2020年泰州市高三数学5月二模试卷附答案解析

1、2020年泰州市高三数学5月二模试卷(满分160分，考试时间120分钟)2020. 05参考公式：锥体的体积公式：V = gsh,其中S为锥体的底面积，h为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .已知集合 A = 1 , 2, B = 2, 4, 8,则 AUB =.2 .若实数x, y满足x+yi = 1 + (x y)i(i是虚数单位)，则xy =.3 .如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间6,18)内的频数为 While I<5I-I + 2S1 + 3End WhilePrint S (第 4 题)4 .根据如图所示的伪代码，可得输出

2、 S的值为.225 .若双曲线b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线的方程为y = 2x,则该双曲线的离心率为6 .将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛 掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x, v,则|xy|=1的概率是.7 .在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍, 则点P的横坐标为.8 .我国古代数学名著增删算法统宗中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不 为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关. "它的大意是：有人要到某关口，路程为 378里，第

3、一天 健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地.那 么这个人第一天走的路程是 里.9 .若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x + 4)=f(x) ,、1) = 1,则f(6) + f(7) + f(8)的值为.1110 .将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面.若圆锥的体积为9v3n，则R=x + a, x> a,11.若函数f(x)= 2只有一个零点，则实数 a的取值范围是x2 1, x<a12 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(x1，y。，B(x2, y2)在圆O: x2+y2=4上，且满足xx2 + y1y2= 2,则

4、x1+x2+y1 +y2 的最小值是 .，.一.1. 一。 1之 一13 .在锐角二角形ABC中，点D, E, F分别在边AB, BC, CA上.若AB=3AD, AC =入AF 且BC ED = 2EF ED = 6, |ED|=1,则实数 入的值为.BD14 .在4ABC中，点D在边BC上，且满足 AD = BD , 3tan2B 2tan A+3=0,则赤的取值也围 CD是.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)如图，在三棱锥 PABC中，PA，平面 ABC, AB = AC,点D, E, F分别是 AB, AC

5、, BC的中 点.求证：(1) BC /平面 PDE;(2)平面PAF，平面 PDE.16 .(本小题满分14分)1 一 _已知函数 f(x) =sin2x+sin xcos x 2, x C R.(1)求函数f(x)的最大值，并写出相应的 x的取值集合;(2)若 f(峭李 a C ( 一8, 385,求 sin 2 a 的值.17.(本小题满分14分)某温泉度假村拟以泉眼 于直径AB对称的两点，以 中四边形AEBD为温泉区,C为圆心建造一个半径为 12米的圆形温泉池，如图，M, N是圆C上关 A为圆心，AC为半径的圆与圆 C的弦AM , AN分别交于点D, E,其I、n区域为池外休息区，田、

6、IV区域为池内休息区，设/(1)当0= y时，求池内休息>区的总面积(田和IV两个部分面积的和);(2)当池内休息区的总面积最大时，求 AM的长.18.(本小题满分16分)22如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆M:1(a>b>0)的左顶点为A ,过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B,以AB为边作矩形ABCD ,其中直线CD过原点O.当点B为椭圆M的 上顶点时， AOB的面积为b,且AB= 3b.(1)求椭圆M的标准方程；(2)求矩形ABCD的面积S的最大值；(3)矩形ABCD能否为正方形？请说明理由.19 .(本小题满分16分)定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负

7、数，则称这个函数为“ YZ函数”.(1)判断函数f(x)=1是否为“ YZ函数”，并说明理由； e(2)若函数g(x) = ln x mx(m 6 R)是“YZ函数"，求实数 m的取值范围；一，1 o 1 n .1一一(3)已知h(x) = 3x3+2ax2 + bx-3b,xC(0,十x), a,bC R,求证：当 a< 2,且 0Vbv1时,函数h(x)是“YZ函数”.20 .（本小题满分16分）已知数列 an , bn, Cn满足 bn=an+2an, Cn=2an+l + an.（1）若数列an是等比数列，试判断数列Cn是否为等比数列，并说明理由；（2）若an恰好是一个

8、等差数列的前 n项和，求证：数列bn是等差数列；（3）若数列bn是各项均为正数的等比数列，数列 Cn是等差数列，求证：数列an是等差数列.数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.【选做题】 在A, B, C三小题中只能选做两题，每小题 10分，共20分.若多做，则按作 答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选修42:矩阵与变换）a已知列向量 在矩阵M =5对应的变换下得到列向量b-2b，求M 1B.（选修44:坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为X = cos a , y= V3sin a（a为参数）.以坐标原点x轴的正半轴为极

