武汉理工理论力学第二章平面力系

1、2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法2-3 2-3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算2-4 2-4 平面力偶系平面力偶系第二章第二章 平面力系平面力系2-5 2-5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡u 按照力系中各力的作用线是否在同一平面来分，按照力系中各力的作用线是否在同一平面来分，力系可分为：力系可分为：平面力系平面力系（Coplanar Forces）空间力系空间力系( (Forces in Space) )汇交力系汇交力系( (Concur

2、rent Forces) )平行力系平行力系( (Parallel Forces) )任意力系任意力系( (General Force System) )u 按照力系中各力的作用线是否相交、平行来分，按照力系中各力的作用线是否相交、平行来分，力系可分为：力系可分为： 平面汇交力系：平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。内且汇交于一点的力系。力系的划分力系的划分 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法 F1F1F1F2F3F4FRF2F3F4FRF2F3F4

3、FRFR1FR2力多边形力多边形可任意变换各分力矢的次序可任意变换各分力矢的次序已知：平面汇交力系已知：平面汇交力系1234FFFF ， ，求：合力求：合力RF112RFFF 213RRFFF 123FFF 24RRFFF 1234FFFF 作力多边形时作力多边形时,不必画不必画出出12RRFF 、结论结论:平面汇交力系可简化为一合力平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向其合力的大小与方向等于各分力的矢量和等于各分力的矢量和(几何和几何和),合力的作用线通过汇交点。合力的作用线通过汇交点。 特殊情况：特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，若如力系中各力的作用线都沿同一直线，若沿直

4、线的某一指向为正，相反为负，该力系合力的大小与沿直线的某一指向为正，相反为负，该力系合力的大小与方向决定于各分力的方向决定于各分力的代数和代数和，即，即niiRFF1 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法推广推广:设平面汇交力系包含设平面汇交力系包含n个力个力,以以 表示合力矢，则有表示合力矢，则有 RF12RnFFFF 1niiF 二、平面汇交力系平衡的几何法二、平面汇交力系平衡的几何法平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即该力系的合力等于零。即 10niiF 在平衡时，力多边形最后一力的终点与第

5、一力的起点在平衡时，力多边形最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形封闭的力多边形。 于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系该力系的力多边形自形封闭，这是平衡的几何条件。的力多边形自形封闭，这是平衡的几何条件。 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 例：门式刚架，在例：门式刚架，在B点受一水平力点受一水平力F=20kN，不计刚架，不计刚架自重。求支座自重。求支座 A、D 的约束力。的约束力。解法一：解法一： 1.取刚架为研究对象取刚架为研究对象 2.画受

6、力图画受力图 3.按比例作力三角形按比例作力三角形 4.量得量得 5 .26kN5 .22kN10ADFF 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法abFFD 例：门式刚架，在例：门式刚架，在B点受一水平力点受一水平力F=20kN，不计刚架，不计刚架自重。求支座自重。求支座 A、D 的约束力。的约束力。解法二：解法二： 1.取刚架为研究对象取刚架为研究对象 2.画受力图画受力图 3.作力三角形作力三角形 4.由几何关系得由几何关系得 CAFDCFADFADm54m4m8CADCADkN4 .22ADFCAFAkN10ADFDCFD4326arctanADDC

7、 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式 coscosFFFFyx力在轴上的投影力在轴上的投影:Fx和Fy为为代数量代数量 xxyyFF iFF j xyFF iF j称为称为力的解析表达式力的解析表达式 22yxFFFcos( , )cos( , )yxFFF iF jFF 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法力力 沿轴分解沿轴分解: 和和 为为矢量矢量 FxF yF 如已知投影如已知投影Fx和和Fy，则力，则力 的大小和方向余弦为

8、的大小和方向余弦为F为为 与坐标轴正向的夹角与坐标轴正向的夹角、F二、二、平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法根据合矢量投影定理根据合矢量投影定理 RxFRyF22RyRxRFFFcos(, )RxRRFF iF cos(, )RyRRFFjF FR由上节知：由上节知：nxxxFFF21niixF1nyyyFFF21niiyF122)()(iyixFFRixFFRiyFF 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法已知：已知：123nFFFF ， ，求：合力求：合力RF12RnFFFF 1niiF 例：例：F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，

