数值分析、计算方法试题库及答案

1、xx学年第1学期«计算方法课程考试试卷(A )开课二级学院：理学院 ，考试时间：x年 月 日 时考试形式：闭卷，口、开卷口，允许带 计算器 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：题序一二三四五六七总分得分评卷人、填空(每个空3分，共27分); * * . 1,设 x 2.6718 ,x 2.671 ,则x有 位有效数字: * _一 一. *2 2, x2.8451是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差 0 ；3,设 x (3, 2,6),则 |M , |x| b4,设f (x) 0,则由梯形公式计算的近似值T和定积分If(x)dx的值的大小a:关系为: 5,设 f(0) 1, f(1

2、) 3, f(2) 4, f(3) 2, f01,2,3 46,对点 供)。 1,2,n)拟建立模型y a bx2,则a,b满足的正规方程组为na7,若a,b满足的正规方程组为:nxiai 1xib1nx2bi 1yin xis使x(k 1)sx(k),则A的按模最大则y与x之间的关系式为8,对哥法迭代公式x(k 1)Ax(k)当k充分大时有常数!的特征值11寂涯网络 xxxx学年第1学期计算方法课程试卷 A 第5页共4页:、设 f(2) 0,f(0) 2,f(2) 8,求 p(x)使 p(xj f(xj ,(i 0,1,2)；又设f (x) M ,则估计余项 r(x) f (x) p(x)的

3、大小。(15分)三、设 f(0) 1, f(0.5) 5, f(1) 6,f(1.5) 3, f(2) 2, f(k) M (k 2,3,4),2(1)计算°f(x)dx, (2)估计截断误差的大小(12分)四、设方程x3 5x2 12 0在1,2内有实根 ，试写出迭代公式xk 1(xk) k 0,1,2,，使 xk,并说明迭代公式的收敛性。（10分）1352五、设有线性方程组 Ax b,其中 A31015, b8515305（1）求A LU分解；（2）求方程组的解判断矩阵A的正定性（14分）六、设有线性方程组 Ax b,其中 A1442 12,4 41an TO A2试讨论Jaco

4、bi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法的收敛性。（14分）七、设A aj nn是n阶实对称正定矩阵，A经过一次高斯消元计算变为其中T为行向量，。是零列向量，试证明 A2是对称正定矩阵（8分）xx _ xx_学年第二学期«计算方法课程考试试卷(B)开课二级学院：理学院 ，考试时间：xx年2月_31日 时考试形式：闭卷，口、开卷口，允许带 计算器 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级： 题序一二三四五六七八总分得分评卷人、填空(每空3分，共27分)1,牛顿柯特斯求积公式的系数 C,2,设x的相对误差为，则 &的相对误差为3,设x4.5585是经四舍五入得到的近似值，则4,设

5、 x (2, 2, 8),则 |x|5,对实验数据(xi,y)(i 1,2,n)拟建立模型a bx ,则a, b满足的正规方程组为6,若a,b满足的正规方程组为:nan2为ai 1nx2bi 1nx4bi 1n2xi yii 1则y与x之间的关系式为7,若1是A1的按模最大的特征值，则A的按模最小的特征值为8,对哥法迭代公式x(k 1)Ax(k)当k充分大时有常数p, q使32;八、设万程x 4x 10 0在1,2内有实根，试写出迭代公式xk 1 (xk) k 0,1,2,，使xk。1 10 分)七、设A是非奇异矩阵，矩阵序列Xk满足XkiXk(2I AXk),若(I AXo) 1,证明：ki

6、mXk A1 (8 分)xx _ xx _学年第。学期计算方法课程试卷（A）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院，学生班级:07数学,07信算1,2教师:何满喜1,6,、填空（共27分，每空3分)na2xi ai 12,x2b1o 43, 114, T I5,nx4bi 1n 2Xi i 1yi17, ya bx8, S（共15分）、由公式得P(X)f (Xo) f Xo,X1(X1(X 2) -(x 2)x2Xo)1 2X2f Xo,Xi, X2(X2x 2 L Lr(X)f(3)()3!(x 2)x(x2)Xo)(x Xi) L L 3M I, 6 Kx2)x(x 2)168.5,M3

