多速率数字信号处理

1、数字信号探究性学习-多速率数字信号处理一、问题的提出在一维信号处理中，有效地利用抽取和插值操作以便与有处理带宽要求的信 号处理系统的采样率相一致，这就是所谓的多速率数字信号处理。在采样速率变 化问题中，插值涉及到由滤波器引起上行采样，而抽取涉及到下行采样。本次探究性学习即是分析抽取和插值过程的频谱特性的变化，然后研究整数倍抽取和插值，并在此基础上进一步研究有理数因子速率转换，其中也有几个应用例子。二、对该问题的分析和具体实现(含程序及波形)多速率数字信号处理共分为三个方面的问题：信号整数倍抽取，信号整数倍 插值，以及信号有理数倍速率转换。以下将分别描述三个问题的原理和实现方法。1、信号整数倍抽

2、取(1) 抽取过程的时域描述已知信号为x(n)，抽取因子为M，抽取后得到信号为y(n)，贝U整个信号抽取 过程可表示为：y(n)= x(M n)带有M因子的抽取过程分为两个步骤：首先，x(n)与一个周期为M的采样 脉冲序列相乘，即每M个点保留一个点，其余 M-1个点全为0,以便得到采样 信号w(n)；然后，去掉这些0点后得到一个低速率的信号y(n)，具体描述如下：给定输入信号x(n)，定义中间信号 w(n)为：w(n)= x(n)抽取后信号为：y(n )= w(M n)(2) 抽取过程的频域描述为分析抽取信号的频谱，需要计算中间信号w(n)的频谱。抽取信号的频谱与原来信号的频谱有以下关系：首先

3、 X(w)作M-1次等间隔 平移，其平移间隔为2n/M，然后做叠加平均得到 W(w);最后频谱拉伸M倍即 可得到抽取信号的频谱。(3) 抽取过程的实际结构如果输入信号的频谱大于 冗/m，那么W(w)将会混叠，会给抽取信号的频谱带来失真，因为抽取信号的采样速率不允许降到奈奎斯特采样速率以下，因此在抽取前应进行“反混淆”滤波，该低通滤波器的截止频率为n/M。由图(1)可知：图所以令“反混叠”低通滤波器为理想滤波器，表示为:英它那么整个过程可描述为：信号 X(w)通过低通滤波器H(w) (wc=nM ),然后伸长 M倍即得抽取信号的频谱丫(w)。MATLAB信号处理工具箱提供了抽取函数decimat

4、e用于信号整数倍抽取，其 调用格式为：y=decimate(x,M)y=decimate(x, M,n) y=decimate(x,M'ir' y=decimate(x, M,n'ir'其中y=decimate(x,M)将信号x的采样率降低为原来的1/M。在抽取前缺省地 采用了 8阶Chebyshev I型低通滤波器压缩频带；y=decimate(x,M,n)指定所采用chbyshev I型低通滤波器的阶数，通常 n<13; y=decimate(x, M，'fir')的30点滤波器来压缩频带； y=decimate(x, M，n,'

5、;fir')指定所使用FIR滤波器的点数；以下为具体举例分析：【例】线性调频信号-M”一飞；川弋厂汀斤一1 mm 采样频率fs，采样点数为N=T*fs，现将其采样频率降为原来的1/2。其MATLAB?序如下：k=1;T=4;fc=k*T;fs=4*fc;%（或是 fs=2*fc）Ts=1/fs;N=T/Ts; x=zeros(1,N);t=0:N-1;x=cos(k*pi*(t*Ts).A2); subplot(2,2,1);stem(t*Ts,x);M=2;y=decimate(x,M);tn ew=0:N/M-1; subplot(2,2,3); stem(t new*M*Ts,y

