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文档简介

1、报告的计的具体应用方法n均匀设计软件关ignn试验法Experimentationn均匀设计软件Uniform Design Software1 什么是1.1 均匀ign)是一种试验设计方法(Experimental Design Method),称为均匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法(Uniform Design Experimentation)。所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法,均匀设计也不例外,它是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。它由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出,是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个

2、应用。1.2 均匀1.2 均匀设计做到充分“均匀分散”;为了达到“整齐可比”,试验点的数目就必须比较多(例如用正交表安排每因素为q个水平数的多因素试验,试验的次数为rq2,r为自然数)。均匀设计只考虑试验点在试验范围内充分“均匀散布”而不考虑“整齐可比”,因此它的试验布点的均匀性会比正交设计试验点的均匀性更好,使试验点具有更好的代表性。由于这种方法不再考虑正交设计中为“整齐可比”而设置的实验点,因而大大减少了试验次数,这是它与正交试验设计法1.2 均匀设计每个水平仅做一次试验,当水平数增加时,试验数随水平数增加而增加,若采用正交设计,试验数则随水平数的平方数而增加。例如用正交设计需做961次5

3、因素31水平的试验,采用均匀设计只需做31次试验,其效果基本相同。由于均匀设计不再考虑正交试验的整齐可比性,因此其试验结果的处理要采用回归分析方法线性回归或多项式回归分析。回归分析中可对模型中因素进行回归显著性检验,根据因素偏回归平方和的大小确定该因素对回归的重要性;在各因素间无相关关系1.2 均匀设计对试验指标影响的重要性。这些一般都要借助计算机才能完成。2 均匀设义n均匀设计表的构造方法n均匀设计表的使用表的产生方法n混合水平均匀设计表的产生方法2.2 均匀设计e Point)构造均匀设计表的方法如下:(1) 定义试验次数n,寻求比小的整数h,且使和的最大公约数为1,符合这些条件的正整数组

4、成一个向量h=(h1,hm);(2) 均匀设计表的第列由uij=ihjmod n(同余运算) 产生,若jhi超过n,则用它减去n的一个适当的倍数,使差落在1,n之中。uij可以递推来生成:u1j=hj,ui+1,j=uij+hj(若uij+hjn)或者ui+1,j=uij+hj-n(若uij+hjn),这里i=1,n-1。2.2 均匀设计表如n=11时,可以形成象前面介绍的U11(116)表。向量h称为该表的生成向量,可以将Un(nm)记成Un(h)。给定n,相应的h可以用上面的方法求得,从而m也就确定了,所以m是n的一个函数,称为欧拉函数,记为E(n)。这个函数告诉我们均匀设计表最多可能有多

5、少列。根据数论结果可知:(1)当n为素数时,E(n-1)=n-1;(2)当n为素数幂时,即n可表示成n=pl,这里p为素数,l为正整数,E(n)=n(1-1/p),如n=9,可表为n=32,于是E(9)=9(1-1/3)=6,即U9最多可以有6列;(3)若n不属于上述两种情况,2.2 均匀设计表积,即:n=p1l1p2l2psls,这里p1,ps 为不同的素数,l1,ls为正整数,这时E(n)=n(1-1/p1)(1-1/ps),例如n=12可表为n=223,于是E(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三种情形中以n为素数时最好,最多可以有n-1列,非素

6、数时表的结构中永远不可能有n-1列,比如E(6)=2,则最多只能安排两个试验因素,为此,王元和方开泰建议,用Un+1表划去最后一行构造形成新的Un*表,如U6*(66)可有6列之多。2.3 均匀设计表的于进行试验各因素水平组合的具体安排。这样做的原因是:从均匀设计表Un(nm)中选出s列,则可能的选择有(ms)种,但不同列组合起来所代表的点集的均匀性是不同的,所设计试验的效果也是不同的,因而如何选用均匀设计表中的列必须引入一个判别表的均匀性好坏的准则。度量均匀性的准则很多,其中偏差(discrepancy)是使用历史最久、最为广泛接受的方法,均匀设计也同样采用偏差来衡量其设计表的均匀性,偏差越

7、小,则设计表的均匀性越好。2.3 均匀设计表的使种试验方法,而且关于偏差计算的内容也很多,因而关于均匀性偏差的计算方法和具体产生使用表的方法在此不做介绍(有特别需要者可以参见参考文献1 )使用者只需要按每个均匀设计表所附的使用表进行试验安排即可。比如,欲进行一个因素、每因素13水平的试验,可以选用均匀设计表U13*(134),使用表中推荐的列为1,3,4,则所有13次试验时各因素的水平组合为:2.4 混合水平均匀2.4 混合水平均匀设计表的产生方法(续1)用U10*(108)产生3因素10计算出U10中的3列形成拟水平均匀设计表U10(1052)3 均匀设计应用方法n具体问题的解决方法3.1

