高等数学平面及其方程ppt

1、 第五节第五节 平面及其方程平面及其方程xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法向量法向量法向量的法向量的特征特征： 垂直于平面的任一非零向量垂直于平面的任一非零向量已知已知),(CBAn ,),(0000平平面面上上一一点点zyxM设平面上的任一点设平面上的任一点),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程n),(0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程其中法向量其中法向量),(CBAn 平面上一点平面上一点).,(000

2、zyx例例 1 1 求求过过三三点点)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程.解解)6, 4, 3( AB)1, 3, 2( AC取取ACABn )1, 9,14( 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般式方程平面的一般式方程法向量法向量),(CBAn 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程平面的一般式方程的几种特殊情况：平面的

3、一般式方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过原点平面通过原点, 0)2( A, 0 B轴轴平平面面平平行行于于 y轴轴平平面面平平行行于于 x, 0 C轴轴平面平行于平面平行于 z，且且00)3( BA坐坐标标面面平平面面平平行行于于 xoy，且且00)4( DC轴轴平面过平面过 z例例 2 2 求求过过点点)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程.),1, 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n取法向量取法向量21nnn )5,15,10( , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平

4、面方程为所求平面方程为解解例例 3 3 设设平平面面过过原原点点及及点点)2, 3, 6( ，且且与与平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA),(),2 , 1, 4(CBAnn 又又0)2 , 1, 4( nCBA32 解得解得03232 CzCyCx所求平面方程为所求平面方程为解解024 CBA即即即即0322 zyx例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR

5、（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 000DcCDbBDaA解解得得,aDA ,bDB cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴上截距轴上截距z轴轴上上截截距距例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设所求平面为设所求平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 a

6、bc6 1 1 1 6 1 cba （两向量平行的充要条件）（两向量平行的充要条件）解解abc平平行行所所求求平平面面与与平平面面0566 zyx,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t解得解得, 1, 6, 1 cba666 zyx所求平面方程为所求平面方程为由对称性，得：由对称性，得：666 zyx也满足要求。也满足要求。定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 DzCyBx

7、A, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 三、两平面的夹角三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( 0 212121 CCBBAA21)2( /212121 CCBBAA 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231

8、)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(),1, 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.例例7 7 设设),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz外一点，求外一点，求0P到平面的距离到平面的距离. ),(1111zyxP| | 1PNn0P 00101PrnPPPPjn )

9、,(10101001zzyyxxPP 解解01PrPPjn d),(2222222220CBACCBABCBAAn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 01PrPPjn001nPP 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 点到平面的距离公式点到平面的距离公式解解.0 1)(0,1, (1,1,1) 8 21，求求此此平平面面的的方方程程平平面面且且垂垂直直于于和和一一平平面面过过点点例例 zyxMM1M2M1

10、nn的的法法向向量量平平面面0 zyx 1n)1 , 1 , 1(设所求平面的法向量设所求平面的法向量 n),(CBA在所求平面上在所求平面上21MMnMM 21从而有从而有021 nMM),(),2, 0 , 1(21CBAnMM 0),()2, 0 , 1( CBA即即02 CA（1）0 zyx所所求求平平面面垂垂直直于于平平面面1nn 从而有从而有01 nn0)1 , 1 , 1(),( CBA即即0 CBA即即（2）由由(1)(2)解得解得: CBCA2),2( ),(CCCCBAn )1 , 1 , 1( 1M所所求求平平面面过过点点 所求平面的方程为所求平面的方程为0)1()1()1(2 zCyCxC得得约去约去,C02 zyx另解：另解：1M2M1nn211MMnnn 且且211MMnn 可可取取)2, 0 , 1()1 , 1 , 1( 2 0 11 1 1 kji 2 ij 1k 1)1 , 1 , 2( 另解：另解：1M2M1nn)1 , 1 , 1( 1M所所求求平平面面过过点点 所求平面的方程为所求平面的方程为0)1()1()1(2 zyx即即02 zyx平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般