特征方程特征根法求解数列通项公式

1、特征方程特征根法求解数列通项公式2009 年 02 月 07 日 星期六 下午 11:31以下内容整理自课堂笔记咱们先来复习一下简单的，热热身：一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.(1)通常设：A(n+1)-甘 p(An-入)，则 X =q/(1-p).( 2)此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q,其*g为x=q/ (1-p)注意：若用特征根法，入的系数要是-1例一：A( n+1)=2An+1 , 其中 q=2,p=1,则入=1/( 1-2) = -1那么A( n+1) +1=2( An+1)。二：再来个有点意思的,三项之间的关系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn， p,

2、q 为常数( 1)通常设：A(n+2)-mA(n+1)=kpA(n+1)-mAn,则 m+k=p, mk=q( 2)此处如果用特征根法：特征方程是yxy=py+邛)注意： m n 为( )两根。 m n 可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An,而且还会有意想不到的惊喜，嘿嘿m n交换位置后可以分别构造出两组 An和A(n+1)的递推公式，这个时 侯你会发现，这是一个关于 An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去 A (n+1),留下An,得了，An求出来了。例二： A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A( n+1) +6An，特征方程为：y

3、x y= - 5y+6那么，m=3,n=2或者 m=2, n=3于是，A( n+2) -3A( n+1) =2A( n+1) -3A (1)A( n+2) -2A( n+1) =3A( n+1) -2A (2)所以,A (n+1) -3A (n) = - 2 A n (3)A (n+1) -2A (n) = - 3 a (n-1)(4)you see消元消去A (n+1),就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0， 1， 1， 2， 3， 5，8, 13, 21如果设F(n)为该数列的第n项(nCN+)。那么这句话可以写成如下形式：F(0) = Q F(1)=F(2)=1

4、,F(n)=F(n-1)+F(2-(n >3)显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为：XA2=X+1解得X1=(1+V 5)/2, X2=1/ 5)/2.则 F(n)=C1*X1An + C2*X2An ，F(1)=F(2)=1C1*X1 + C2*X2C1*X1A2 + C2*X2A2解得 C1=1/，J C2=-1/，5 .F(n)=(1/，5)*(1+，5)-2T1n，5)An【，5表示根号 5通项公式的推导方法二：普通方法设常数r,s使得 F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)贝J r+s=1, -rs=1n3

5、时，有F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3)F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4)F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1)将以上n-2个式子相乘，得：F(n)-r*F(n-1)=sA(n-2)*F(2)-r*F(1) . s=1-r, F(1)=F(2)=1上式可化简得：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)那么：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1)=sA(n-1) + r*sA(n-2) + »2*F(n-2) =sA(n-1) + r*sA(n

6、-2) + »2*sA(n-3) + »3*F(n-3)=sA(n-1) + r*sA(n-2) + rA2*sA(n-3) + + r明*s + rA(n-1)*F(1)=sA(n-1) + r*sA(n-2) + rA2*sA(n-3) + +rA2)*s + rA(n-1)(这是一个以sA(n-1)为首项、以rA(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列 的各项的和)=sA(n-1)-rA(n-1)*r/s/(1-r/s)=(sAn - rAn)/(s-r)r+s=1, -rs=1 的一解为 s=(1 +V5)/2, r=(-V5)/2则 F(n)=(1/，5)*(1+

7、 ，5)-2Aln，5)/2An。三：最后准备好了吗，咱们来看最刺激，最具挑战性的一组：A(n+1)= (MAn+N) / (CAn+D) M,C不同时为零此题一般可以避开求通项公式而另辟蹊径的方法，比如数学归纳法一类的等等，但是如果一定要挑战一下自己，那我们现在就开始通项公式之路( 1)此处似乎只能用特征根法：。如果您有任何更好的方法，留言告诉我吧。特征方程：x+( Mx+N) /(Cx+D)特征方程有两个不等的实根，设为% B,则 (An-a) / (An-8 伟等比数列注意：a, B可以互换位置特征方程有一个实根，a则1/ (An-a) 伟等差数列 特征方程没有实数根，则An伟循环数列，

8、每年总要有几个题要来个A2007， A2008， A2009， A20xx例四：这个例题的数字给的十分有意思 伟强A( n+1)=( 3An+4) /( 2An+3)特征方程：x= (3x+4) / (2x+3) , x=±V2则 (An22) / (An为等比数列(A (n+1) +，2 / (A (n+1) - Vj = (3An+4) / (2An+3) +V2/(3An+4) / (2An+3) - V2=(3+，2 An+ (3,2+4 /(3-2,2)/(43,2)=(3+2,2 / (3-2,2 x (An+V2 / (An-，2= (VQr 1)A4 x An+V2

9、/ (An。( 2)等待你的智慧ps：晕了，倒了，数学符号，我一个一个打上去，还是四不像，不过的确挺经典的方法，希望你可以从中发现更多以下内容来自互联网特征根法小觑并上斐波那契数列应用特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。r*r+p*r+q称为对递推数列：a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程。对微分方程：设特征方程r*r+p*r+q=0 两根为 r1， r2。1 若实根r1 不等于r2y=c1*eA(r1x)+c2*eA(r2x).2 若实根r1=r2y=(c1+c2x)*eA(r1x) 3 若有一对共轭复根(略)

10、对递推数列：1若特征方程有两个不等实根 U,r2则an=c1*UAn+c2*r2An其中常数c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一确定。(1) c1r1+c2r2=a;(2) c1r1A2+c2r2A2=b(3) 若特征方程有两个相等实根r1=r2=ran=(c1+nc2)rAn其中常数c1,c2由初始值唯一确定。(1) a=(c1+c2)r(2) b=(c1+2c2)rA2一类重特征根对方程解的简便解法对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根入i(i=1, 白 数是ni(刚应的mi个初等因子是(入入i)ki1, -M)kimi,ki1+ +kimi=在对应方程中ni个

11、线性无关解，其结构形如Xi(t)=(P(i)1(t),下门)寸多项的i,P(Dj的次数小于等于 Mi-1,(Mi=maxki1 ,kim前于Mi计算起来非常困难，本文 利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的 多项式P(Dj次数的上界，使计算起来更加方便和有效.斐波那契数列参考资料斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。( 1)细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。( 2)细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊斐波那契数

12、经常与花瓣的数目相结合：3百合和蝴蝶花5蓝花楼斗菜、金凤花、飞燕草8翠雀花13金盏草21紫宛34, 55, 84雏菊地（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树 木的枝干上选一片叶子，记其为数 0,然后依序点数叶子（假定没有折损）， 直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子 从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的 圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序 （源 自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。(4)斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果 的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种情况在向日葵的种子盘中也会 看到。止匕外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗向日葵的种子盘(5)菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，我们可以去 数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。斐波那