初二下册数学直升班培优讲义学生版第7讲正方形

1、模块二弦图模块三垂直且相等模型模块一正方形的性质和判定1?定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形2 ?性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质性质1:正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等.性质2:正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角性质3:正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线.另外，由正方形的性质可以得出：(1)正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形.(2)正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半3 .判定：判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法：(1)先证明是矩形，再证

2、明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直(2)先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等2.外弦图模块二弦图及相关模型1 .(帆弦甫于两个弦图的做法：A玄图：在正方形 ABCD的各边上分别取 E、F、G、H四个点，使得 AE DH CG BF，连接EH、HG、 GF、FE可以得到内弦图.占卜弦图：在正方形 ABCD内，分别取点E、F、G、H四个点，连接 AH、BE、CF、DG，使得DAH CDG BCFABE,就可以得到外弦图.(2)关于弦图的作用：由弦图的做法，我们知道会产生四个全等的直角三角形，所以我们在平时的测试中会遇到这两个弦图或者其中白DHB分，我们会常利用这两个弦图

3、去构造全等去解决一些难题。具体应用：证明勾股定理；解决复杂的面积问题；构造全等三角形，求边的关系 .(3) 弦图常见辅助线添加方法：( ABC是等腰直角三角形)笔记区笔记区2.模型II （母子型） 变型（M为BE的中点,0、O分别为正方形的中心）模块三垂直相等模型r模型3 .模型III （ H为DF的中点）.）【教师备课提示】 讲模型3时，铺垫：倍长证垂直相等当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边在同一个三角形中， 通常要倍长一条边，证垂直相等，如图要证明,AB=CD ,且AB CD时，只需要延长 CB至U点D使BD BC ,连接AD,只需证明AC = AD ,且/AC AD ;最后总结证

4、明垂直且相等的方法：/1 .构造全等i i*:b当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边没有在同一个三角形中，通常要构造两个边所在的三角形全等.2 .倍长证垂直相等当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边在同一个三角形中，通常要倍长一条边，证垂直相等，如图要证明AB = CD ,且AB CD时，只需要延长 CB至U点D使BD BC ,连接AD ,只需证明 AC = AD ,且AC AD笔记区正方形的性质和判定(1)如图 1-1,等边 ABCP在正方形 ABCD内，贝U APD(2)如图 1-2，已知正方形 ABCD的面积是64, BCE为等边三角形，F是CE的中点，连接 AE、BF 交于点

5、G, CG,连接BD交AE于点H,贝U AHB , CG .(3)如图1-3，在正方形ABCD中，点P,Q为正方形内的两点，且PD PB , QB 则 BQPAB ,CBPQBP ,(4)如图1-4,点P是正方形 ABCD的对角线BD上一点，PE BC于点E,PF CD于点F,连接EF给出下列五个结论： AP EF :AP EF ?EA APD 一定是等腰三角形 PFE BAP;PD旷EC ?其中正确结论的番号是 A)ADBC图1-3例题2(1)如图，在正方形 ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE .过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE AP , PB一.下列结论： APD也AAEB ；

6、点B到直线AE 的距离为.； EB ED ;Sa apd Sa apbS正方形ABCD.其中正确结论的序号 是()A.B.C.D .B,直角顶(2)如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点点PI、如图，当点Q在DC边上时，写出PB与PQ数量关系(直接写出结论)；Q落在H、如图，当点DC延长线上时，写出在射线AC上移动，另一边交 DC于Q.已知：如图，在矩形 ABCD中，BE平分 ABC , CE平分 DCB , BF/CE , CF/BE .求证：四边形 BECF是 正方形.I1J模块二弦图(1)如图4-1,四边形 ABCD是正方形，直线I、m、n分别通过A、

7、B、C三点，且l/m/n ,若I与m的距离 为5, m和n的距离为7,则正方形 ABCD的面积为.(2)(树德半期改编)如图4-2,在 ABC中，ACB , AC BC ,在 DCE中，DCE DC EC , ACD , MN BE ,贝U CM 的长度为 .是AD的中点，目AE, 0/如图，正方形 ABCD的边长为6, AE那么ZiEFG的而积为.例题6已知正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过点 E作EF BD交BC于F,连接DF , G为DF中点，连接EG , CG.CG ;(1)求证：EG CG ,且 EG(2)将图6-1中三角形求BEF绕B点逆时针旋转,如图6-2所示，取DF中

8、点G,连接EG, CG,证：EG CG 且 EGCG ;(3)将图6-2中三角形的BEF绕B点旋转任意角度，如图 结论是否仍然成立？图掰26-3所示，再连接相应的线段，问(2)中笔记区、课后作业1.如图1-1,在正方形 ABCD中，AC为对角线，点 E在AB边上，EF AC于点F,连接EC, AF , EFC的周长为12,则EC的长为.2 .如图于（A.练iU AFD 等1-2,以正方形 ABCD的一边向正方形外作等边三角形ABE , BD与EC交于F,BM交正，贝 U GEBD相交如图1-3,已知E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点， AE、AF分别与对角线M、N,若 EAF ,贝 U CME CNF AE ,求BM的长.5 .如图1-5 , AD为正方形ABCD对角线，G为对角线上任意一点，若GF，GE ,且GF4E图1-3；ED图1-5(2)求直线I与I之间的距离h.7.如图，以 ABC的边AC、AB为一边，分别向三角形的外侧作正方形 EG .求证：S ABC S AEG .笔一记一区一6.如图，正方形ABCD的边长为5,直线