平面静定桁架的内力计算

1、第二节 平面静定桁架的内力计算桁架是工程中常见的一种杆系结构，它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。桁架中各杆件的连接处称为节点。由于桁架结构受力合理，使用材料比较经济，因而在工程实际中被广泛采用。房屋的屋架（见图310）、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。图310房屋屋架杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架（如一些屋架、桥梁桁架等），否则称为空间桁架（如输电铁塔、电视发射塔等）。本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算，有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。在平面桁架计算中，通常引用如下假定：）组成桁架的各杆均为直杆；）所有外力（载荷和

2、支座反力）都作用在桁架所处的平面内，且都作用于节点处；）组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接，杆件自重不计，桁架的每根杆件都是二力杆。满足上述假定的桁架称为理想桁架，实际的桁架与上述假定是有差别的，如钢桁架结构的节点为铆接（见图311）或焊接，钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点，图311 钢桁架结构的节点它们都有一定的弹性变形，杆件的中心线也不可能是绝对直的，但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征，其计算结果可满足工程实际的需要。分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法，下面分别予以介绍。一、节点法因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受到平面汇交力系的作用，为计算各

3、杆内力，可以逐个地取节点为研究对象，分别列出平衡方程，即可由已知力求出全部杆件的内力，这就是节点法。由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。例38 平面桁架的受力及尺寸如图312所示， 试求桁架各杆的内力。图312 例38图解：（1）求桁架的支座反力以整体桁架为研究对象，桁架受主动力2F以及约束反力、作用，列平衡方程并求解：， ， ×， ， ， 2=（2）求各杆件的内力设各杆均承受拉力，若计算结果为负，表示杆实际受压力。设想将杆件截断，取出各节点为研究对象，作A、D、C节点受力图（图312），其中，=，=。 平面汇交力系的平衡方程只

4、能求解两个未知力，故首先从只含两个未知力的节点A开始，逐次列出各节点的平衡方程，求出各杆内力。节点：， sin300, 2=F（压）， cos300, 0.866=1.73F（拉）节点：， , =1.73F（拉）， F, F（拉）节点：， sin600sin600， F（压）至此已经求出各杆内力，节点的另一个平衡方程可用来校核计算结果：， cos600cos600将各杆内力计算结果列于表3-2：表32 例38计算结果杆号12345内力2F1.73F2F2F1.73F例39 试求图313a所示的平面桁架中各杆件的内力，已知，G=20kN。(a) (b)图313 例39图解 （1）画出各节点受力图

5、，如图313b所示，其中Fi(i=1,2,6)。各点未知力个数、平衡方程数如表33。由于A点的平衡方程数与未知力个数相等，所以首先讨论A点。表33 未知力个数、平衡方程数节点ABCDE未知力个数23442独立方程数22221（2）逐个取节点，列平衡方程并求解节点：， F1sin300G=, （拉）， F1cos300F2=, F2=F1cos300=34.6kN（压）节点B：， , 34.6kN（压）， FG, F=G20kN（拉）节点C：， F5cos300F3cos300=, F5=F3=20kN （压）， cos600F5cos600=, F4=cos600F5cos600=40+20c

6、os600(20)cos600 kN =60kN（拉）将各杆内力计算结果列于表3-4：表34 各杆内力计算结果杆号123456内力/kN4034.620602034.6二、截面法节点法适用于求桁架全部杆件内力的场合。如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，则可用截面法。这种方法是适当地选择一截面，在需要求解其内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分，然后考虑其中任一部分的平衡，应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力。例310 如图314所示的平面桁架，各杆件的长度都等于1.0，在节点上作用荷载F21k，在节点上作用荷载F15k，试计算杆、和的内力。图314 例310图 解：（1）求支座

7、反力以整体桁架为研究对象，受力图如图314所示，列平衡方程：， ， ×3.0F1×1.0F2×2.00 ， FF 解得：=17k， k（2）求杆、和的内力作截面假想将此三杆截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分桁架的受力图如图314所示。列平衡方程：, ×1.0×sin600×1.0=0 , F1×0.5×1.0×sin600×1.5 ， ×sin600F1 解得：=21.9k（压）k=20.8k（拉）k=2.3k（拉）如果选取桁架的右半部分为研究对象，可得到相

8、同的计算结果。例311 平面桁架结构尺寸如图315所示，试计算杆、和的内力。图315 例311图解：（1）求支座反力以整体桁架为研究对象，受力图如图315b所示，列平衡方程：， ， FB×8aF1×aF1×2aF1×3aF1×4aF2×5aF2×6aF2×7a0 ， FB 4 F13 F2 解得： ， =FB+4 F1+3 F2=（2）求杆、和的内力作截面II假想将杆1、2、3截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分桁架的受力图如图315c所示。列平衡方程：, , ， 解得：（压），(拉)，(

9、拉)由上面的二个例子可见，采用截面法求内力时，如果矩心取得恰当，力矩平衡方程中往往仅含一个未知力，求解方便。另外，由于平面任意力系只有三个独立平衡方程，因此作假想截面时，一般每次最多只能截断三根杆件，如果截断的杆件多于根时，它们的内力一般不能全部求出。习题31 图316所示的6种情形中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？图316 题31 图32 试求图317所示静定梁在支座A和C处的全部约束反力。其中尺寸d、载荷集度q、力偶M已知。图317 题32图33 静定多跨梁的荷载及尺寸如图318所示，长度单位为，求支座反力和中间铰处的压力。 图318 题33图34 静定刚架所受荷载及尺寸如图319所示，

10、长度单位为，求支座反力和中间铰处压力。图319 题34图35 如图320所示，杆AB重G、长度为，A端置于水平面上，B端置于斜面上并系一绳子，绳子绕过滑轮C吊起重物FQ。各处摩擦均不计，求AB杆平衡时的G值及A、B两处的约束力。（、均为已知）图320 题35图36 如图321所示，在曲柄压力机中，已知曲柄OA=R=0.23m，设计要求：当200,=3.20时达到最大冲力F=315kN。求在最大冲压力F作用时，导轨对滑块的侧压力和曲柄上所加的转矩，并求此时轴承的约束反力。 图321题36图37 在图322所示架构中，A、C、D、E处为铰链连接，BD杆上的销钉B置于AC杆的光滑槽内，力F=200N

11、，力偶矩M=100N·m，不计各杆件重量，求A、B、C处的约束反力。图322 题37图38 如图323所示，折梯由两个相同的部分和构成，这两部分各重0.k，在点用铰链连接，并用绳子在、点互相联结，梯子放在光滑的水平地板上，今在销钉上悬挂G0.k的重物，已知，°，求绳子的拉力和作用于销钉的力。图323题38图39 三脚架如图324所示，FP=4.0kN，试求支座A、B的约束反力。图324题39图310如图325所示，起重机停在水平组合梁板上，载有重G=10kN的重物，起重机自身重k，其重心位于垂线上，如不计梁板自重。求、两处的约束反力。 图325 题310图311 平面桁架的结构尺寸如图326所示，荷载F已知，求各杆的内力。图326 题311图312 平面桁架的荷载及结构尺寸如图327所示，求各杆的内力。 a) b)图327 题312图313 如需求图328所示桁架中3、5、7各杆的内