柯西不等式各种形式的证明及其应用

1、柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分n22n析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等ak2s2k 1柯西不k1k1式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式2.22笛abcdacbd等号成立条件：adbca/bc/danbn扩展：a:a；afa：

2、1号履Habia?b?asbs0,在一般形式中，令n2,a1a,a2b,Dc,b2d,得二维形式等号成立条件：ai:b|a2:b2an：当a0或b0时，a和b都等于不考虑ai:b,i1,2,3,nb二维形式的证明：2222abcda,b,c,dR.2.22.2.2222acbdadbc22ac2abcdb2d2a2d22abcdb2c222acbdadbc2acbd等号在且仅在adbc0即ad二be时成立三角形式-a2b2.c2d2ac$bd等号成立条件：adbc三角形式的证明：a2bc2d2a2b2d2a2b2.c2d22.22abc22ac2ac2c两边开根号得2d2acb2-2bd222

3、adbbdd2注：表示绝对值,c2d2IIII，等号成立条件:向量形式a1,a2,a3,an为零向量或bib?,bnnN,n2ak.2bk证明:向量形式的证明:令 m= a1,a 2,a 3,L u rm n a1b| a 2b2,ana3b3 Ln bi,b 2,b 3, L >bnanbnda2a3L/irrQcos.m，:bnalb1a2b2般形式nnn2.2akbkakbkk1k11等号成立条件:a1: b1a2: b 2an ： bn, 或 ai 、bi 均为零。n2akbk2不等式左边=aki1aj2b2i共n2/2项不等式右边=aibiajbjajbjaibiLL共n2/2

4、项用均值不等式容易证明，不等式左边不等式右边，推广形式（卡尔松不得证。等式）：卡尔松不等式表述为：在m*n矩阵中,各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。.X12X._12LXmX12121X2nLX,m1m1LXmnmX1i11"mX._i2X._i31mXn其中,或者:m,nxzX.j其中,m,n或者X1y1X2y2ynL1Xnx表示X,yi,Xn的乘积,其余同理推广形式的证明：推广形式证法一:记AX1y1由平均不等式得LAX2y2LXiynLXX2lXnX1X2LXAALAnAALA同理可得，ynA/yzL1nynA1A2LAnAA2LAn上述n个不等式叠加，

5、得1XAALAnAALA1A2LXyiX2y2XnynLx1证毕或者推广形式证法事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，这由均值不等式I1 mXjinm j 1XjiXji1以上各式相加得上式也即kXjknXJi11mXjk j 1n1,该式整理，得Xjii 1n mXjkk 1 j 1得卡尔松不等式,Xji j 1 i 1证毕付：柯西（Cauchy）不等式相关证明方法：,2 2 2anbna1a22 2an b1ab等号当且仅当a1 a2an0或bi kai时成立（k为常数，i 1,2 nR, i 1,2 n）现将它的证个不等式并不难，可以简单证明如下:明介绍如下:证明1：构造二次函数

6、f(x)bn22 a 相1a2b2nanbn Xb2_22(n2=aa：LanX22,nQa1a2LanXjn0恒成立a2b22anbnaia；L即aibia2b2anbnnanbi2当且仅当aixbx1,2Lna2bn时等号成立证明(2)数学归纳法(i左式=aibi显然左式二右式b2右式=aib时,a；b2b；2-22-2a?b|ab?22aib|a2b22aia2b|b2aib2a2b2右式壬时等号成立（2）假设nk k ,k时，不等式成立qE a2p L a kbk2aiE2bi kai, k为常数，ii,2L n 或 ai a2ak 0时等号成立仅当即a2ti故n1,2时不等式成立bi2ab|a?b2Lakbk2habakibk(ikikiC22Cakibkia：iCak22