t2 -2t <k2,然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】-1 2x对于函数f(x)，定义域为r，且f(_x)=:2£=5夺=奏、=一f(x)，2x'所以，f(x)为奇函数，且对f(x)求导可得f(x)<04uf(x )在xW

22、R时为减函数，f (3t2 +2t )+f (k2 -2t2 卜0,可得 f (3t2 +2t )< f (k2 2t2 )，利用 f (x)为奇函 数化简得f(3t2+2t)<f(2t2-k2 ),利用f (x )在xw R时为减函数，得3t2+2t >2t2k2，化简得 _t2 _2t <k2恒成立，令 g(t )=12 2t ,则有2g(t max <k，而 g(t max =g(-1 )=1，所以 1 <k2 ,得到 k >1 或 k < -1答案：卜>1或卜<1【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于

23、中档题三、解答题19.已知i是虚数单位，且复数 z满足(z+2) (3+i) =10.(I )求 z 及 z2;(n )若z? (a+2) i是纯虚数，求实数 a的值.【答案】(I ) z =1 _i，z2 = _2i.；(n ) _2.【解析】(I )根据复数的代数运算法则进行运算即可(n )根据复数的代数运算法则进行化简，再有纯虚数的定义，列出方程求出【详解】a的值10 八(I ) z =-23 iz2 =(1 -i)2 =-2i.(n) z(a+2i)=(1i)(a+2i)=(2+a)+(2 -a)i ,令 2+a =0,解得 a =-2.【点睛】本题考查复数的代数运算法则以及纯虚数的定

24、义，属于基础题20.在直角坐标系 xOy 中，直线 C1: x= - 3,圆 C2： (x- 2) 2+ (y- 1) 2= 原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(I )求C1, C2的极坐标方程；冗(n )若直线C3的极坐标方程为 9= - ( pC R),设C2, C3的交点为A, B,41,以坐标求 AC2AB的面积.【答案】(I ) P cos9 = -3 ；P2 -4Pcos。-2P sin 8+4 = 0；【解析】（i ）由题意可知，利用 x= Pcos0,y = PsinQ ,分别代入Ci , C2,即可求（n ）将直线C3的极坐标方程代入 C2,即可求出Pi,P2,进而可得

25、弦长，继而求出三角形面积 【详解】(I )因为x = PcosH,y = Psin6 ,所以C1的极坐标方程为 Pcos日=-3C2 的极坐标方程为 P2 -4Pcose 2Psin8 +4 = 0.(n)将 e=±代入 P2 4PcosB 2Psin+4 = 0 ,得 P23&P+4 = 0,解得 4R =2拒,P2 =衣.故巴马=&，即AB = J2.1由于C2的半径为1,所以AC2 AB的面积为一.2本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标系的应用，属于基础题21 .已知函数 f (x) = | x- 2 | .(I )求不等式f (x) >6-

26、| 2x+1 |的解集;4 1(n )设 a, bC (2, +8),右 f (a) + (b) =6,求一十一的最小值.a b,5/ 5 7】【答案】（I） （乂乂（一一或乂）>.I 3“9(n)10【解析】（1）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可，人，一，41 一 ，小，（2）利用“1的代换，结合基本不等式先求出一+一的最小值，然后利用绝对值不等式的a b性质进行转化求解即可（1）原不等式等价于x-2 +2x + 1 >6,rx等价于xx 2,或7x -.3所以原不等式的解集为/xx-(2)a,bw(2,收)，f(a)十 f (b) =6即 a2 + b2 = 6

27、, a + b=10,4 1.41-0 11 4b a、1 4b a、 9'=()(a ' b) (5)(5 ' 2)=aba b 10 10 a b 10, a b 104b a当且仅当 了二a b =10,20a 二一，3 一，,一即(3取等号h 10 b .3【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式中“1的代换，属于基础题22. 2019年4月22日是第50个世界地球日，半个世纪以来，这一呼吁热爱地球环境 的运动已经演变为席卷全球的绿色风暴，让越来越多的人认识到保护环境、珍惜自然对人类未来的重要性.今年，自然资源部地球日的主题是珍爱美丽地球，守护自然资源”.某

28、中学举办了以 珍爱美地球，守护自然资源”为主题的知识竞赛.赛后从该校高一和高二年级的参赛者中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩分为 7组：30, 40), 40,50), 50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 90), 90, 100,并得到如下频率分布表：分组40.50回50.60160,70)70,80)80.90)50,100箱率0.0?0.05510, 180*30. 220. 13现规定， 竞赛成绩8份”为 优秀”竞赛成绩v 80分”为 罪优秀(I )请将下面的2X2列联表补充完整;优秀非优秀合计叵！50高二15合计100(n)判断是否有99%的把握认为 竞赛