8、试验设试验设计、旋转设计、D-最优设计等)过程必然离不开试验基础内容的构思(试验的评价指标;试验的因素、水平的选择和试验次数的拟定)、试验结果数据的分析等共性方面的问题。试验的因素和水平的选择关系到一个试验能否成功的关键,下列的注意事项和建议对使用试验设计(当然也包括均匀设计)的人员应该是有益的:3.1 试验设计的试验指标的因素通常是很多的,通常固定的试验因素在试验方案中并不称为因素,只有变化的因素才称为因素;(2)关于因素数量:在一项试验中,因素不宜选得太多(如超过10个),那样可能会造成主次不分;相反地,因素也不宜选得太少(如只选定一、二个因素),这样可能会遗漏重要的因素,或遗漏因素间的交

9、互作用,使试验的结果达不到预期的目的;3.1 试验设计的范围应当尽可能大一点。如果试验在实验室进行,试验范围大比较容易实现;如果试验直接在生产中进行,则试验范围不宜太大,以防产生过多次品,或产生危险。试验范围太小的缺点是不易获得比已有条件有显著改善的结果;(4)关于因素的水平数:若试验水平范围允许大一些,则每一因素的水平个数最好适当多一些;3.1 试验设计的大小和生产控制精度是密切相关的。如不切实际地降低试验的水平间隔,在试验范围确定了的情况下必然会引起试验次数的增加;而因素水平间隔太大,其试验结果的中不确定性成分也必然增加;(6)因素和水平的含意可以是广义的:例如五种棉花用于织同一种布,要比

10、较不同棉花影响布的质量的效应,这时“棉花品种”可设定为一个因素,五种棉花就是该因素下的五个水平。3.2 均匀设下六个步骤:(1) 确定试验指标、因素、因素水平范围和因素水平数(这是关系到试验成功与否的关键);(2) 选择合适的均匀设计表建立分次试验的具体因素水平组合;(3) 执行分次试验并取得每次试验的指标值;3.3 具体问建立n回归模型优化n试验参数优化n使用均匀设计时需要注意的其它问题3.3.1 试于因素的最大水平数,而不是平方的关系,试验次数与被考察的因素的个数有关,建议试验次数选为因素数的倍左右为宜,这样选择的均匀设计表的均匀性好,也有利于以后的建模和优化。3.3.2 设要满足试验次数

11、的要求:即确定Un表n的问题,关于这一点,见前面的建议;(2) 表的列数要满足试验因素数的要求:如U6(62)表和U6*(66)表,虽然n值相同,可前者有列,只能安排因素试验,而后者最多却可以安排因素试验。(3) Un*表比Un表有更好的均匀性,在确定了试验次数n的情况下,若Un*表也能满足因素数的要求,应优先采用Un*表:Un*表是由Un+1表划去最后一行3.3.2 设计多的列,若n为奇数,则Un*表的列通常少于Un表。(4) Un*表比Un表更容易安排试验:Un表的最后一行全部由组成,而Un*表则不然。例如在化工反应中,若所有因素的水平都按一个方向排列,则在表的最后一行的所有因素的水平值不

12、是最高就是最低,所有高水平组合很容易出现反应过分剧烈甚至爆炸,所有低水平组合则可能出现反应异常甚至不能进行的现象。3.3.3.2 非3.3.3.2 非线性变量的筛选。其回归系数求解可经过方程项的转换按多元线性回归的方法完成。(2) 多项式回归模型一般地,包含多变量的任意多项式可表述为:可通过类似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22的变换,将其按多元线性回归分析。多项式回归在回归分析中占特殊地位,因为任何函数至少在一3.3.3.2 非线性近,因此在比较复杂的的实际问题中,可以不问与各因素的确切关系如何,而采用多项式进行分析(一次多项式是多项式的特例)。在多项式回归模

13、型中,常用的子模型结构如下:3.3.3.2 非线性3.3.3.3 回3.3.3.3 回归添加或不添加某个模型组成项的依据。下面用一个例子来说明建模的思路和过程:例子:为研究石墨炉原子吸收分光光度计法测定微量元素钯的工作条件,确定了灰化温度x1、灰化时间x2、原子化温度x3 和原子化时间x4四个因素,其试验评价指标为吸光度。由原子化机理可知,灰化温度和原子化温度对吸光度的的影响可拟合为二次函数,即在模型中应该有x12和x32项,这两个因素发生在不同时间,因而不存在交互作3.3.3.3 回归原子化时间对试验指标的影响比较复杂,也可用二次项逼近,忽略它们的交互作用,方程中应该有x22、x42项。因为