9、F4=2.5kN，用解析法求合力。，用解析法求合力。 取坐标系取坐标系Axy。 45cos4F41iixRxFFkN29. 141iiyRyFF45sin4FkN12. 122RyRxRFFF2212. 129. 1kN71. 122)()(iyixFFRxRyFFarctan29. 112. 1arctan 41象限）第(合力方向合力方向:合力大小合力大小: :FR 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解：30cos1F60cos2F45cos3F30sin1F60sin2F45sin3F三、平面汇交力系平衡的解析法三、平面汇交力系平衡的解析法该力

10、系平衡的必要和充分条件是该力系平衡的必要和充分条件是:该力系的合力该力系的合力FR 等于零。等于零。0)()(22iyixRFFF欲使上式成立，必须同时满足欲使上式成立，必须同时满足 00iyixFF平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 称为平面汇交力系的平衡方程。称为平面汇交力系的平衡方程。 0ixF 0iyF 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 例：如图所示，重物例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮，用钢丝绳挂

11、在支架的滑轮上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆上。杆AB与与BC铰接，并铰接，并以铰链以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和和BC所受的力。所受的力。 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法1.取滑轮取滑轮B为研究对象为研究对象 2.画研究对象的受力图画研究对象的受力图3.列平衡方程列平衡方程 0 xF 0yF4.解方程解方程kN321. 7366. 0PFBAkN32.27366. 1PFBC FBC为正值

12、，表示这力的假设方向与实际方向相同，为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，即杆即杆BC受压。受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆方向相反，即杆AB也受压力。也受压力。BAF30sin1F60sin2F0BCF30cos1F60cos2F0kN2021PFF 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解： 例：如图所示的压榨机中，杆例：如图所示的压榨机中，杆AB和和BC的长度相等，自重不计。的长度相等，自重不计。A、B、C处为铰链连接。已知活塞处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸内的总压力为上受到油缸

13、内的总压力为F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压块。试求压块C对工件与地面的压力，对工件与地面的压力，以及以及AB杆所受的力。杆所受的力。 2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解： 0 xF 0yFsin2FFFBCBA解得解得再取压块再取压块C为研究对象为研究对象 0 xF 0yF解得解得cot2sin2cosFFFCxsinCBCyFF先取活塞杆先取活塞杆DB为研究对象为研究对象 cosBAFcosBCF0sinBAFsinBCFF0kN35.11CxFcosCBF0sinCBFCyF0kN25.112hFlkN5 . 12F 2

14、-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 2-3 2-3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算一、力对点之矩（力矩）一、力对点之矩（力矩） ( (Moment of Force about a Point) ) 点点O：矩心矩心 距离距离h:力臂力臂 力对点之矩是一个代数量，力对点之矩是一个代数量， ( )2OOABMFFhA 显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心的力矩等于零。对矩心的力矩等于零。 力矩的单位常用力矩的单位常用 Nm 或或 kNm 。 它的绝对值等于力的大小与力它的绝

15、对值等于力的大小与力臂的乘积，臂的乘积， 其正负按下法确定：其正负按下法确定： 力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力力 对于点对于点O的矩以的矩以 表示，即表示，即F( )OMF二、合力矩定理二、合力矩定理( (Theorem of Moment of Resultant Force) ) 与力矩的解析表达式与力矩的解析表达式 合力矩定理：合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。 1()()nOROiiMFMF 上式适用于任

16、何有合力存在的力系。上式适用于任何有合力存在的力系。 2-3 2-3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算力矩的解析表达式力矩的解析表达式 ( )()()OOyOxMFMFMF cossinyFxF或或( )OyxMFxFyF上式为平面内力矩的解析表达式。上式为平面内力矩的解析表达式。 1()()nORiyiixiiMFx Fy F 2-3 2-3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算已知力已知力 ，作用点，作用点A（x,y）及夹角）及夹角。 F力力 对坐标原点对坐标原点O之矩之矩 F合力合力 对坐标原点之矩的解析表达式对坐标原点之矩的解析表达式 RF 例：作用

17、于齿轮的啮合力例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆，节圆直径直径D=160mm，压力角，压力角=20。求啮合力。求啮合力Fn对对于轮心于轮心O之矩。之矩。 （1）应用力矩计算公式）应用力矩计算公式()OnnMFF h mN20cos216. 01000mN2 .75cos2DFn（2）应用合力矩定理）应用合力矩定理 cosntFF sinnrFF ()()()OnOtOrMFMFMF 02)cos(DFnmN2 .75h 2-3 2-3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算 2-4 2-4 平面力偶平面力偶一、力偶一、力偶(Couple)与力偶矩与力偶矩(Moment

