高斯小学奥数四年级上册含答案第21讲_等积变形

1、第二十一讲等积变形平行CD边栏单显分成Ik （ 1）0个三角股.手均匀生代.R单修的雄时的40头牛睢I天，B单埒的单可供：“）头牛吃 一天，C单场的单可供in。头牛吃一天，D草埒曜？三角形和平行四边形的关系非常紧密.回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图:除了上面这种情形外,下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半.（注意：长方形也是平行四边形）底ACD例题1如图，已知平行四边形ABCD勺面积是 10回方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积 是多少平方厘米？分析辅助线把整个图形

2、分成了左右两个平行 四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关 系呢？练习1如图，E是平行四边形 ABC出的任意一点，已知 AEDT EBC勺面积和是 4坪方厘米， 那么图 中阴影部分的面积是多少？下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形OAB三角形 PAB三角形 MAEft三角形NAB它们的底相同，都是AB高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的.进一步，我们可以在直线ON上任取若干个点，这些点分别与A、B两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的.f N 71-/ / PM /N, , I.> /jrIjFOAB底我们把这种“底相同，高相等”的情况简

3、称为“同底等高”.“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而 “等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等.如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等.利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形.例题2如图，平行四边形 ABCD勺底边AD< 20厘米，高CH为9厘米；E是底边 BC上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？分析能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？AFHDBCE练习2如图，平行四边形 ABCD勺面积是 10肝方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？C例题3如图所示， ABF序口 CDEfWB是长方形， AB的

4、长是 4厘米，BC的长是3厘米.那么图中阴影部分的面积是多少平方A厘米?分析 能否通过等积变形，把上层与下层的三角形 分别变成一个三角形呢？练习3如图，ABCDffi CDEF都是平行四边形，四边形 ABF画积为6评方厘米.请问：阴影部分面积是多少平方厘米?在利用同底等高三角形计算面积的题目中.C最重要的一步就是去寻找其中的平行线.讲初找司底等高.、面积相等的三角形.例题4 如图，梯形 ABCM, E是对角线 AC上的一点,已知DE和AB平行，那么与 ADC0积相等的三角形 一共有哪几个？分析 要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！练习4如图，梯形 ABC计，共有几个三角形？其中

5、面积相等的三角形共有哪几对？画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单.一般我们习惯把辅助线画成虚线.在上一讲中， 我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出.平.行.线.去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化.8厘米.求阴影部分的面积.分析 图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦！如右图，梯形 ABC»,对角线相交于。点，由于ADV BC¥行，那么就有 ABCfDBC同底等

6、高、面积相等， ABDAC胴底等高、面积相等.那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下， ABC与 BCD者B包含有 OBC而ABCT4BCD0积相等，那么就有 ABOfCDC®积相等.我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等"，因为 ABOf CDO恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”.“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单.例题6如图所示，长方形 ABC呐的阴影部分的面A积之和为 70 AB=8 AD15四边形 EFGO勺面积是

7、多少？分析 能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？BCF课堂内外蝴蝶定理蝴蝶定理(Butterfly theorem ,是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在美国数学月刊1944# 2月号，198奔，在河南省数学教师创刊号上，杜锡录同志以平面几何中的名题及妙解为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.这个定理最基本的叙述为：设M为圆内弦 PQ的中点，过 M作弦AB和CD设*1 4 、AD和BC分别相交PQ于点 X和Y,则 M是XY的中点./xNJ v f从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字|

8、 / / X 由此而得.it i实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图 “压1 、/扁”即可.这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称 “翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花 ”.混沌论中的“蝴蝶定理”：数学的一门分支是混沌论.混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别.混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.西方流传的一首民谣形象的代表了 “蝴蝶效应”：丢失一个钉子，

9、坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国.作业1.如图所示，梯形ABC屋由正方形 ABC函等腰直角三角形CDE勾成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么 BCE勺面积是多少平方厘米？2.如图，长方形 ABCD勺面积为 6,平行四边形 BECF 的面积为多少？3.如图所示， 一个长方形被分成4个不同的三角形，色三角形的面积是21平方厘米， 绿色三角形的面积是红色三角形的面积是1阡方厘米,9平方厘米，黄 那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?4 .如图，长方形的长为iq宽为5.阴影三角形的面积和为多少？

10、5 . 如图，直角梯形ABCW, CD 30, BD 40BBD和CD垂直.那么三角形ABC勺面积是多少？第二十一讲等积变形1. 例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为57方厘米.2. 例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是18评方厘米.狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为97方厘米.3. 例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CD

11、EF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形 ABCD0积的一半，即6平方厘米.4. 例题4答案：ABDAABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC AB平行于DEL根据AD平行于BC可以知道"DC的面积等于 AABD根据AB平行于 DE可以知道4ABD的面积等于4ABE所以与4ADC面积相等的三角形有 ABDAABE5. 例题5答案：50平方厘米；32平方厘米详解：(1)如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底(共同的底为大正方形对角线)等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为5

12、0¥方厘米.(2)如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底(共同的底为小正方形对角线)等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米.等积变形1. 例题 1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米2. 例题 2答案：90平方厘米详解： 平行四边形面积是180平方厘米狗牙模型，通过同底等高可以将F 拉到A 点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米3. 例题 3答案：

13、6 平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形 ABCD0积的一半，即6平方厘米.4. 例题 4答案： ABD 和 ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC AB平行于DEL根据AD平行于BC可以知道"DC的面积等于 AABD根据AB平行于 DE可以知道4ABD的面积等于4ABE所以与4ADC 面积相等的三角形有 ABDAABE5. 例题 5答案：50平方厘米；32平方厘米详解：（ 1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，

14、所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米（ 2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积1. 例题 1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米2. 例题 2答案：90平方厘米详解： 平行四边形面积是180平方厘米狗牙模型，通过同底等高可以将F 拉到A 点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米3. 例题 3答案： 6 平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形 ABCD0积的一半，即6平方厘米.4. 例题 4答案： ABD 和 ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC AB平行于DEL根据AD平行于BC可以知道"DC的面积等于 AABD根据AB平行于 DE可以知道4ABD的面积等于4ABE所