2020届高考数学一轮复习讲义(提高版)专题2.1函数概念及三要素(解析版)

1、第一讲函数的概念及三要素 【套路秘籍】-千里之行始于足下 1 .函数与映射 函数 映射 两个集合A, B 设A, B是两个非空数集 设A, B是两个非空集合 对应法则f : A T B 如果按某种对应法则f,使对于集合A中的每 一个元素x,在集合B中都有唯一的元素 y和 它对应 如果按某种对应法则 f，使对于集合A中的 每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素 y与之对应 名称 称y = f (x) ,x A为从集合A到集合B的一个 函数 称f : AT B为从集合A到集合B的一个映射 记法 函数 y= f (x) , x A 映射：f : AT B 2.函数的有关概念 (1) 函数的定义域、值

2、域 在函数y = f(x), x A中，x叫做自变量，所有的输入值 x组成的集合 A叫做函数y= f(x)的定义域；对于 A中的每一个x，都有一个输出值 y与之对应.我们将所有输出值 y组成的集合称为函数的值域. 函数的三要素：定义域、对应法则和值域. 函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 3 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函 数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个 部分组成，但它表示的是一个函数. 【修炼套路】 -为君聊赋今日诗，努力请从今日

3、始 考向一函数、映射的判断 【例 1】(1)若函数y=f (x)的定义域为 M= x| 2wx 2，值域为 N= y|0 y 0,? ?,?= ?|?E ?，对应关系?T ?其中?= 2? C. ?= ?|?E ?,?= ?|?E?对应关系?T ?其中?= ? D. ?= 2 ?|?E ?,?= ?|?E?,对应关系？?T ?其中？?=- 【答案】 C 【解析】对于？ ？? ?中的奇数在？冲无？冲无元素与之对应？不是？? ?勺函数； 对于？? ?中每个元素在？冲？冲都有两个不同元素对之对应， ？不是？的函数; 对于?中每个元素在？冲都有唯一元素与之对应， ？是 ?勺勺函数; 对于？?中？?=

4、0 在？冲没有元素对应，？不是？?勺函数，故选 C.(2)集合 A= x|0 w xw 4, A. C. 2 x T y= 3X 【答案】 (1) B (2) C 卩 1 卩 1 一 pL -2 O -2 有2 严2 A D B= y|0 w y 2，下列不表示从 A到B的函数的是( 1 B. f : xTy= 3X 3 D. f : xTy= . x 对于 C 图，当 x=0 时，有两个 y 值对应; 对于 D 图，每个 x都有唯一的 y 值对应.因此，D 图可以表示函数 y=f ( x)，故选：D. 考向二 函数定义域求法 类型一：已知解析式求定义域 【例 2-1 (1)函数？?=罟?的定

5、义域是 【答案】(1) (0,1) U(1,3 (2) ?|- 3 ? 0 【解析(1)由题意得， ? 0 ，解得 0 ? 1 或 1 ? 0 ? 0，得-3 ? 4 ? -3 ? 2 且？?工 1 , ? 1 工 0 ?工 1 函数？?=豐；? + (?- 1)0的定义域是?|- 3 ? 0 ?的定义域是(0,2. 【举一反三】 1 .函数f x x2 3x 4 lg x 1 的定义域为 【解析】 由题意，函数 x2 3x 4 lg x 1 满足 x2 3x x 1 x 1 ，解得 1 x 1? I 3 函数?(?= lg(4 ?- 2)的定义域为 _ . 【答案】(1, + 8) 1 11

6、 【解析】由题得 4?- 20,所以 22? 2, A2? 1, ? 2.所以函数的定义域为(2，+ ),故答案为：(2，+ ) 类型二求无解析式的定义域 【例 2】(1)若函数f(x)的定义域是1,3，则函数f(2x 1)的定义域是 _ (2) 已知函数f (2x+1)的定义域为(-2, 0),则f (x)的定义域为( ) (3) 已知函数?(? 3)的定义域为-5, -2，则函数？?(2? 1)的定义域为 _ (4) _ 函数:的定义域为 。 【答案】(1) 0,2 (2) (-3, 1) ( 3) - 1,1 (4)旣兀 免兀 +晋h k2 【解析】(1)由题意函数?的定义域为-1,3，