18、of a Couple) 1、力偶：、力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力两个大小相等、方向相反且不共线的平行力 组成组成 的力系。的力系。d 称为称为力偶臂力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面。力偶所在的平面称为力偶的作用面。 记作记作 , (FF ， ） 2-4 2-4 平面力偶平面力偶两个要素两个要素a.大小：力与力偶臂乘积大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向方向：转动方向力偶矩力偶矩2、力偶矩、力偶矩力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为的乘积，正负号表示力偶的转向：一

19、般以逆时针转向为正，反之为负。正，反之为负。 (M F F ， ）力偶矩的单位：力偶矩的单位：Nm。 （1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素 2-4 2-4 平面力偶平面力偶力偶在任意坐标轴上的力偶在任意坐标轴上的投影为零投影为零 （2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。 ( ,)( )()OOOMF FMFMF FdxFdxF)(FdM( ,)OMF FM (OMFF ， ） 2-4 2-4 平面力偶平面

20、力偶二、同平面内力偶的等效定理二、同平面内力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。则两力偶彼此等效。 证明：证明： 分别将分别将F0，F0移到点移到点A，B。然后分解。然后分解。(,)2OOM FFACB 22(,)2M F FADB 显然，显然，F1，F1，F2，F2与与（F0,F0）等效。等效。 F1,F1 是一对平衡力是一对平衡力可以除去，可以除去， F2,F2组成一新力偶，组成一新力偶， 且且与与（F0,F0）等效。等效。 2-4 2-4 平面力偶平面力偶已知：已知：(OOM FFM FF ， ）=， ）

21、证明证明: 与与 等效等效(OOFF ， ）(FF ， ）ACB和和ADB同底等高，面积相同底等高，面积相等，于是得等，于是得 22(,)(,)OOM FFM F F 由假设知由假设知 (,)( ,)OOM FFM F F 因此有因此有22(,)( ,)M F FM F F 于是得于是得 22,FFFF 2-4 2-4 平面力偶平面力偶由图可见由图可见: 和和 有相等有相等的力偶臂的力偶臂d 和相同的转向和相同的转向 。(F F ， ）22(FF ， ）可见力偶可见力偶 与与 完全相等。完全相等。 (FF ， ）22(FF ， ）又因为力偶又因为力偶 与与 等效，等效， 22(FF ， ）(O

22、OFF ， ）所以力偶所以力偶 与与 等效。等效。 (FF ， ）(OOFF ， ）由此可得推论由此可得推论 （1）任一力偶可以在它的作用面内任意移动，而不改）任一力偶可以在它的作用面内任意移动，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。作用面内的位置无关。 （2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。对刚体的作用。 2-4 2-4 平面力偶平面力偶三

23、、平面力偶系的合成和平衡条件三、平面力偶系的合成和平衡条件 1.平面力偶系的合成平面力偶系的合成 F1F1F3F3d1F2F2dd2dF4F4FA A BB111dFM 222dFMdFM31dFM4243FFF43FFF=FFdM dFF)(43dFdF4321MM 2-4 2-4 平面力偶平面力偶由于由于 与与 是相等的，构成了与原力偶系等效的合力是相等的，构成了与原力偶系等效的合力偶偶 , 以以M表示合力偶的矩，得表示合力偶的矩，得F F (FF ， ）niiMM12.平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡01niiM01niiM平面力偶系的平衡方程。平面力偶系的平衡方程。如果有两个以上的平面

24、力偶，都可按照上述方法合成。如果有两个以上的平面力偶，都可按照上述方法合成。即在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶即在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。矩等于各个力偶矩的代数和。由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。因此，零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。力偶矩的代数和等于零。 2-4 2-4 平面力偶平面力偶 例：如图所示的工件上作用有四个力偶。各力偶矩的例：如图所示的工件上作用有四个力偶。各力偶矩的大小为大

