第2课整式及其运算

1、1单项式：由单项式：由数与字母数与字母或或字母与字母字母与字母相乘组成的代数式叫做相乘组成的代数式叫做单项式单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指所有字母指数的和叫做数的和叫做单项式的次数单项式的次数，单项式中的数字因数叫做单项式中的数字因数叫做单项单项式的系数式的系数 2多项式：由几个多项式：由几个单项式相加单项式相加组成的代数式叫做多项式组成的代数式叫做多项式，多多项式里次数最高的项的次数就是这个项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数多项式的次数，不含不含字母的项叫做字母的项叫做常数项常数项 3整式：整式：单项式和多项式统称为整式单项式和多项

2、式统称为整式 4同类项：多项式中同类项：多项式中，所含所含字母字母相同相同，并且并且相同字母的指数相同字母的指数也相同的项也相同的项，叫做同类项叫做同类项 5幂运算法则：幂运算法则： (1)同底数幂相乘：同底数幂相乘： amanamn(m，n 都是整数都是整数，a0) (4)同底数幂相除：同底数幂相除： amanamn(m，n 都是整数都是整数，a0) 6整式乘法：整式乘法： 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变其余字母连同它的指数不变，作为积的因式作为积的因式 单项式乘多项式：单项式乘多项式：m(ab)m

3、amb 多项式乘多项式：多项式乘多项式：(ab)(cd)acadbcbd (2)完全平方公式：完全平方公式： (ab)2a22abb2 7乘法公式：乘法公式： 8整式除法：整式除法： 单项式相除单项式相除，把系数、同底数幂分别把系数、同底数幂分别相除相除，作为商的因作为商的因式式， 对于只在被除式里含有的字母对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式为商的一个因式 多项式除以单项式， 先把这个多项式， 先把这个多项式的的每一项每一项除以这个单项式除以这个单项式，再把所得的商相加再把所得的商相加 1 (2015舟山舟山)计算计算 23 的结果是

4、的结果是 ( ) A1 B2 C1 D2 【答案】【答案】 A 2(2015绍兴绍兴)下面是一位同学做的四道题：下面是一位同学做的四道题：2a3b5ab；(3a3)26a6；a6a2a3；a2a3a5其其中做对的一道题的序号是中做对的一道题的序号是 ( ) A B C D 【答案】【答案】 D 3(2014扬州扬州)若若3xy3x2y，则则内应填的单项式是内应填的单项式是 ( ) Axy B3xy2 Cx D3x 【答案】【答案】 C 4(2014杭州杭州)3a(2a)2 ( ) A12a3 B6a2 C12a3 D6a3 5(2015江苏模拟江苏模拟)若若 39m27m311，则则 m 的值

5、为的值为( ) A2 B3 C4 D5 题型一幂的运算题型一幂的运算【解析】【解析】 Aa4a2a6a8 B(a2)4a8a6 C(ab)2a2b2ab2 D正确正确 【答案】【答案】 D 【类题演练【类题演练 1】 (2015金华金华)计算计算(a2)3结果正确的是结果正确的是( ) Aa5 Ba6 Ca8 D3a2 【解析】【解析】 (a2)3a6 【答案】【答案】 B 题型二整式的运算题型二整式的运算2不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如如 a3a5a8和和 a3a32a3(am)n和和 anam也容易混淆也容易混淆 3单项式除法的关键：注意区

6、别单项式除法的关键：注意区别“系数相除系数相除”与与“同底同底数幂相除数幂相除”的含义的含义，如如 6a5(3a2)(63)a522a3，一一定不能把同底数幂的指数相除定不能把同底数幂的指数相除 【典例【典例 2】 (2014舟山舟山)下列运算正确的是下列运算正确的是 ( ) A2a2a3a3 B(a)2aa C(a)3a2a6 D(2a2)36a6 【答案】【答案】 B 【类题演练【类题演练 2】 (2014武汉武汉)下列运算正确的是下列运算正确的是 ( ) A(x3)2x5 B(2x)22x2 Cx3x2x5 D(x1)2x21 【解析】【解析】 A(x3)2x6，故本选项错误故本选项错误

