数列解题技巧归纳总结---好(5份)

1、知识框架数列的概念函数角度理解数列的分类数列的通项公式数列的递推关系等差数列等差数列的定义an an 1 等差数列的通项公式an等差数列的求和公式&等差数列的性质an amd(n 2)a1 (n 1)dnn(n 1)尹 an) na 2d ap aq(m n p q)数列两个基本数列 a等比数列的定义 -n-q(n 2)an 1等比数列的通项公式ana1qn 1等比数列a1anqa1(1 qn)1等比数列的求和公式Sn1 q 1 q(q 1na1(q 1)等比数列的性质anam apOq (m n p q)公式法分组求和数列求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明数列的应用分期

2、付款 其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握 了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan (d, q 为常数)例1、已知an满足an+1=an+2,而且a1=1。求an。例1、解 : an+1-a n=2为常数 ，an是首项为1,公差为2的等差数列 - an=1+2 (n1 ) 即 an=2n11 .例

3、2、已知an满足 an 1 -an，而 S11 2 ,求 an =?2解 : 3 =三是常数an 2是以2为首项，公比为9的等比数列(2)递推式为an+尸an+f例3、已知an中ai(n)1一,2an 1an12，求 an.4n 1解：由已知可知an 1(2n 1)(2n 1)2(右12n1)令n=1, 2,，(n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加，即(a2-a 1) +(a3-a 2) +- + (an-a n-1)=(1 + c 2l 33 5. 上门_L_ 的 5(2n-12n -11 ana12 (11)4n4n 2 说明 只要和f (1) +f (2) +f (n-1)(n-1

4、)代入，可得n-1个等式累加而求an。(3)递推式为an+1=pan+q (p, q为常数)是可求的)就可以由an+1=an+f (n)以n=1, 2,)例 4、an中，a1 1 ,对于 n 1 (nC N)有 an 3an 1解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1+2。两式相减:因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为n-1. an+1-a n=4 , 3. an+1=3an+23an+2-a n=4 , 3a2a 1=n-1On+1-a n = 3 ( an-a n-1 ) (3X1+2) -1=4 即 an=2 3n-1-1解法二： 上法得an+1-

5、a n是公比为 3 的等比数列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=4 3, a4-a3=4-32, ,an-a n-1 =4- 3n-2,把 n-1 个等式累加得：、_ 力=4 ( 1+3 +至 f +空-a ) = 一_匕an=2 3n-1-1(4)递推式为an+1=p an+q n (p, q为常数)1例5已知%中，31M,叫 求廿J略解 在5的两边乘以2馍得浮3%) +L令%2 则于是可得 2 2nb1n 1nbn 1bn-(bnbn 1)由上题的解法，得：bn 32(一).-。 U3(一)2(-)332n23说明对于递推式自.=p + q可两边除以寸鼠，得鬻二 q史与二，引辅助数列值

6、)，0=%，得*1 =为1后用 q q q%q q(5)递推式为 an 2 pan 1 qan思路：设 an 2 pan 1 qan,可以变形为：an 2 an 1(an 1an),0L 十 B = pR 解得, B ,口 p = -q于是a n+1- “ an是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。_2 I则已知物仲，=2, j二产产尹求.。,21解 在心g+三1两边减去，得是公比为首项为叼-%二1的等比数列口一(6)递推式为S与an的关系式关系;(2)试用n表不an。【例7】 设faj前0项的和3二4 - 11r。(D求十与，的, , Sn 1 Sn(an Hn i)L2n 1J“n 2

7、12an-X)2n 1)12n上式两边同乘以 2n+1得2n+1an+1=2nan+2则2 nan是公差为2的等差数列。2nan= 2+ ( n-1 ) - 2=2n数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列(如果 an等差，bn等比，那么 anbn叫做差比数歹U)即把每一项都乘以 bn的公比q,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列an an 1一 1.,和-=一-_，(其中an等差)可裂项为： anan 1d

8、anan 1)，a an Jan 1等差数列前n项和的最值问题:1、若等差数列an的首项a10,公差d0,则前n项和Sn有最大值。(i )若已知通项 an ,则Sn最大anan 12(11)右已知Snpn qn ,则当n取最靠近-q-的非零自然数时Sn最大; 2p2、若等差数列an的首项a1 0 ,公差d0,则前n项和Sn有最小值(i)若已知通项an ,则Sn最小anan 100；(ii)若已知Sn2一，pn qn ,则当n取最靠近-q-的非零自然数时Sn最小; 2p数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn (即a1a2anf(n)求an,用作差法：anS,(n 1

9、)SnSn 1,(n2)已知条件中既有f(n)求an,用作商法：anf(1),(nf(n)f(n 1)，1) (n2) 0Sn还有an ,有时先求Sn，再求an ；若an 1 an f (n)求an用累加法：ana1(n 2)。(anan 1 )有时也可直接求(an 1 an 2)an I” (a2 a1)已知a f(n)求an,用累乘法：an ananan 1an 1an 2111az a1 (na12)。已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列)特力U地,(1)形如 an kan 1 b、an kan 1bn ( k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数

10、列后，再求an ；形如ankan 1 kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an 。(2)形如anan 1 的递推数列都可以用倒数法求通项。kan i bk(3)形如an i an的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到an 1 an 1 d或曳q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式 an 1数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公 式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关

11、联，则常可考虑 选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用 错位相减法(这也是等比数列前 n和公式的推导方法).(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:1入1 ，);n(n 1) n n 1 n(n k) kn n k1112k2 (k 1)k k 111111111()，k2k2 12 k 1 k 1 k k 1 (k 1)k1n(n 1)( n 2)(n 1)(n 2) (n 1)!