25、小为 M1=M2=M3=M4=15Nm。固定螺柱固定螺柱A和和B的距离的距离l=200mm。求两个光滑螺柱所受的铅垂力。求两个光滑螺柱所受的铅垂力。 选工件为研究对象。选工件为研究对象。 由力偶系的平衡条件知由力偶系的平衡条件知 0M得得 BAFF FAFBlFA4321MMMM0lMMMM43212 . 0154N300 2-4 2-4 平面力偶平面力偶解：解：例：机构自重不计。圆轮上的销子例：机构自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆放在摇杆BC上的光滑上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为其力偶矩为 M1=2kNm，OA=r=0.5m。图示位置时。图示位置时OA

26、与与OB垂直，垂直，=30，且系统平衡。求作用于摇且系统平衡。求作用于摇杆杆BC上力偶的矩上力偶的矩M2及铰及铰链链O，B处的约束力。处的约束力。 2-4 2-4 平面力偶平面力偶先取圆轮为研究对象先取圆轮为研究对象 0M0sin1rFMAsin1rMFA解得解得 再取摇杆再取摇杆BC为研究对象为研究对象 0M0sin2rFMA其中其中FA=FA。得。得 mkN8412 MMkN85 . 0m5 . 0mkN2sin1rMFFFABOkN85 . 0m5 . 0mkN2 2-4 2-4 平面力偶平面力偶解：解：补充补充：1.在图示机构中，各构件的自重略去不计。在构件在图示机构中，各构件的自重略

27、去不计。在构件AB上上作用一力偶矩为作用一力偶矩为M的力偶，求支座的力偶，求支座A和和B的约束力。的约束力。2.在图示结构中，各构件的自重略去不计。在构件在图示结构中，各构件的自重略去不计。在构件BC上上作用一力偶矩为作用一力偶矩为M的力偶，求支座的力偶，求支座A的约束力。的约束力。 2-5 2-5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡1 1、 平面任意力系向作用面内平面任意力系向作用面内 一点简化一点简化2 2、 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 和平衡方程和平衡方程 4 4、 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静静定

28、和超静 定问题定问题361 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化一、力的平移定理一、力的平移定理 定理：定理：可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移到任一平行移到任一点点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力于原来的力F对新作用点对新作用点B的矩。的矩。 )(FBMFdM=FFF力偶力偶称为附加力偶称为附加力偶附加力偶的矩为：附加力偶的矩为：),(FFBdFFM二、平面任意力系向作用面内一点简化二、平面任意力系向作用面内一点简化 刚体上作用有刚体上作用有n个力个力F1，F2，Fn组成

29、的平面任意力系。组成的平面任意力系。 F1FnF2OF1F2FnFRM1M2MnMO=点点O- 称为称为简化中心简化中心 )(iOiMMFii FF（i =1，2，n） 平面任意力系平面任意力系 平面汇交力系平面汇交力系 平面力偶系平面力偶系 一个力一个力FR(力系的力系的主矢主矢） 一个力偶一个力偶M O(力系的力系的主矩主矩）1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化21nRFFFF1.力系的力系的主矢主矢FR：即即主矢主矢FR等于原来各力的矢量和。主矢与简化中心无关。等于原来各力的矢量和。主矢与简化中心无关。2.力系力系对于简化中心对于简化中心O的的主矩主矩

30、MO:nOMMMM21即即主矩主矩MO等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对点点O的矩的代数和。主矩一般与简化中心有关。的矩的代数和。主矩一般与简化中心有关。 nii1FniiOM1)(F1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化取坐标系取坐标系 Oxy，i，j 为沿为沿 x，y 轴的单位矢量，则轴的单位矢量，则12RxxxnxFFFF 12RyyynyFFFF 于是主矢于是主矢FR的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为22()()RixiyFFF cos(, )ixRRFFFi力系对点力系对点O的主矩的解析表达式为的主矩

31、的解析表达式为niiOOFMM1)(ixFiyFcos(, )iyRRFFFjniixiixiFyFx1)(1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化固定端（插入端支座）固定端（插入端支座）1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化三、平面任意力系的简化结果分析三、平面任意力系的简化结果分析 平面任意力系向作用面内一点简化的结果，可能有四平面任意力系向作用面内一点简化的结果，可能有四种情况。种情况。（1）FR=0，MO0；（2）FR0，MO=0；（3）FR0，MO0；（4）FR=0，MO=0。1.平面任意力系简化为一个合力偶的情况平面任意