7、.327三（共12分）、根据给定数据点的个数应该用复化simpson公式计算由公式得f(x)dx 3(f(o) 4(f(a5) f(1.5)2 f(1)f(2)R(f,s4)476/h：f(4)(2 0 一 M M288o144oh1 2h若用其它公式计算正确，且误差比以上的误差大时只给过程分数8分，扣除方法分数4分。四、（1。分）把方程X3 5x2 12 o等价变为以下方程:则有（x）«计算方法课程试卷 A参考答案及评分标准第 1页共 3 页1222因此对1 x 2有所以由定理可知迭代公Xk 1(Xk)五、（14分）因为(x)12. XkA,b.121,2 1(1) A=LU= 3

8、X 5)32 ,(1 5)3（xk）是收敛的,即迭代公式收敛于方程在区间1 ,2内根上。101515305 01X1（2）方程组的解为X2X31(3)由于A= 3所以矩阵A是对称正定的六（14分）、BiD1(DA)所以旧）B2(IL)所以(B2)1UB2B116由定理可知简单Jacobi)迭代法收敛。4 141610 ,243232)1,由定理可知Seidel迭代法不收敛。七（8分）、证：A2的元素为af，ai 1ai ja1ja j1a j i a1i aj i ?a11an«计算方法课程试卷 A参考答案及评分标准第 3页共 3 页因此A2为对称矩阵。记mi1ai1, L1 a11

9、0m)21 1a110对任意n-1维非零向量mni 0(0,x0)t ,记A20,而ytAy (L；x)tA(L；x) xtL1Ax (0,x0)anOOtA2xO而A2为正定矩阵。«计算方法课程试卷 A参考答案及评分标准课程编号：12000044a11OOtytAy 0,x0A2x0 ,xAx。北京理工大学2010-2011学年第一学期xx级计算机学院数值分析期末试卷A卷班级 学号 姓名 成绩 注意：答题方式为闭卷。 可以使用计算器。请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。一、填空题(2 0X2')1 .设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，

10、则x有 位有效数字。2.设A:22，U A 口 °° 二,X2 13| X | 00 =,II AX |(注意：不计算口 AX厂的值)3 .非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的4 .若 f(x)=x7 x3 + 1 ,则 f20,21,22,23,24,25,26,27=f20,21,22,23,24,25,26,27,28=5 .区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到 阶的连续导数。6 .当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿 差商公式的 (填写前插公式、后插

11、公式或中心差分 公式)，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的(填写前插公式、后插公式或中心差分公式)；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 n7 .拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：ai(x) ;所i 0以当系数a(x)满足,计算时不会放大f(xi)的误差8 .要使J20的近似值的相对误差小于0.1%,至少要取 位有效数字。9 .对任意初始向量X(0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式 x(k+1)=Bx的+g(k=0,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 x00.511.522.5y=f(x)-

12、2-1.75-10.2524.2511 .牛顿下山法的下山条件为12 .线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1，,n)来实现的，其中的残差 ri =, (i=0,1，,n)。13 .在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解， 且f(x)的二阶导数不变号，则初始点xo的选取依据 为 o14 .使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、迭代计算。二、判断题(在题目后的()中填上y或“x”。)(10X1')1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX= b一定可以使用高斯消元法求解。()2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛

13、的。()3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naiiaj(i 1,2,.,n)j 1则解线性方程组AX = b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。()4、样 条 插 值 一 种 分 段 插 值 o()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误 差 及 舍 入 误 差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX = b。()8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一 步 迭 代 计 算 的 舍 入 误 差。()9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和

14、舍入误差，则误差的最佳分配原则 是截断 误差 = 舍 入 误 差。()10、 插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。()三、计算题(5X8'+10')1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。x1 x2x345x1 4x2 3x3121232x1 x2 x3 112-用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x),并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f '(xi)153、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛，写

15、出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由2x1xix2xix3xx34x3x3x45x4X416834、设y=sinx,当取x0=1.74, xi=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算 x=1.75的函数值时，函数值yo, yi, y2应取几位小数？5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据:xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。a -6、应用牛顿法于方程 f(x) 1 0,导出求a的迭代公式，并用此公x式求、115

16、的值。(计算时小数点后保留4位)。课程编号：12000044北京理工大学xx-2010学年第二学期xx级计算机学院数值分析期末试卷A卷班级学号姓名成绩注意：答题方式为闭卷。 可以使用计算器。四、15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。填空题(2 0X 2')设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有位有效数字II A | oo =5II X | 8 =1，XII AX |15非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足|彳x)|<1，则使用该 迭代函数的迭代解法一定是局部收