12、11n! (n 1)!2(. .n)1.n、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n 1 时，a1S1, n 2时，anSn Sn 1)3、求差(商)法111如：an 满足一a1 三a2 -an 2n 52221.解：n 1 时，一a12 1 5, a1142111 一 .一n 2时，一a1 a2 -an 1 2n 1 5222 n112 得：-nan 22anan14 (nn 1,2 (n1)2)练习1数列an满足SnSna14,求 an（注意到an 1Sn 1Sn代入得:Sn1又S1 4,Sn是等比数列，Sn 4nn 2时，an Sn Sn 1 3 4n 14、叠

13、乘法例如：数列 an中，a1 3,a一，求anan n 1解：包a1a2工1 - 21an 123 na1n又a15、等差型递推公式由an an 1 f(n)，a1a0,求an,用迭加法n 2时，a2 a1 f(2)a3a2f两边相加，得:an an 1 f(n)ana1 f(2) f(3)f(n)-ana0 f(2) f(3)f(n)练习1数列 an , a11, an 3n 1 an 1 n 2 ,求an1 c(an13n 1 )26、等比型递推公式an can 1 d c、d为常数，c 0, c 1, d 0可转化为等比数列，设 an x c an 1 xcan 1令(c i)x d,

14、xan -是首项为a1c 1c为公比的等比数列c 1dn 1a1 cc 1a1数列an满足a19, 3an 1an 4,求 ann 1/_4.、(an 81)37、倒数法例如：a11, an 1-2亘一，求 anan 2由已知得:1 an 211an 12an 2an1an为等差数列,1a11,公差为/11,n 1 n 1222.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。21 + 3+ 5+ + (2n-1)=n口 * 4 , 5 Mu + 1 乂2n +1)r + 2 + r + +n = 613+23+

15、33【例 8】 求数歹 U 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 项的和。1 ,解本题头际是求各奇数的和，在数列的刖 n项中，共有1+2+-+n=n(n 1)个奇数,2，最后一个奇数为：1+工门m+1)-1 x 2=n2+n-1 2因此所求数列的前 n项的和为(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 91 求和 S=1 (n2-1 ) + 2 (n2-22) +3 - (n2-3 2) +n (n2-n 2)解 S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具

16、有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3C： 6C2 m 3nCnn例 10、解 Sn 0?C0 3Cn 6Cn HI 3nCnn-1 S n=3n , 2(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、 求数列1, 3x, 5x2，,(2n-1)x n-1前n项的和.解 设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)x n-1.(2)x=0 时，Sn=1.(3)当xw0且xw1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)x n,-，得(

17、1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1 -(2n-1)x n.上八一人12h(1 - n-L)n由公式知 S. =-1+ - 一(2为 -1 -X1 - K=(1-a-(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例12、求和1?5 3?7 5?9III(2n 1)(2n 3)1i - 1)(2口 4可 了口 - 27十(2口 T)(2n 11111一+ + 5 3 7 51 11一十,一十91注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二

18、、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项a10,前n项的和为Sn,若S=Sk (l wk)问n为何值时S最大?解依题意，设f (G=也如+ 口 2 &-f (a)=扣：+ (流一；).此函数以n为自变量的二次皆生 a10 Si=Q (l wk) ,d -;an 22参考答案（数学5必修）第二章提高训练C组1111, 1an 1 an1.nanan 1a1选择题1.Bann 1、，n,Sn, 2 J ,3 .2 .，门.n2.AS4Sn彷1 9,、彷1,S8 S4 3,而 S4,S8 S4S210,n 99S8,6 S12

19、,S20 Sb成等差数列即 1,3,5,7,9, a17a18a19a20 S20S1693.D22a5 2a4 a3 2a20,% a3 2a4 2a2,a3(q 1) 2a2(q 1)4.C5.C6.Ba32a2 或 q227001时,2时,2001 0,q 2,1 或 1,当 q 1 时，an 6；a16,an6 (n 1a13, an3 250d 50,d 1,S50a1 a50 8,2 al 49dam am am0,am(amS2m 12m 1(& a2m 1)8,2为1)n 1641,a12)0,am 2,(1)na50)20.5(2m 1)a2m 38,2m200,19a bn

20、2an2bn2n 122n 12(a1 a2 n1)(b1 b2n1)S2n 1T2n12(2n 1)3(2n 1) 12n 13n 1填空题1 口 ,1,一 是以an1,为首项，以 1为公差的等差数列,1an(n1)()、11)n,an 一n1.100a8a9a10 a11a!2S12S7122_212 1 (77 1)1003.4:1:( 2)a c 2b,c2ba, ab(2 ba)2, a2 5ab 4b24.10S100a b, a 4b, c2b5. 156a3a71002a1。(a1a100)45,a1a10050 一 一、(a1 a99 )50八, 0.4 20.9,a1a99a1a100d0.4,10a11a4a4,a 12,313/-2(a1S13)13a76. A2设anan 1an 222qan q an,q1 0,q 0,q三、解答题1.解：Sn2n,Sn 12n 1,an Sn Sn2n1(n 2)2.2.而a1S15,(n 1)2n 1,(n 2)解：设此数列的公比为 q,(q 1),1 (q2)n则 N(q2)85, S禺1 qSt禺a2a1c 1 22nq 2，tt项数为a2 (12,项数为82n,2