32、力系简化为一个合力偶的情况FR=0，MO0；则原力系合成为合力偶。合力偶矩为则原力系合成为合力偶。合力偶矩为niiOOFMM1)(当力系合成为一个合力偶时，主矩与简化中心的选择无关。当力系合成为一个合力偶时，主矩与简化中心的选择无关。1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化合力矢等于主矢。合力矢等于主矢。 2.平面任意力系简化为一个合力的情况平面任意力系简化为一个合力的情况 （a）主矩等于零，主矢不等于零，即）主矩等于零，主矢不等于零，即 FR0，MO=0； FR就是原力系的合力，而合力的作用线恰好过选的简就是原力系的合力，而合力的作用线恰好过选的简化中心化中心O

33、。 （b）主矢和主矩都不等于零，即）主矢和主矩都不等于零，即FR0，MO0；FRdFR=力力FR就是原力系的合力。就是原力系的合力。 RRR FFFdFMRO1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化合力作用线到点合力作用线到点O的距离的距离d为：为： ROFMd （c）合力矩定理）合力矩定理 证明证明：合力：合力FR 对点对点O的矩为的矩为ORROMdFM)(F而而 )(iOOMMF所以得证所以得证 )()(iOROMMFF平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。各力对同一点的矩的代

34、数和。.平面任意力系平衡的情况平面任意力系平衡的情况 FR=0，MO=0。原力系平衡原力系平衡 。下节详细讨论。下节详细讨论。1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化例例求：求：解：解：由合力矩定理由合力矩定理得得已知：已知：q， l合力及合力作用线位置。合力及合力作用线位置。取微元如图取微元如图均匀分布力作用如何？均匀分布力作用如何？1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化9446. 0),cos(3283. 0),cos(RRyRRRxRFFFFjFiF 例：已知：例：已知：P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F

35、2=70kN。求。求力系向点力系向点O简化的结果，合力与简化的结果，合力与OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x。 解：解：7 .16arctanCBABACB主矢在主矢在x，y轴上的投影为轴上的投影为 kN9 .232cos21FFFFixRxkN1 .670sin221FPPFFiyRy（1）先将力系向点）先将力系向点O简化简化主矢的大小和方向余弦为主矢的大小和方向余弦为 kN4 .709)()(22RyRxRFFF1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化力系对点力系对点O的主矩为的主矩为2119 . 35 . 13)(PPFMMOOF（2）合力）合力FR的

36、大小和方向与主矢的大小和方向与主矢FR相同。相同。其作用线位置的其作用线位置的x值为值为m514. 384.70sin104 .70910235584.70sin33ROFMx84.70),(iFRmkN235584.160),(jFR1 1、 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 如果平面任意力系的主矢和主矩都等于零，即如果平面任意力系的主矢和主矩都等于零，即 FR=0，MO=0 显然显然 FR=0MO=0 汇交力系为平衡力系；汇交力系为平衡力系； 力偶系也是平衡力系。力偶系也是平衡力系。 因此

37、，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的充分条件充分条件。原力系必为平衡力系。原力系必为平衡力系。若主矢和主矩有一个不等于零，则该力系简化为合力若主矢和主矩有一个不等于零，则该力系简化为合力或合力偶，原力系不平衡。或合力偶，原力系不平衡。因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的必要条件必要条件。 平面任意力系平衡的必要和充分条件是：平面任意力系平衡的必要和充分条件是： 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。平衡条件用解析式表示为：平衡条件用解析式表示为： ( )0OMF 上式称为平面任意力系的

38、上式称为平面任意力系的平衡方程平衡方程。 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。 平面任意力系平衡的必要和充分条件是：平面任意力系平衡的必要和充分条件是： 0iyF 0ixF2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 二力矩形式的平衡方程二力矩形式的平衡方程 三力矩形式的平衡方程三力矩形式的平衡方程 平衡方程的其它形式：平衡方程的其它形式： 0 xF 0)(FAM 0)(FBM 0)(FAM 0)(FBM 0)

39、(FCM其中其中x轴不得垂直于轴不得垂直于A，B两两点的连线。点的连线。其中其中A，B，C三点不得共线。三点不得共线。 2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面平行力系平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。是平面任意力系的一种特殊情形。 设物体受平面平行力系设物体受平面平行力系F1，F2，Fn的作用。的作用。 0yF 0)(FAM 0)(FBM 0)(FOM如选取如选取x轴与各力垂直，则轴与各力垂直，则 0 xF于是，平面平行力系的独立平于是，平面平行力系的独立平衡方程只有两个，即衡方程只有两个，即平面平行力系的平衡方程，也可用两个力矩方程的形式，平