17、敛的 若 f(x)=x7 x3 + 1 ,则 f20,21,22,23,24,25,26,27=J f20,21,22,23,24,25,26,27,28=区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到2阶的连续导数。当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿 差商公式的前插公式,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。n拉格朗日插值公式中f(xi)的系数a(x)的特点是：ai(x)1;i 0所以当系数ai(x)满足 ai(x)>1,计算时不会放大f(xi)的误差。

18、要使<20的近似值的相对误差小于0.1%,至少耍取4位有效数字。对任意初始向量X(0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式 x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)<1。由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5。0.51.52.5y=f(x)-2-1.75-10.254.2525 .牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)Vf(xn)|。26 .线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,n)来实现的，其中的残差 ri = (bi-ajixi-aj2x2-aoxn)/a«, (i=0,1，,n)。27 .在

19、非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解， 且f(x)的二阶导数不变号，则初始点xo的选取依据为 f(x0)f ”(x0)>0。28 .使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。五、判断题(10X 1')10、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX= b 一定可以使用高斯消元法求解。(x )11、 解非线 性方程f(x)=0的牛顿迭代法 在单根x*附近是平 方收敛的。()12、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naiiaj (i 1,2,.,n)j 1则解线性方程组AX = b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。(x )13、 样 条 插 值

20、 一 种 分 段 插 值。()14、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()15、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截 断 误 差 及 舍 入 误 差。()16、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX = b。(X )17、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最 后一步 迭 代 计 算 的 舍 入误 差。(X )18、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则 是 截 断 误差 =舍入误差()10 、插 值 计 算 中避 免 外插 是 为 了 减 少 舍 入

21、 误 差(X )六、计算题(5X 10')1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x1 x2 x345x1 4x2 3x3121232x1 x2x3 11解答：( 1， 5， 2)最大元5 在第二行，交换第一与第二行：5x1 4x2 3x312123x1 x2 x342x1 x2x3 11L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：5x1 4x2 3x3121230.2x20.4x31.6232.6x2 0.2x315.823( -0.2,2.6)最大元在第三行，交换第二与第三行：5x1 4x2 3x3121232.6x2 0.2x315.8230.2x20.4x31.623

22、L32=-0.2/2.6=-0.076923方程化为:5X| 4x9 3x.12I232.6x2 0.2x315.80.38462x30.38466回代得：X13.00005x25.99999x31.0001032-用牛顿一一埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x),并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)ox012f(xi)1-13f '(xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-11323430

23、2351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由2xiX2X41XiX35X46X24x3X48Xi3x2X33解答:交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:2x1X2X4Xi3x2x2 4x3x4 8Xix3 5x4 6雅克比迭代公式:2x1x2x4 1Xi 3X2X3X2 4X3 X48x1

24、x3 5x464、设y=sinx,当取xo=1.74, xi=1.76, X2=1.78建立拉格朗日插值公式计算 x=1.75的函数值时，函数值yo, y1, y2应取几位小数？5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：Xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。一a 一6、应用牛顿法于方程 f (x)1 0,导出求7a的迭代公式，并用此公x式求2115的值。(计算时小数点后保留4位)华南农业大学期末考试试卷(A卷)2007学年第二学期考试科目： 数值分析考试时间：120分钟学号 姓

25、名 年级专业题号一二三四总分123456得分评阅人一、判断题(每小题 2分，共10分)10001.用计算机求1000时，应按照n从小到大的顺序相加。()n 1 n2.为了减少误差，应将表达式 J2001 J1999改写为rJ进行计算。.2001,19993 .用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。()4 .采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。()5 .用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。()二、填空题(每空 2分，共36分)1.已知数a的有效数为0.01 ,则它的绝对误差限为 ,相对误差限

26、为 .1 0102 .设 A 021 ,x 5 ,则11Al , |x|2 , |Ax|.1301533 .已知 f(x) 2x4x 5x,则£1,1,0 f 3, 2, 1,1,2,3 一 ，1',3. 3 ,4 .为使求积公式f (x)dx A f ()A2 f(0) A3 f ()的代数精度尽重局，应使133A1 , A2 , A ,此时公式具有 次的代数精度。5. n阶方阵A的谱半径(A)与它的任意一种范数| A的关系是.6. 用迭代法解线性方程组 AXB时，使迭代公式X(k 1) MX(k) N (k 0,1,2,K)产生的向量序列 X(k)收敛的充分必要条件是 7