7、 B(2x)24x2，故本选项错误故本选项错误 Cx3x2x5，故本选项正确故本选项正确 D(x1)2x22x1，故本选项错误故本选项错误 【答案】【答案】 C 满足两数和与两数差的特点应用平方差公式满足两数和与两数差的特点应用平方差公式，在利用在利用完全平方完全平方公式求值时公式求值时，通常用到以下几种变形：，通常用到以下几种变形： a2b2(ab)22ab； a2b2(ab)22ab； (ab)2(ab)24ab； (ab)2(ab)24ab 注意公式的变形及整体思想的应用注意公式的变形及整体思想的应用 题型三乘法公式题型三乘法公式【典例【典例 3】 (2015金华金华)已已知知 ab3，

8、ab5，则代数则代数式式 a2b2的值是的值是 【解析】【解析】 a2b2(ab)(ab)3515 【答案】【答案】 15 【类题演练【类题演练 3】 (2015宁波宁波)一个大正一个大正方形和四个全等的小正方形按图方形和四个全等的小正方形按图21、两种方式摆放两种方式摆放，则图则图21中大正方形未被小正方形覆中大正方形未被小正方形覆盖部分的面积是盖部分的面积是 (用用 a，b 的代数式表示的代数式表示) 【解析】 设小正方形的边长为设小正方形的边长为 c，则有则有 a2cb2c， cab4 S(a2c)24c2a24aca24aab4ab 【答案】【答案】 ab 先根据整式先根据整式的运算对

9、整式进行化简的运算对整式进行化简，其中包含了合并，其中包含了合并同类项、 单项式与单项式的乘同类项、 单项式与单项式的乘法、 单项式与多项式的乘法、法、 单项式与多项式的乘法、幂的运算、乘法公式的应用等幂的运算、乘法公式的应用等，再代入求值，再代入求值求值时要注求值时要注意整体思想的应用意整体思想的应用 题型四化简求值题型四化简求值【典例【典例 4】 (2015丽水丽水)先化简，再求值：先化简，再求值：a(a3)(1a)(1a)，其中，其中 a33 【解析】【解析】 a(a3)(1a)(1a) a23a1a213a 当当 a33时时，原式原式13a1 3 【类题演练【类题演练 4】 (2015

10、孝感孝感)已知已知 x2 3， 则代数式则代数式(74 3)x2(2 3)x 3的值是的值是 ( ) A0 B 3 C2 3 D2 3 【解析】【解析】 当当 x2 3时时， (74 3)x2(2 3)x 3 (74 3)(2 3)2(2 3)(2 3) 3 (74 3)(74 3)1 3 11 3 2 3 【答案】【答案】 C 技技 法法 联联 通通1用字母表示数能够简明地表示出事物的规律及本质特用字母表示数能够简明地表示出事物的规律及本质特征，但要注意字母的任意性、确定性、限制性征，但要注意字母的任意性、确定性、限制性 2本课法则与公式比较多，注意法则、公式既可正向应本课法则与公式比较多，

11、注意法则、公式既可正向应用，也可逆向运用，逆用和灵活应用公式既可简化计用，也可逆向运用，逆用和灵活应用公式既可简化计算，又能进行较复杂的代数式的大小比较，当直接计算，又能进行较复杂的代数式的大小比较，当直接计算有困难时，考虑逆向运用，化难为易算有困难时，考虑逆向运用，化难为易 3本节课主要用到以下三种数学思想方法：本节课主要用到以下三种数学思想方法： (1)数形结合思想：数形结合思想： 在列代数式时， 常常会遇到一种题型： 题中提供一定的图形，在列代数式时， 常常会遇到一种题型： 题中提供一定的图形，要求通过对图形的观察、探索，提取图形中反馈的信息，并要求通过对图形的观察、探索，提取图形中反馈

12、的信息，并根据相关的知识列出相应的代数式，也能用图形验证整式的根据相关的知识列出相应的代数式，也能用图形验证整式的乘法和乘法公式乘法和乘法公式 (2)整体思想：整体思想： 整体思想最典型的是应用于乘法公式中，公式中的字母不仅整体思想最典型的是应用于乘法公式中，公式中的字母不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，如可以表示单项式，也可以表示多项式，如(x2yz)(x2yz)x(2yz)x(2yz)x2(2yz)2x24y24yzz2等等 (3)化归思想：化归思想： 观察才能获取大量信息，比较才能发现信息的异同，然后通观察才能获取大量信息，比较才能发现信息的异同，然后通过归纳找出共同点，总结归纳的结