14、还只是根据专业知识和经验进行推断,具体每个因素对结果的影响到底如何还属未知,那么,各因素的一次项理所当然也参加进方程中,这样就可以拟定出一个y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x12+b6x22+b7x32+b8x42的原始的多项式回归模型。至于这个模型的表达效果到底如何,暂时可以不用理会,只是试验者3.3.4 回某一显著性水平(本例中取=0.05)逐个进行显著性检验,就可以发现,x1、x22、x3、x4及x42对回归无显著作用,将它们从模型中剔除,则可以确立如下的回归模型:y=b0+b1x2+b2x12+b3x22+ b4x32回归系数分别为:b0=-5.3510-2;b1

15、=-3.0510-3;b2=-3.1410-8;b3= 3.5310-5;b4= 3.4210-8。对模型进行回归显著性检验,其检验值为184.38,临界值0.05(4,7)=4.1203,同样高度著,3.3.4 回归模建立了一个去伪存真的精简的更能真实地表达因素和指标间关系的回归模型。观察上面的回归模型,我们还可以发现,原子化时间x4这个试验因素在回归模型中没有出现,证明它是一个对试验指标影响不显著的因素,在后续的进一步的试验条件优化过程中,我们完全可以放弃对这个因素的观察,只将它保持在普通状态,使之成为一个静态的“因素”而将它从真正对试验起显著作用的行列中剔除,这样就减轻了3.3.4 回归

16、模若在其它试验中通过回归模型优化后同样发现了不显著因素,而它又是个实际消耗资源的因素,那么模型优化的意义则更加显著了。3.3.5 试3.3.5 试验参3.3.5 试验参最优值的问题间接地归结为解它的一阶导数为零的方程组,即将函数按各自变量求一阶偏导数并使其等于零,解由此组成的方程组即可找到函数的极值点,将极值点的各变量值代入函数中即可求得函数极值(极值分极大值和极小值,但不对等于最大值或最小值),下面给出一个此方法的例子:3.3.5 试验参x1-1x2-1+2.5105x2,其中0 x12200,0 x28。令函数关于x1和x2的两个一阶偏导数都为零,这样得到两个联立方程:解此联立方程,求得唯

17、一的极值点,即得x1=1000,x2=4,函数极值为y=3106,是极大值还是极小值呢?函数的限定条件是0 x12200,0 x28,01041000122191xxxy0104105 . 22211952xxxy3.3.5 试验参3.3.6 使用均匀题若试验优化后发现个别因素的最优条件在其试验范围的边界上,那么一般说来这是一个试验范围不足的信号,这一点,在初次大范围的试验结束并进行了首次试验优化后就应该发现,无论如何也不应该在全部试验都结束了才察觉到它,否则您找的最优试验条件则是真真正正的“局部最优” 条件了。出现了这种现象,解决的办法一般是在进一步的试验中大力缩小该因素另外一端的范围而适3

18、.3.6.1 最优条件在试适当加宽,还是前面提到的模型适用范围的问题,因为进一步优化的基础是试验者承认了先前的那个试验范围条件下建立的模型,而偏偏个别因素最优值在边界上,实在是有进一步探询的必要。否定先前的模型是没有根据的,放弃模型不用更是不应该的,欲发现真正的最优试验条件,调整试验范围是必须的。型是否有效的当然依据,一般情况下,回归平方和与剩余平方和的比值越大,则模型的可信度愈高,表现在复相关系数或相关系数上,R2数值就越大(一元线性回归分析常用相关系数表述相关关系的大小,且R值可正可负),但是建模的过程中,我们不能简单地追求高的回归平方和与剩余平方和的比值(或大的R2值),模型的建立一定要

19、根据专业的知识进行,数理统计中一个重要的概念是自由度,若选进方程中的项过多,使误差自由度为甚至为,虽然R2更加接近于1,模型看上去3.3.6.2 模型好坏3.3.6.2 模型好坏的很差的。一般应保持误差自由度(即剩余平方和自由度)5,这也就是为什么主张选用值大一些的设计表进行设计或有前面的“试验次数选为因素数的倍左右为宜” 观点的原因了。4 均匀n均匀设计方面软件的介绍n均匀设计软件功能的介绍4.1 对均匀设计软见的能够用于指导试验者进行试验安排的均匀设计表;2、必须能对试验者的原始设计数据根据均匀设计表进行排列并产生供试验者进行试验的试验方案;3、程序必须具备回归模型建立和模型优化功能的模块;4、必须具备试验最优条件判定功能的模块。下面简单阐述一下这几个“必须”的理由:4.1 对均匀设计软件便于用户对试验设计进行综合的考虑,对用户更加深入地理解均匀设计亦有好处;(2) 作为均匀设计的软件,试验方案的建立必须在用户输入了原始设计数据后由系统自动生成,试验方案的输出可以是多样的,但在当前阶段,必须包括可以由打印机打印的输出方式;(3) 均匀设计对试验数据的分析采用回归分析方法进行,而且用均匀设计方法设计的多是多因素、多水平的试验,其数据计算量非常巨大,这个工4.1 对均匀设计软件一种通用的试验法,它的建模功能必须强劲,为适应多项式回归分

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