27、. 使用消元法解线性方程组AX B 时， 系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵42U 的 乘 积 ， 即 A LU . 若 采 用 高 斯 消 元 法 解 AX B ， 其 中 A， 则21L ， U ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 ；若使用平方根方法解AX B ，则 l11 与 u11 的大小关系为（选填：， =，不一定）。y xy8. 以步长为1 的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为y（0） 12 .给定线性方程组x10.4x2 0.4x310.4x1 x2 0.8x320.4x1 0.8x2 x33(1) 分别写出用Jacobi和Gauss-Seid

28、el迭代法求解上述方程组的迭代公式;(2) 试分析以上两种迭代方法的敛散性。3 .已知函数y f(x)在如下节点处的函数值x-1012y1430(1)建立以上数据的差分表；(2) 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式P2(x),并计算y(1.1)的近似值;(3) 采用事后估计法计算(2)中近似值的截断误差(结果保留四位小数)。4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1o12y12505 .已知函数y f(x)在以下节点处的函数值，利用差商表求 f (3)和f (3)的近似值。x134y2186 .写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解

29、下列常 微分方程的数值解。22y x yy(0) 0(0 x 1, h 0.2)四、 ( 8 分) 已知 n+1 个数据点(xi, yi)(i0,1,2,L ,n) ，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。华南农业大学期末考试答案及评分标准（A卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析、判断题:（每小题2分，共10分）1. X2.3.4. X5. X二、填空题:（每空2分,共36分）1.0.005或 0.510 20.52.5, ,26,153.0,24.1,0,1,35.(A)6.(M)7.8.yn 1yn三、解答题（第1.(1)证明:a) fb) f (x)1

30、,1(xnyn)二(1 xn214小题每题8分,一3_f (x) x 3x3 0, f (2) 13x2 3 00,(xyn)或 yn1 1.5xn2.5yn 0.5, n 0,1,2,L第5、6小题每题7分，共46分）由于(1,2),c) f (x) 6x 0 (x (1,2),即 f (x)在(1,2)上不变号,d）对于初值x02 ,满足f （2） f0,2.1所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为xn 1xn叱)f (xn)xn 3xn 13x； 3取初值xo 2进行迭代，得x11.8889, x2 1.8795.2. 解：（1） Jacobi迭代公式为(k

31、 11)0.4x2k)0.4x3k)1(k 21)0.4x1(k)0.8x3k)2(k 31)0.4x(k)0.8x2k)3xxxGauss-Seidel迭代公式为(kXi1)0.4x2k)0.4x3k)1(kX21)0.4x(k 1)0.8x3k)(kX31)0.4x(k 1)0.8x2k 1)矩阵的特征方程为230.4(2 ) Jacobi 迭代0.40.40.80.40.83一一一一_一 .30.960.2560,即(0.8)(0.4、0.505)(0.4、0.505)0,从而得 1-1.0928, 2 0.8000,30.2928 ,（或由单调性易判断必有一个大于特征根，）因此迭代矩阵

32、的谱半径等于必大于1,所以Jacobi迭代法发散。0.40.4Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为0.40.80,展开得0.40.8(2 0.8320.128) 0,解得 i 0, 20.628, 3 0.204,迭代矩阵的谱半径小于1 ,所以Gauss-Seidel迭代法收敛。 2分3. 解：(1)建立差分表xyy2y3y113041421332202分(2)建立牛顿后插公式为32P2(x)0 i!(x2),(x2)(x1)3(x 2)(x2)(x1)x2 4 则所求近似值为2.79P2(1.1)41) (x 1)x2x(x 1)42.68(3)根据前三个节点建立牛顿后插公式为P2(

33、x)3 ：(x1!3 (x 1)2x2x则P2(1)(1.1)根据事后误差估计法故截断误差x 2m)R2(x)- P2(0.9) P2(1)(0.9)x 10.9R2(1.1)(2.79 2.68)0.04713分2分4.解：设所求二次最小平方逼近多项式为P2(x)aoaix2a?x .根据已知数据，得建立法方程组为a。,A,Y18a28 , M18aoa1a2解得a。3.5,a11.5,a21.5.从而得所求一次最小平方逼近多项式为P(x) 3.51.5x 1.5x2.5.解：设2 (x)为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表:xy一阶差商二阶差商1282541723P2(3)P23