6、);X=fft(x);X=fftshift(X); subplot(2,2,2); plot(t-N/2)*fs/N,abs(X); Y=fft(y);Y=fftshift(Y); subplot(2,2,4);plot(t new-N/M/2)*fs/N,abs(Y);输出结果如图(2),( 3)6543-4-20242(2) fs=2fc15105-500510（3） fs=4fc若原信号采样率为fs=4fc，从图（3）中可看出抽取后K采样率降为 人一矿2八仍然满足乃奎斯特准则，信号的频谱没有太大变化。若原信号采样率为fs=2fc，由图（2）可见，抽样后采样频率降为不满足乃 奎斯特准则，信

7、号频谱有较大变化，信号波形损失较大，由此可以看出信号采样 会损失一定的信息。2、信号整数倍插值（1）插值过程的时域描述已知信号为x （n）,插值后得到的信号为u （n）,则整个信号抽取的过程可表示为用图（4）说明由“填零”方式进行上行采样的过程，这里L=3(2) 差值过程的频域描述对填充的信号进行傅里叶变换，得到的信号u (n)的频谱为w G;)cxp(Ln ) = X (/xy)由上式可知，以填充的信号频谱与经过频率压缩的输入信号频谱相关，它是 原信号频谱的L倍压缩。(3) 插值过程的实际结构在实际的插值过程中，“插零”后以填充的信号还要经过低通滤波，滤波的 目的在于消除填零过程引起的“复制

8、”。在时域中，可以将滤波操作看作为一个 使得采样值被非零值代替的平滑运算。通常情况下信号u(n)通过低通滤波器H (w)，截止频率过程由图(5)表示。滤波采用理想的低通滤波器，其频率为io.英它y(n)=、去(h)h(nk) - 丫(仞)=U(®)H(a>)kY(G = X5)H(G则插值因子为I的插值过程可以分为两个步骤：首先用填零方式进行上行采 样，然后对填充后的信号进行低通滤波。从频域角度看，插值信号即为原信号在频域压缩I倍后经过低通滤波的结果。MATLAB信号处理工具箱提供了插值函数in terp用于信号整数倍插值，其调 用格式为v = interp( Xi L)v =

9、 interp( L* n* alpha).y, bl = interp(x L* alpha)其中y=interp(x，L)将信号的采样频率提高到原来的 L倍；y=interp(x，L，n，alpha)指定反混叠滤波器的长度 n和截止频率alapha， 缺省值为4和0.5；y,b=i nterp(x,L ,n ,alpha在插值的同时，返回反混叠滤波器的系数向量。具体举例分析如下：【例】线性调频信号，八-= W 丁采样频率 fs,采样点数为。现将其采样率提高为原来的3倍。MATLAB程序如下：k=1;T=4;Fc=k*T;Fs=2*fc;Ts=1fs;N=T/Ts;x=zeros(1,N);

10、t=0:N-1;x=cos(k*pi*(t*Ts).A2);sublot(2,2,1);stem(t*Ts,x);y=i nterp(x,3); subplot(2,2,3); tn ew=0:3*N-1;stem(t new*Ts/3,y);X=fft(x);X=fftshift(X);Subplot(2,2,2); plot(abs(X);Y=fft(y);Y=fftshift(Y); subplot(2,2,4); plot(abs(Y);程序输出结果如图所示:65432010203040（6）由图可见，采样率fs=2fc,采样后采样率为fs'=Lfs=6f（。但采样率提高不会增

11、 加信号的信息。3信号有理数倍速率转换（1）信号有理数倍速率转换实现结构对于任一有理数，均可表示为分数形式。采样率经由一个有理因子L/M来改 变，可以用前面讨论过的插值和抽取结构的串联来实现。首先，用L因子插入信号，然后用M因子来抽取信号，插值过程的平滑滤波器和抽取过程的反混叠滤 波器可以合并为一个低通滤波器，其截止频率为：wc=minpi/M,pi/L即先插值后抽取可以节省一个滤波器。下图给出了采样速率通过L/M因子改变的系统框图。(2) 信号有理数倍速率转换频谱变化以有理因子F=L/M=32,即L=3, M=2来说明信号有理数倍速率转换频谱变化 过程。MATLAB信号处理工具箱提供了重采样