40、面平行力系的平衡方程，也可用两个力矩方程的形式，即即注意：注意：点点A、B的连线不能与力平行。的连线不能与力平行。2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例：已知小车重例：已知小车重P=10kN，绳与斜面平行，绳与斜面平行，=30， a=0.75m，b=0.3m，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。 取小车为研究对象。取小车为研究对象。 0 xF 0yF 0)(FOM解得解得 30sin10sinPFTabaPFB2sincosBAFPFcos0sinPFT0cosPFFBA0sincos2PbP

41、aaFBkN5kN33. 575. 0230sin3 . 030cos75. 01033. 530cos10kN33. 32 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解：解： 例：起重机重例：起重机重P1=10kN，可绕铅直轴，可绕铅直轴AB转动；起重机的转动；起重机的挂钩上挂一重为挂钩上挂一重为P2=40kN的重物。起重机的重心的重物。起重机的重心C到转轴到转轴的距离为的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。求在止推轴承，其他尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴和轴承承B处的约束力。处的约束力。 2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方

42、程 解：解：取起重机为研究对象。取起重机为研究对象。 0 xF 0yF05 . 35 . 1521PPFB解得解得 kN5021PPFAykN317 . 03 . 021PPFBkN31BAxFF 0)(FAM021PPFAy0BAxFF2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 kN122028 . 01628 . 020 例：例：在水平双伸梁上作用有集中力在水平双伸梁上作用有集中力F、矩为、矩为M的力偶和集度为的力偶和集度为q的均布载荷。如已知的均布载荷。如已知F=20kN，M=16kNm，q=20kN/m，a=0.8m。求支座求支座A、B的约束力。的约束力

43、。 解：解：取梁为研究对象。取梁为研究对象。 0 xF 0)(FAM 0yF解得解得 0AxFFaMqaFB22kN24BAyFqaFF022aFMqaaaFB0FqaFFBAy0AxF2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例：自重为例：自重为P=100kN的的T字形刚架字形刚架ABD，置于铅垂面内，置于铅垂面内，载荷如图所示。其中载荷如图所示。其中M=20kNm，F=400kN，q 20kN/m，l =1m。试求固定端。试求固定端A的约束力。的约束力。 2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解：解：取刚架为研究对象。

44、取刚架为研究对象。 0yF 0)(FAM其中其中kN303211lqF解得解得 kN4 .31660sin1FFFAxkN30060cosFPFAymkN118860sin360cos1lFFllFMMA060sin360cos1lFFllFMMA 0 xF060sin1FFFAx060cosFPFAy2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 例：塔式起重机如图所示。例：塔式起重机如图所示。机架重机架重P1=700kN作用线通过塔架作用线通过塔架的中心。最大起重量的中心。最大起重量P2=200kN，最大悬臂长为最大悬臂长为12m，轨道，轨道AB的间的间距为距为

45、4m。平衡荷重。平衡荷重P3,到机身中到机身中心线距离为心线距离为6m。保证起重机在。保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重衡荷重P3应为多少？应为多少？ 2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解：解：取起重机为研究对象。取起重机为研究对象。 （1）满载时：）满载时： 0)(FMB010428213PFPPA)1028(41213PPPFA为使起重机不绕点为使起重机不绕点B翻倒翻倒,须须FA0 即即kN75)210(81123PPP（2）空载时：）空载时： 0)(FAM024413PFPB)42(4131PPFB为使起重

46、机不绕点为使起重机不绕点A翻倒，须翻倒，须FB0，即，即kN3502113PPkN350kN753 P所以起重机平衡荷重所以起重机平衡荷重P3应为：应为：P1P3P2FAFB6m12m2 2、 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题物体系：物体系：由几个物体组成的系统。由几个物体组成的系统。 当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态，因此对于每一个受平面任意力系作用的物体，均衡状态，因此对于每一个受平面任意力系作用的物体，均可写出三个平衡方程

47、。如物体系由可写出三个平衡方程。如物体系由n个物体组成，则共有个物体组成，则共有3n个独立方程。如系统中有物体受平面汇交力系或平面平个独立方程。如系统中有物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，则系统的平衡方程数目相应减少。行力系作用时，则系统的平衡方程数目相应减少。静定和超静定（静不定）的概念静定和超静定（静不定）的概念超静定问题超静定问题:独立方程数目独立方程数目未知数数目未知数数目,由平衡方程无法由平衡方程无法求解。求解。静定问题静定问题:独立方程数目独立方程数目未知数数目未知数数目,由平衡方程可解。由平衡方程可解。3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题静定