13、果获得猜想及结论过归纳找出共同点，总结归纳的结果获得猜想及结论 4代数式的三种大小比较方法：代数式的三种大小比较方法： 代数式及数的大小比较通常用作差法：如若代数式及数的大小比较通常用作差法：如若 MN0，则，则 MN；若若 MN0，则，则 MN；若；若 MN0，则，则 MN另外也可用商另外也可用商除法、倒数法等来比较大小除法、倒数法等来比较大小 【错解】【错解】 (1)x3x32x6 (2) (2x2)24x4 (3) x5xx5 (4)(ab)2a2b2 易错点易错点1幂运算法则混淆幂运算法则混淆【析错】【析错】 上述解答错在记错了幂的四种运算法则，以及上述解答错在记错了幂的四种运算法则，

14、以及合并同类项法则和乘法公式的运用合并同类项法则和乘法公式的运用 【纠错】【纠错】 (1) x3x3x33x6 名师指津名师指津 整式的运算包含整式的加减、幂的有关运整式的运算包含整式的加减、幂的有关运算、整式的乘除算、整式的乘除，运算时应分清每种运算所对应的运运算时应分清每种运算所对应的运算法则以及相应的乘法公式算法则以及相应的乘法公式 (2)(2x2)2(2)2x44x4 (3)x5xx51x4 (4)(ab)2a22abb2 【典例【典例 2】 判断下列各组代数式中哪几组是同类项？判断下列各组代数式中哪几组是同类项？ (1)2a2b3与与 2x3y3 (2)102 与与 22 (3)2x

15、2y3与与 3y2x3 (4)2x2y 与与3yx2 【错解】【错解】 (3)(4)两组是同类顶两组是同类顶 易错点易错点2同类项定义的理解同类项定义的理解【析错】【析错】 同类项应符合两个条件：同类项应符合两个条件：单项式中所含的字单项式中所含的字母相同；母相同；相同字母的指数也相同相同字母的指数也相同第第(2)组往往认为组往往认为不是同类项不是同类项，因为因为 22含有乘方运算含有乘方运算，但事实上但事实上102和和 22都是常数都是常数，应属同类项；第应属同类项；第(3)组仅满足条件组仅满足条件，但不满足条件但不满足条件，所以第所以第(3)组不是同类项组不是同类项 【纠错】【纠错】 (2

16、)(4)两组是同类项两组是同类项 名师指津名师指津 在判断一个数学概念时在判断一个数学概念时，应把数学概念进行应把数学概念进行逐一分逐一分解成相应的条件，然后再进行对照判断，满足解成相应的条件，然后再进行对照判断，满足所有条件则成立所有条件则成立 1下列式子化简后的结果为下列式子化简后的结果为 x6的是的是 ( ) Ax3x3 Bx3x3 C(x3)3 Dx12x2 【解析】【解析】 A原式原式2x3，故本选项错误故本选项错误 B原式原式x6，故本选项正确故本选项正确 C原式原式x9，故本选项错误故本选项错误 D原式原式x10，故本选项错误故本选项错误 【答案】【答案】 B 2已知已知 x22

17、x30，则则 2x24x 的值为的值为 ( ) A6 B6 C2 或或 6 D2 或或 30 【解析】【解析】 由由 x22x30， 得得 x22x3， 2x24x2(x22x)236 【答案】【答案】 B 3某种手机卡的市话费上次按原收费标准降低了某种手机卡的市话费上次按原收费标准降低了 m 元元/分钟分钟，现现在再次下调在再次下调 20%，使收费标准为使收费标准为 n 元元/分钟分钟，那么原收费标准，那么原收费标准为为 ( ) A 54nm 元元/分钟分钟 B 54nm 元元/分钟分钟 C 15nm 元元/分钟分钟 D 15nm 元元/分钟分钟 【答案】【答案】 B 4已知已知 3x4，9y7