12、函数resample用于有理数倍速率转换，其调用格式为：y=resample(x,L,M)y=resample(x,L,M, n)y=resample(x,L,M, n，beta)y=resample(x,L,M, b)y,b=resample(x,L,M)其中，y=resample(x,L,M將信号x的采样率转换为原来的L/M倍，所用的低 通滤波器为kaiser窗的FIR滤波器。y=resample(x,L,M, n)指定用x左右两边各n个数据作为重采样的邻域；y=resample(x,L,M, n, beta)指定kaiser窗的FIR滤波器的设计参数，缺省值为 5;y=resample(

13、x,L,M, b)指定用于重采样的滤波器系数向量；y,b=resample(x, L,M)除得到重采样信号外，还返回所使用的滤波器系数向量 b;下面为具体举例分析：【例】线性调频信号汽',采样率fs,采样点数为N=Tfs=现将其采样率提高为原来的 32倍。其MATLAB程序如下：k=1;T=4;fc=k*T;fs=2*fc;Ts=1/fs;N=T/Ts; x=zeros(1,N);t=0:N-1;x=cos(k*pi*(t*Ts).A2); subplot(2,2,1); stem(t*Ts,x);L=3;M=2;y=resample(x,L,M);subplot(2,2,3);tn

14、ew=0:L/M*N-1;stem(t new*M/L*Ts,y);X=fft(x);X=fftshift(X);subplot(2,2,2);plot(t-N/2)*fs/N,abs(X);Y=fft(y);Y=fftshift(Y);subplot(2,2,4);plot(t new-N*L/M/2)*fs/N,abs(Y);程序运行结果如下图(8)所示:53MX1/111 / V I/ VV 1 /-20242 -4(8)由图(8)可见，采样率fs=2fc，采样后采样率为fs'=(L/M)fs=3fc。同样地采样率 提高不会增加信号的信息。三、课题结论在实际工作中，数字信号采样率

15、的转换是经常遇到的。无论抽取还是插值均 不会增加信号的信息量，甚至在抽取时会减少。并且抽取时可能会引起信号的畸 变，这一点在处理过程中应重视。在做课题的过程中，利用 MATLAB软件及对程序运行结果的分析，可得出以 下结论：（1）若原信号经抽取后采样率仍然满足乃奎斯特准则，则信号的频谱没有太大变化；若原信号抽样后采样频率降为不满足乃奎斯特准则，则信号频谱有较大变化，信号波形损失较大。整数倍抽取不会增加信号的信息量， 但有时信号采 样会损失一定的信息。（2）原信号经整数倍插值后采样率fs '变为原来的L倍，但采样率提高不 会增加信号的信息量。（3）原信号经有理数倍速率转换后采样率 fs

16、'变为原来的（L/M）倍，但同样 地，采样率提高不会增加信号的信息量。四、课题过程体会及小结在进行探究性学习的最初，我们首先查阅了一些资料，有数字信号处理及MATLA实现、数字信号处理：原理与实践、基于MATLA的数字信号处理 等书籍，并对相关问题进行了深入地理解，最后确定了探究性学习课题的题目及 整体方向。确定课题题目以后，我们理解了课题所用到的理论知识，在本课题中，所得 图像是在MATLA上仿真出来的，在编写与程序的过程中也出现过问题，这也加 深我们对知识的理解。用 MATLA软件进行编程模拟后，将程序运行结果和理论 分析结果进行对照，验证了理论的正确性。在此之后，我们对整个探究性学习的 过程所用到的理论知识及程序、波形进行整理并写成课题论文形式。探究性学习是为了培养我们的创新精神和实践能力。在整个探究性学习的过程中，我们学到了很多东西，比如自主学习、深入研究问