7、则对于函数？?2?- 1)中，令-1 2?- 1 3 , 解得 0 ? 2，即函数?2?- 1)的定义域为0,2. (2) T f (2x+1)的定义域为(-2, 0)，即-2v xv 0，- 3 v 2x+1 1. 即f ( x)的定义域为(-3, 1). (3) 函数?(? 3)的定义域为-5, -2 , /.-5 ? -2 , -2 ?卞 3 1, 1 ?(?的定义域为-2,1;令-2 2?- 1 1,解得-2 三?0 得 sin X一2，解得 2k n + x 2k n + 3 , k Z 2 4 4 1 I 【套路总结】 B i 未知解析式函数的定义域求解：一般遵循对应法则不变，括号

8、内同范围 1 . | 1.若y= f(x)的定义域为(a, b)，则解不等式ag(x)b即可求出y =f(g(x)的定义域； | 2.若y= f(g(x)的定义域为(a, b)，则求出g(x)在(a, b)上的值域即得f (x)的定义域. * _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I 【举一反三】 1.函数？?？的定义域是-1,1 ，则函数？?(log?的定义域为 _ . 2 【答案】2,2 1 1 1 【解析】由题得-1 8；?运 1,所以 log；2 Iog;?log2,：2 w ? 2.所以函数的定义域为；,2.故答案为： 【答案】（-；

9、,3 （2）因为函数f x x2 2a 1 x 1 （其中a 0，且a 1）在区间 -, 上单调递增，所以 21 2,2 2 .已知函数？?（?的定义域为 -2,2，函数？?（?=二?二，则?（?的定义域为 【解析由题意得笃二： 1 1 2 ? 3，即定义域为(-2,3. 3.若函数 f（ ?+ 1）的定义域是-1,1 , 则函数 f （log ;?）的定义域为 【答案】【：，1 【解析】I? 1）的定义域是-1,1 1 ?的定义域是0 , 2则?的定义域为 0 ? 2 2 2 1 ? 1 故答案为4,1 4.已知函数f 的定义域为 0, ，则函数y f x 1 的定义域是 x2 3x 4 【

10、答(-1,1) 【解由题意 X 1 x2 3x 解得 1 x 1，即定义域为 1,1 . 类型三 利用定义域求参数 【例 3（ 1）若函数? = lg(1 + ?的定义域为？贝 U 实数？的取值范围是（ ） A. -4 ? 0 B . -4 ? 0 C ? 0 D . ? 0 (2) 已知函数f x x2 2a 1 （其中a 0,且a 1）在区间一， 上单调递增，则函数 2 A. 【答【解因？ lOgaX ,a (1) (1) 的定义域为（ 0,a C (2) B 因为函数?= lg（1 0,a + ? D . a, ?的定义域为？所以 1 + ?0 恒成立, 0,1 0 成立，所以？?= 0

11、,若?工 0,则由？+ 4? 0 得-4 ? 0, -4 ? 0 的解集. 2 不等式ax + abx+ b 0 的解集为x|1 wxw 2, a0, 3 1 + 2 = b, a=才， 3 9 所以 解得 2 所以a+ b= 3 =. b 2 2 1 x 2 = , b= 3, a 考向三函数的解析式求法 2a 1 1 Q a 2 2 【举一反三 0,a 1 0 a 1. 令 log aX 1 0 0 a,选 B. 1.若函数f 的定义域为 R,则实数 a的取值范围是 .ax2 ax 1 【答案0 a 4 【解析ax2 ax 1 0 对于 R恒成立， 当a 0时，1 0恒成立；： 当a 0时

12、, a 0 2 0 a 4，综上 0 a 4 . 2 a 4a 0 2.若函数f (x) =pax2+ abx+ b的定义域为x|1 1，得 X =匚，所以 f(t) = lg 厂，即卩 f(X)= lg X7(x1)- X f(X) & C f(x) X3 X 1 X2 f(X) X4 X 1 X2 【答案】 见解析 【解析】(1) f X +1 = X2+ ? X 1 (3)设 f(X)= ax2+ bx+ c,由 f(0) = 0,得 c= 0，由 f(x+ 1) = f(X)+ X + 1, 2 2 1 1 2 1 得 a( x + 1) + b(x + 1) = ax + bx+ x + 1，得 a= b= 所以 f (x) = + ?x(x R). (4) 由 f(x) = 2f g Qx 1,得 f X = 2f (x) 、/X- 1，消掉 f X，可得 f(x)=訂X+ 3. (5) 根据题意，f (x)是(0 ,+ )上的增函数，且f f (x) In x = 1，则f (x) In x为定值. 设 f (x) ln x = t, t 为常数，则 f (x)