2019高中数学第1章导数及其应用1.4.2微积分基本定理学案新人教B版选修2-2

1、142微积分基本定理1 理解微积分基本定理的含义.2 会用定理求定积分.微积分基本定理(1)F(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之F(x) =f(x)，且f(x)在a,b上可积，则bf(x)dx=a一般地，原函数在a,b上的改变量F(b) F(a)简记作F(x)|：.因此，微积分基本定理 可以写成形式：_ .名师点拨)(1) 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的 一种有效方法.但当运用公式不能直接求积分时，需考虑用定积分的几何意义来解决.b,(2) 利用微积分基本定理求定积分f(x)dx的关键是找出使F(x) =f(x)的函数$aF(x).通常，

2、我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出F(x).(3) 求导运算与求原函数运算互为逆运算.【做一做 1 1】下列各式中，正确的是().bA.F(x)dx=F(b) F(a)abB.F(x)dx=F(a) F(b)abC.JF(x)dx=F(b) F(a)D.&F(x)dx=F(a) F(b)5【做一做 1 2】计算(2x4)dx=.n 00重难 求定积分有哪些常用技巧？剖析：(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)对被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求 和. 对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. 曲型

3、例题邂箱 DIAN MING l.l 1 I UNG WU题型一利用微积分基本定理求函数的定积分 【例题 1】求下列定积分：42 2(1)(2 +x) dx;-2课程目际i_ _liSUl(2)微积分基本定理.如果其中数，其中F(x)叫做f(x)的一个c为常数.由于F(x) +c=f(x),F(x) +c也是f(x)的原函星础知识-f42x+ 1dx；-xn(3)n3分析：将被积函数适当变形，确定原函数，再运用微积分基本定理求解.b反思：(1)求f(x)dx般分为两步：求f(x)的原函数F(x)，计算F(b) F(a)a的值即为所求.(2)求复杂函数定积分要依据定积分的性质.1有限个函数代数和

4、(差)的积分，等于各个函数积分的代数和bf1(x) f2(x) 土土fn(x)dxabbb=f1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx.a*a2常数因子可提到积分符号外面，即bbkf(x)dx=kf(x)dx.aacos(x-6)dx.3当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即4定积分对区间的可加性，若ca,b，则有bcbf(x)dx=a题型二【例题3(1)J_2.(差)，即abf(x)dx=-f(x)dx.-a- bcf(x)dx+f(x)dx.几类特殊被积函数的定积分2】求下列定积分：16+ 6xx2dx；卄x2,xO,若f(x)=cosx1,x0,n(3) :1 sin2xdx.分析

5、：由于被积函数不是基本初等函数，因此需要先变换被积函数，再求定积分.反思：(1)对于直接用微积分基本定理不易求解的题目，转化为用定积分的几何意义来 求解，不仅简捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系，因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本节内容的关键.(2) 对于被积函数是分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分 段积分再求和要注意各段定积分的上、下限的取值.(3) 对于较复杂的被积函数，要先化简，再求定积分若是计算求j1f(x)dx;b|f(x)|dx,需要去af(x)的正负，转化为分段函数求原积分.利用定积分求平面图形的面积3】下图中，掉绝对值符号，这时要讨论

6、题型三【例题A. 16反思：求平面图形的面积的一般步骤是:B . 18434(1) 画图，并将图形分割成右干曲边梯形；(2) 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限;(3) 确定被积函数；求出各曲边梯形的面积的和，即各积分的绝对值之和.腿呈练巨I *SLT1 TANG LJAM Xi GONG GUn1 弓(sinx+ cosx)dx的值是().1nA. 0 B . C . 2 D . 442 曲线y= cosx00),【例题2】解:-_2_ 2 116+ 6xx2dx表示圆(x 3)2+y2= 25 的面积的 4,25n-_216+ 6xx2dx= 42 f1f(x)dx=xd

7、x+(cosx 1)dx- 0-I1=3x,12丄 + (sinxx) 10= 3+ sin 1.31 sin 2xdx=： j話 |x cos|sinx cosx|dx=(sin|sinx cosx)x+ cos0 x cosx|dx+2|sin4 (cosx+ sinn4=2(h2 1).【例题 3】B 由题意，阴影部分的面积dy汁+仆2=18随堂练习巩固1. C 原式=(cosx+ sinx)xdxx cosx|dxx)dxx)2n= 2.27t27t4|424340+4X4673_ nn= i+2=3.2(2)T不”+硏x2+x2，又y2. B结合y= cosxowx |n的图象可知，面积S=n2f cosxdx-03n2n2cosxdx3.S=1(3 x2 2x)dx-33x 1x3x24.1-dx= Inx|1= In e In 1