48、静定静定静定静定静定超静定超静定超静定超静定超静定超静定3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题静定静定静定静定超静定超静定超静定超静定例：图示静定多跨梁由例：图示静定多跨梁由AB梁和梁和BC梁用中间铰梁用中间铰B连接而成，支承和载连接而成，支承和载荷情况如图所示。已知荷情况如图所示。已知F=20kN，q=5kN/m，=45。求支座。求支座A、C的的约束力和中间铰约束力和中间铰B处的约束力。处的约束力。解：解： 0)(FBM 0 xF 0yFcos2FFCkN1045tan2202cosFFFFCBy0sinCBxFF0cosCByFFF0cos21CFFkN14.

49、1445cos220tan2sinFFFCBxkN103 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题先取先取BC梁为研究对象。梁为研究对象。再取再取AB梁为研究对象。梁为研究对象。 0)(FAM 0 xF 0yF22ByAFqMBxAxFF2ByAyFqF0212ByAFqM0BxAxFF02ByAyFqFmkN3010252kN10kN2010523 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题例：图示为曲轴冲床简图，例：图示为曲轴冲床简图，OA=R，AB=l。忽略摩擦和自重，当。忽略摩擦和自重，当OA在水平位置、冲压力为在水平位置、冲压力为F时系统

50、处于平衡状态。求：（时系统处于平衡状态。求：（1）作用在轮）作用在轮上的力偶之矩上的力偶之矩M的大小；（的大小；（2）轴承）轴承O处的约束力；（处的约束力；（3）连杆）连杆AB受的力；（受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。）冲头给导轨的侧压力。 3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题解：先取冲头为研究对象。解：先取冲头为研究对象。 0 xF 0yFcosFFB解得解得 再取轮再取轮为研究对象。为研究对象。 0)(FOM 0 xF0yFFRM 22tanRlRFFFN22sinRlRFFFAOxFFFAOycos0sinBNFF0cosBFF0cosMRFA0sinA

51、OxFF0cosAOyFF3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题例：一支架如图所示，例：一支架如图所示，AB=AC=CD=1m，滑轮半径，滑轮半径r=0.3m，重物重物P=100kN，A、B 处为固定铰链支座，处为固定铰链支座，C 处为铰链连接。不计处为铰链连接。不计绳、杆、滑轮重量和摩擦，求绳、杆、滑轮重量和摩擦，求A、B支座的反力。支座的反力。 解：先取整体为研究对象。解：先取整体为研究对象。FAxFBxFByFAyP 0)(FAM0 xF 0yF03 . 21PFBxkN2303 . 2PFBx0BxAxFFkN230BxAxFF0PFFByAy3 3、 物

52、体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题再取杆再取杆BCE为研究对象。为研究对象。 0)(FCM03 . 011TByBxFFF其中其中 kN100 PFT解得解得kN2003 . 0PFFBxBykN100ByAyFPF3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题例：已知例：已知F=1kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=EC=1.2m，AD=2m。若若AB水平、水平、ED铅垂，求铅垂，求BD杆的内力和支座杆的内力和支座A的反力的反力。 1.6m0.9m2m1.2m1.2mFDFAxFAyx先取整体为研究对象。先取整体为研究对象。 0)(FDM0

53、4 . 22FFAykN2 . 12 . 1FFAy 0 xF0cosFFAxkN8 . 054FFAx在取在取AB杆为研究对象。杆为研究对象。 0)(FCM0cos9 . 0cos6 . 1sin6 . 1BDAyAxFFFkN067. 1)tan(9 . 06 . 1AyAxBDFFF3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题解：解：54cos例：已知例：已知P1=50kN，P2=10kN。求。求支座支座A，B和和D三处的约束力。三处的约束力。 FDFAFB先取起重机为研究对象。先取起重机为研究对象。 0)(FFM051221PPFGkN50GF再取再取CD梁为研