34、, 3P24,3,33P23, 3P23,3,33P2(3)因为二次多项式的二阶差商为常数，又P2(x)是f (x)的插值函数，故有5P24,3,3P23,3,3一2 2分P23,375P24,3,321 1-，3 42因此得9P23,32 1分由于f (k)(x) k!Pnx，x，2,4.x, k 1从而得9f (3) P23,3-,2f (3) 2!P23,3,3 5. 2分6.解：前进欧拉公式：yn 1yn h f(xn,yn)yn0.2x20.2y； 1分22后退欧拉公式：yn 1 ynh f(xn1,yn1)Vn0。10.2 yi1 分预估时采用欧拉公式 22yn 1 Vn 0.2x

35、n 0.2丫 1分校正时采用后退欧拉公式2*2yn 1yn 0.2xn 1 0.2 yn 1 1分由初值 xo 0, yo 0,h 0.2知，节点分别为 xi 0.2i, (i 1,2,3,4,5)当 K 0.2,1分*y122y0 0.2x0 0.2y00,2*y1y0 0.2x1 0.2 y10.008，x20.4,*22y2 y1 0.2x1 0.2 y10.0160,2*2y2y1 0.2x2 0.2 y20.0401 . 1分x30.6,*22y3 y2 0.2 x2 0.2 y20.0724,2*2y3 y2 0.2 x3 0.2 y30.1131 . 1分x40.8,*22y4y

36、3 0.2x3 0.2 y30.1877,2*2y4y3 0.2x4 0.2 y40.2481 . 1分x5 1.0,22y5* y4 0.2x42 0.2y420.3884,2*2y5y4 0.2 x5 0.2 y50.4783 .四、 ( 8 分)答： 1 、可以建立插值函数：( 1 ) Newton 基本差商公式Pn(x) f (x0) (x x0)fx1,x0 (x x0)(x x1)fx2,x1,x0L (x x0)(x x1)L (x xn 1)fxn,L ,x1,x0(2) Lagrange插值多项式Ln(x) a°f(Xo) af(xi) L qf(Xi) L anf

37、 (Xn)(x Xo)L (x Xi 1)(X Xi 1)L (x Xn) ai , (i 0,1,L ,n).(XiXo)L (Xi Xi i)(Xi Xi 1)L (Xi Xn) 1分这两类插值函数的适用条件是：n不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。 2分2、可以建立拟合函数：Pm(x)a。-2a1xa2xLm amX其中系数a0,a1，a2,L ,an满足法方程组M MA MY,1X02X0KmX0a0f(x0)VoM1X12X1KmX1Aa1、.f(X1)y1,A,YLKKKKKLL1xn2xnKmxnamf(Xn)Vn 1分拟合函数的适用条件是：n比较大，而且并不要求函数严格通过

38、已知数据点，或者已知数 据点本身的误差较大。数值分析模拟试卷1一、填空(共30分，每空3分)111设A，则A的谱半径 (a), A的条件数cond1(A)=.5 12 设 f(x) 3x2 5, Xkkh,k 0,1,2,则 f Xn，Xn 1, Xn 2 = fxn,xn 1,xn 21 xn 3=.32x x ,0 x 13 设S(x) q 9，是以0, 1, 2为节点的三次样条函数，则2x3 bx2 cx 1,1 x 2b=,c=.4设qk(x)k °是区间0, 1上权函数为 (x)x的最高项系数为1的正交多项式族，其1中 q0(x) 1 ,贝U 0xqk(x)dx , q2(

39、x) .1 0 a5 设 A 0 1 a , 当 a 时，必有分解式a a 1,其中L为下三角阵，当其对角线元素Lii(i 1,2,3)满足条件 时，这种分解是唯一的.一，八、5319一、(14 分)设 f (x) x2,x0 -, x1 1,x2 , 441 9. (1)试求f(x)在-,-上的三次Hermite插值多项式H(x)使满足H(xJf区),i0,1,2,4 4H 3)f(x)(2)写出余项R(x) f(x) H(x)的表达式.2二、(14分)设有斛方程12 3x 2cosx 0的迭代公式为xn 1 4 cosxn,3(1)证明x0R均有limxnx? (x?为方程的根)；x，列出

