高等数学-第七版-课件-9-3 可积条件

1、 判别一个函数 f (x) 在a, b上是否可积,就是判别极限 是否存在. 在实际应用中，直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是可积的充分条件而非必要条件.3 可积条件数学分析 第九章定积分01lim(),Tniiifx 3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社定理9.1（可积必有界）若函数若函数 在在 上可积，则上可积，则 在在 上必有界上必有界.ff,ba,ba证证 设设( )d.baf xxJ 由定义由定义, 对对11niiif ()

2、 xJ, 于是于是1, (1,2, ),iiixxin 与与如如何何选选取取, 01 , 0 , T只要只要T无论无论后退 前进 目录 退出都都有有11niiif () xJM. 3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社1,. kkxx上上无无界界(),iiikGfx 1,kkkxx 故故必必存存在在满满足足().kkMGfx ( ) , f xa b倘倘若若在在上上无无界界，,k则必有则必有( )f x使使得得在在令令于是于是1()niiifx ()()kkiiikfxfx kkMGxGx ,M 矛盾矛盾.3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社1Q,1,2, ,iiix

3、xin 现现任任取取1()niiiDx R,0,J 证证 若若 D(x) 在在 a, b 上可积上可积 , 1().2niiibaDxJ (1)D x试用反证法证明:狄利克雷函数试用反证法证明:狄利克雷函数例例在任何在任何 , .a b区间上不可积区间上不可积,T 当当时时 1,iiixx 对对任任何何有有则则则则1.niixba3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社于是于是11()(),nniiiiiiDxDxba 而这与而这与 11()()nniiiiiiDxDx1, Q,1,2, ,iiixxin 又又任任取取则则1()0.niiiDx 所以所以 , ( ).a bD x 在

4、在上上不不可可积积=b- - a 相矛盾相矛盾, niiiniiiJxDJxD11 22baba3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社定义2,.:10bxxxaTn称为称为 f 关于分割关于分割 T 的上和的上和, 1( )niiiS TMx1sup( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin称为称为 f 关于分割关于分割 T 的下和的下和,1( )niiis Tmx1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxxxin , ,fa b设设在在上上有有界界对任意分割对任意分割1(1, 2,),iiiiiM minfxx 称称为为在在上上的的.振振幅幅其中其中其中其中3 可

5、积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社定理9.3（可积准则）函数函数 f 在在a, b上可积的充要上可积的充要条件是：条件是：0,T 分分割割使使1( )( )()niiiiS Ts TMmx振幅反映了函数在区间内的变化范围振幅反映了函数在区间内的变化范围, ,是一个与连是一个与连续性相关联的概念续性相关联的概念. .1.niiix3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社定理9.4（连续必可积）11.nniiiiixxba 常见的有三种方法常见的有三种方法, ,下面分别作出介绍下面分别作出介绍. .每个每个,iba 从而从而第一种方法第一种方法: :, , .a bf例例如如

6、在在上上一一致致连连续续的的, ,便便属属于于这这种种情情形形连续，则可积连续，则可积. .若若 , fa b在在上上 , fa b在在上上此定理将在本章第六节定理此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明中证明. . 在用它在用它.1 niiix 证明可积性问题时证明可积性问题时, ,有多种方法可使有多种方法可使3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社()().f xf xba iiimM 1sup()(),iif xf xx xxx，,ab 从而从而11.nniiiiixxba 因此当因此当 , a bTT 上上的的分分割割满满足足时时, ,xx 若若则则从而在从而在a, b上一

7、致连续上一致连续. 证证 , fa b在在上上连连续续，于于, 0 是是, 0 , , ,x xa b3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社, , fa b例例如如在在上上单单调调时时, ,有有1( )( ) ,niif bf a 第二种方法第二种方法: :|,TM 则则当当时时1,niiM , fa b从从而而可可证证在在上上可可积积. .nii1有界，有界，若若 ,M即即对任意分割，对任意分割，niiniiiTx11 MM . 定理9.5（单调必可积） , , fa bfa b若若是是上上的的单单调调函函数数, ,则则在在上上可可积积. .3 可积条件数学分析 第九章 定积分高

8、等教育出版社f证证 不妨设不妨设是非常值的增函数，是非常值的增函数，01:.,nTaxxxb 1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是于是因此因此, 若若,( )( )Tf bf a 则则则对任意分割则对任意分割111()()nniiiiif xf x ( )( ).f bf a 11nniiiiixT .)()()()( afbfafbf3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社,iix 在在中中iix 而而在在中中，,)(2abi ,)(2mMxi ,iiiiiixxx 若若第三种方法第三种方法: :,1,2, .iMm in , .Mmfa b其其中中是是在在上上的的

9、振振幅幅于是于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mMmMabab . 从从而而3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）0, 取取满满足足0().2()baMm 若若 , fa b在在上上有界有界, ,且只有有限多个不连续点，且只有有限多个不连续点，此时可用第三种方法证明此时可用第三种方法证明 f 可积可积. f 在在 a, b 上可积上可积.只有一个间断点只有一个间断点, 且为且为 b.证证 不妨设不妨设 , fa b在在上上 , fa b若 在上有界，且只有有限多个间断点，则若 在上有界，且只有有限多个间断点，则 , .Mmfa

10、b其其中中与与分分别别为为在在上上的的上上确确界界与与下下确确界界3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社 ,.:110 bxxxaTn使使.2Tiix 则存在分割则存在分割 ,fa b 由由于于在在上上连连续续, , ,fbb 设设在在上上的的振振幅幅为为则则().2()2MmMm 令令,.:10bxxxaTn则则 Tiix Tiix.22 , .fa b由由可可积积准准则则, ,在在上上可可积积3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社0,1在在上可积上可积, ,且且10( )d0.R xx例例2 证明黎曼函数证明黎曼函数1,(,),( )0 ,0, 1(0, 1)pxp

11、 qqqR xx互互素素及及中中的的无无理理数数证证只有有限多个只有有限多个,分割分割01:01,nTxxx2.kT 使使12 ,kTrrr中中含含的小区间至多有的小区间至多有, 0 的有理数的有理数prq10,12q 在在中中满满足足.,21krrr设它们为设它们为0,1对对作作 2 2k 个个, ,记为记为 .i 3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社2.2ixkk i 由由于于在在12,.kiTrrr 中中不不含含的的区区间间记记为为0( ),2R x 上上.2i 于于是是从而从而因此这些小区间长度之和为因此这些小区间长度之和为3 可积条件数学分析 第九章 定积分高等教育出版社( ).R x这这就就证证明明了了的的可可积积性性( ),R x由由于于已已证证得得可可积积 而而且且无无理理数数具具有有稠稠密密性性, ,1, (1,2, )iiixxin 因因此此可可取取皆皆为为无无理理数数, ,1001( )dlim()0.niiTiR xxRx 从而从而 iix iiiixx iixx221 .22 复习思考题数学分析 第九章 定积分高等教育出版社1. f (x) 为为 a, b 上的有界函数上的有界函数, 其不连续点的集合其不连续点的集合011(,),|