54、究对象。梁为研究对象。 0)(FCM最后取整体为研究对象。最后取整体为研究对象。 0)(FAM 0yF021PPFFFDBAkN33.48AF010612321PPFFDBkN100BF016GDFFkN33. 8DF3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题解：解： 例：例：图示构架，由直杆图示构架，由直杆BC，CD及直角弯杆及直角弯杆AB组成，各组成，各杆自重不计，载荷分步及尺寸如图。销钉杆自重不计，载荷分步及尺寸如图。销钉B穿透穿透AB及及BC两构件，在销钉两构件，在销钉B上作用一铅垂力上作用一铅垂力F。已知。已知q，a，M，且，且M=qa2。求固定端。求固定端

55、A的约束力及销钉的约束力及销钉B对杆对杆BC，杆，杆AB的作的作用力。用力。ABCDqFq3aaaaM3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题（1）选选CD杆为研究对象。杆为研究对象。CDqFCxFCyFDyFDx0MD)(F02aqaFaCx解得解得2qaFCx（2）选选BC杆为研究对象。杆为研究对象。MBCFCx FCy FBCy0 xF0CxBCxFF0)(FMC0MFaBCy解得解得2qaFFCxBCxqaaMFBCyFBCx3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题解解:（3）选销钉选销钉B为研究对象。为研究对象。BFFBCx F

56、BCy FBAx FBAy 0Fx0Fy0FFBAxBAx0FFFBCyBAy解得解得2qaFFBCxBAxFqaFFFBCyBAy即销钉即销钉B对杆对杆AB的作用力为：的作用力为：2qaFFBAxBAxFqaFFBAyBAy3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问题静定和超静定问题（4）选直角弯杆选直角弯杆AB为研究对象。为研究对象。ABqFAyFAyFBAxFBAyMA 0 xF0yF0)(FMA0321BAxAxFaqF0BAyAyFF03321BAxBAyAFaFaaaqM解得解得aqFAxqaFFFBAyAyaFaqMA)(3 3、 物体系的平衡物体系的平衡 静定和超静定问

57、题静定和超静定问题4 4、 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算一、桁架一、桁架(Truss) 桁架：由许多杆在两端相互连接而成的结构。受力后几何形桁架：由许多杆在两端相互连接而成的结构。受力后几何形状不变状不变 这种连接可以是：铰链、铆这种连接可以是：铰链、铆接、焊接、螺栓连接。连接接、焊接、螺栓连接。连接处称为处称为节点节点。 4 4、 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算二、为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个假设：二、为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个假设： （1 1）桁架的杆件都是直的；）桁架的杆件都是直的；（2 2）杆件用光滑的铰链连接；）杆件用光滑的

58、铰链连接；（3 3）桁架所受的力都作用在节点上，而且在桁架的平面内；）桁架所受的力都作用在节点上，而且在桁架的平面内； （4 4）桁架杆件的重量不计，或平均分配在杆件两端的节点上。）桁架杆件的重量不计，或平均分配在杆件两端的节点上。 这样的桁架，称为这样的桁架，称为理想桁架理想桁架。 力学中的桁架模型力学中的桁架模型这种桁架称为这种桁架称为平面简单桁架。平面简单桁架。三角形框架为基础三角形框架为基础4 4、 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算简化计算模型简化计算模型4 4、 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算三、平面简单桁架的静定性三、平面简单桁架的静定性 设平面简单桁架的

59、杆件数设平面简单桁架的杆件数为为m，节点数为，节点数为n。有。有3mnm23 一平面简单桁架，杆件数为一平面简单桁架，杆件数为 m，节点数为，节点数为 n 。由于由于nm23 所以平面简单桁架是静定的。所以平面简单桁架是静定的。则该平面简单桁架则该平面简单桁架未知量数未知量数为为 m+3，独立平衡方程数独立平衡方程数为为 2n。)3(2n4 4、 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算四、计算桁架杆件内力的方法四、计算桁架杆件内力的方法 （1 1）节点法）节点法 桁架的每个节点都受一个平面汇交力系的作用。为了求每个桁架的每个节点都受一个平面汇交力系的作用。为了求每个杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部未知的杆件内力，这就是节点法。未知的杆件内力，这就是节点法。 例：平面桁架的尺寸例：平面桁架的尺寸和支座如图所示。在节点和支座如图所示。在节点D处受一集中载荷处受一集中载荷F =10=10kN的作用。试求桁架各杆的的作用。试求桁架各杆的内力。内力。 4 4、 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算先取整体为研究对象。先取整体为研究对象。0BxF024 FFBy042AyFFkN5ByAyFF再取节