29、成绩与年级有关”?附：独立性检验界值pg萍）0. 1000, 0500,010 _J0.001心2.70616. 63510. B38.其中 + 乩(<t+W(ci+d)(a+Lc) (A+d)【答案】（I ）见解析；（n）没有99 %的把握认为 竞赛成绩与年级有关”.【解析】（1）根据优秀总人数：（0.22+0.13） 100=35人，进而填写列联表即可（2）利用列联表的卡方检验的方法进行求解即可【详解】（1）优秀总人数：（0.22+0.13） 100=35 人.优秀非优秀合计叵！205070高二151530合计35651000、 |/2100 父(20父15-15父50)2:4.23

30、9 :二 6.635.2) K =35 65 70 30所以，没有99 %的把握认为 竞赛成绩与年级有关”【点睛】本题考查列联表的卡方检验的应用，直接根据定义求解即可，属于基础题x - -2 t23.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t t ,（为参数），曲线C的参 y=2 2x = 2cos ;数方程为（”为参数）.y = . 3sin，（I ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点。为极点，冗以x轴正半轴为极轴）中，点 P的极坐标为（3,-）,判断点P与直线l位置关系；（n）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.【答案】（I）点P在直线l上；2

31、 5（n）2-.【解析】(1)把极坐标系下的点 P(3,王)化为直角坐标得点(0,3),把点p代入直线l的 2方程x -2y + 6 = 0 ,即可求解(2)设出点Q的坐标，代入点到直线的距离公式，求出函数的最小值即为距离的最小值【详解】(1)把极坐标系下的点P (3,-)化为直角坐标得点(0,3).2因为点P的直角坐标满足直线l的方程x 2y + 6 = 0 ,所以点P在直线l上.(2)因为点Q在曲线C上，可设点 Q的坐标为(2cosot，73sin«),从而点Q到直线l的距离为,12cos： -2 3sin： ；6|d5 一冗2 2cos(：3) 3由此得，当cos(«

32、 += 一1时，d取得最小值，且最小值为 堂本题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及利用极坐标的定义求最值问题，属于基础题24.设函数 f (x) = I x+3 I + I 2x- a | 1, aC R.(I )若不等式f (x) + I x+3 I >3对任意的xC R成立，求实数a的取值范围；(n )当a> - 6时，函数()(x) = 2 ( I x+3 I - x) - f (x)有三个不同的零点，求 a 的取值范围.【答案】(I ) a E10或a之2;(n ) 1<a<8.【解析】(I )利用已知条件，得(2x + 6 + 2x-a )min 44

33、,进而求解即可(n )分类讨论去绝对值，得到相关得分段函数，进而求解即可【详解】(I )原式即2x+6 +|2x a之4恒成立,即2x+6 +|2x-a min 44, 2x+6 + 2x-a 习(2x + 6) (2x a) =|a + 6 ,所以，a +6 >4,解得a 一 一10或a - -2-X - 2 - a,（x :二 -3）,（n ） ®（x）=x 3 - 2x -a , 一 ，a 2x +1 = <x + 4 a,（与Ex工一），有二个手点,2-3x 4 a,（x a）, 2a . 一即 W-3)< 0且e l>0 ,解得 1<a<

34、8 .2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，不等式恒成立问题和函数的零点问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题25.设 f (x) =3ax2+2bx+c,若 a+b+c=0, f (0) >0, f (1) >0,求证：a>0 且-2vb d 1a【答案】见解析【解析】试题分析：先将 f (0) >0, f (1) >0,利用函数式中的 a, b, c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和9的范围即可.b证明：f (0) >0, .-.c>0,又.f (1) >0,即 3a+2b+c>0,而a+b+c=0即

35、b= - a - c代入式,3a- 2a- 2c+c>0,即 a- c>0, 1. a>c.a>c>0.又. a+b=c<0,，a+bv0. . b 八.b . - 1+ v 0, v 1. a a又c= - a - b,代入式得，3a+2b- a-b>0, ，2a+b>0,c b c b c . c b / .2+ >0, 2.故2V v 1 .a aa点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.26.某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年(截止2018年年底)小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据年份编号x12345年份20142015201620172018加装户数y3495124181216(I )若有意向加装暖气的户数 y与年份编号x满足线性相关关系求 y与x的线性回归方程并预测截至 2019年年底，该小区有多少户居民有意向