40、各次迭代值；3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.4、 （16 分 ） 试确定常数A， B， C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度.试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？5、 15 分) 设有常微分方程的初值问题y f (x, y) ，试用 Taylor 展开原理构造形如y(x0 ) y0yn 1 (yn yn 1) h( 0 fn1 fn 1)的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项 .121八、(15分)已知方程组Ax= b,其中Ab ,0.3 12(1) 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性2 ) 若

41、有 迭 代 公 式x(k 1) x(k)a(Ax(k) b) ， 试 确 定 一 个取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛其中七 、（8 分 ） 方 程 组A 是 对 称 的 且 非 奇 异 .设 A 有 误 差则原方程组变化为为解的误差向量，试证明其中1和2分别为A的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题(每空2分，共30分)1 .近似数x 0.231关于真值x 0.229有 位有效数字；2 .设 f(x) 可微，求方程 x f(x)根的牛顿迭代格式是；3 .对 f(x) x3 x 1,差商 f0,1,2,3 ; f0,1,2,3,4 ；324.已知 x (2, 3)

42、, A，则 11Ax |,2 1Cond 1 (A) ； 一一. 3_. .、一5 .用二分法求方程f(x) x x 10在区间0,1内的根，进行一步后根所在区间为,进行二步后根所在区间为 ;3x1 5x216 .求解线性方程组 1的高斯一赛德尔迭代格式为一 x1 4x205 ;该迭代格式迭代矩阵的谱半径(G) ;7 .为使两点数值求积公式:f(x)dx0 f (Xo)if (Xi)具有最高的代数精确度，其求积节点应为X0Xi38 .求积公式° f(x)dx3-f (1)f(2)是否是插值型的2,其代数精度为、(12分)设AALU ,其中L为下三角阵,U为单位上三角阵。已知21012

43、101200100，,，求 L , U。12(2)设A为6 6矩阵，将A进行三角分解:A LU , L为单位下三角阵,U为上三角阵，试写出L中的元素165和U中的元素U56的计算公式。三、(12分)设函数f (X)在区间0,3上具有四阶连续导数，试确定一个次数不超过3的多项式H (x),满足H(0) f (0) 0 , H (1)f(1) 1, H(2)f(2) 1,H (1) f (1) 3并写出插值余项。(12分)线性方程组x1 x2 b)2 x1 2x2 b2(1)请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。(2)设 2,给定松弛因子1、一,请写出解此方程组的 SOR方法的迭

44、代格式，并讨论收2五、(7分)改写方程2X敛性。x 4 0为x 1n(4 x)/1n2的形式，问能否用迭代法求所给方程在1,2内的实根?六、(7分)证明解方程(x3 a)20求3/a的牛顿迭代法仅为线性收敛。 113七、(12 分)已知X0 , X1, X2.424(1)推导以这3个点作为求积节点在0,1上的插值型求积公式;(2)指明求积公式具有的代数精度；1 2(3)用所求公式计算x2dx。0八、(8 分)若 f(x) (x Xo)(X Xi) (x Xn),Xi 互异，求 fXo,Xi, ,Xp的值，这里p n 1.数值分析模拟试卷 3一、填空题(每空 3分，共30分)1 .设 f(X)4

45、x8 3x4 2x 2 1二、(14分)已知方阵 A 111, 1 ,则差商 f 20,21, ,28 ；2 .在用松弛法 (SOR)解线性方程组Ax b时，若松弛因子满足|1| 1 ,则一代法； _ . * . _ _ . * . _ 3 .设f(x ) 0, f (x ) 0,要使求x的Newton迭代法至少三阶收敛，f(x)需要酒足 ; 、一324 .设f(x) (x 2)(x 3x 3x 1),用Newton迭代法求x12具有二阶收敛的迭代格式为 ；求X21具有二阶收敛的迭代格式为 ；725.已知 A,则(A),Cond (A)3 16 .若x 1,改变计算式lgx lg Jx2 1 =,使计算结果更为精确；7 .过节点Xi,xi 2 1(1)证明：A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵 U的乘积；(2)给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵；(3)用上述分解求解方程组Ax b,其中b (3.5,2,4)t。三、(12分)设函数f (x)在区间0,3上具有四阶连续导数，试确定一个次数不超过 3的多项式H (X),满足H(0) f (0) 0 , H(1)f(1)1, H (1) f (1) 10, H (1) f (1) 40(i 0,1,2,3)的插值多项式为 ;2 2 ,8.利用抛物(Simps