9、轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为p sin（+T4）=4j2,点P为曲线C上任 点，求点P到直线l距离的最大值.C.（选修45:不等式选讲）2.22已知实数 a, b, c 满足 a> 0, b>0, c>0, += 3,求证：a+b+c<3.【必做题】 第22, 23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.22.如图，在多面体 ABCDEF中，平面 ADE，平面ABCD ,四边形ABCD是边长为2的正方形,一，一 ,_ 一 式 一一 ADE是等腰直角三角形，且/ ADE = , EFL平面ADE, EF=1.(1)求异面直线

10、AE和DF所成角的余弦值;(2)求二面角BDFC的余弦值.23 .给定n(n>3, nCN*)个不同的数1, 2, 3,，n,它的某一个排列 P的前k(kCN*, 1&k& n)项和为Sk,该排列P中满足2Sk< Sn的k的最大值为kp.记这n个不同数的所有排列对应的 kp之和 为Tn.(1)若 n=3,求 T3;(2)若 n=4l+1, lC N*,求证：对任意的排列 P,都不存在k(kC N*, 1<k<n)使得2Sk=Sn；求Tn(用n表示).数学参考答案及评分标准24 1,2, 4, 8 2. 1 3. 80 4. 8 5.率 6. 5 7. 1

11、 8.192 9. - 1 10. 625 18211. （8, 1U（0, 1 12. -272 13. 3 14.（1, 215 .证明：（1）在4ABC中，因为点 D, E分别是AB, AC的中点，所以 DE II BC.（2 分）因为BC?平面PDE, DE?平面PDE,所以BC /平面PDE.（6分）（2）因为PAL平面 ABC, DE?平面PDE,所以PAX DE.在4ABC中，因为 AB=AC,点F是BC的中点，所以AF±BC.(8分)因为 DE II BC,所以 DEXAF.因为 AFAPA=A, AF?平面 PAF, PA?平面 PAF,所以DE，平面PAF.(12

12、分)因为DE?平面PDE,所以平面 PAF，平面 PDE.(14分)116 .解：(1)因为 f(x) =sin2x+sin xcos x万，crts, 一、 1 cos 2x 111八所以 f(x) =2+ Sin 2x 2 = 2(sin 2x cos 2x)(2 分)J2式式J2式=T(sin 2xcos cos 2xsin ) =sin(2x ). (4 分)当 2x ；=2kn + g (kCZ),即*=。+等(kCZ)时，f(x)取最大值唱, 4282所以f(x)的最大值为 ¥，止匕时x的取值集合为x x = k7t + 38L, kCZ .(7分)(2)因为 f(启咎，

13、所以乎sin(2 f：) = *，即 sin(2 or-4)=1.因为 氐(-,十)，所以 2 a;4c (一。y),则 cos(2 >彳)=、八_sin2 (2a9)=、卜-(1) 2=2p, (10 分) 4:4 v 33兀 兀兀兀兀 兀所以 sin 2 a = sin(2 ) + = sin(2 -a-)cos-+cos(2 ot-)sin-41 虚2V2近4 + V2八=3' 学+ -T 乂 +=丁.(14 分)汽17 .解：(1)在 RtABM 中，因为 AB=24, 0 =,所以 MB = AM = 12yl2, MD = 24cos 4 12= 122- 12,所以

14、池内休息区总面积 S=2X2MB DM = 12(122- 12)=144(2-72). (4 分)(2)在 RtABM 中，因为 AB=24, / MAB = 0,所以 MB = 24sin 0, AM = 24cos 0, MD = 24cos 0 - 12.,，I兀由 MB=24sin 0 >0, MD = 24cos 0 12>0 得 0C (0, §), (6 分)i、，一 r _1n则池内休息区总面积 S = 2X2MB - DM =24sin 0 (24cos 0 12), 0C (0, y). (9 分)、r汽设 f(吟sin 0 (2cos 8 1),

15、0 (0,).因为 f'(毛 Cos 8 (2cos 0 1) 2sin2 0 = 4cos2 0 cos 82=0? cos 0p 八 1 + J33 1又 cos 0 = -8>-,所以？ 8 0c (0,),使得 cos e 0 = 1+8/,则当 xc（0, e 0）时，r（e）of（痂（0, e 0）上单调递增;. 支当xc （虬5）时，y （兀e ）0f（痂（0,互）上单调递减,即4 0）是极大值，也是最大值，所以 f（如以=f（%此时 AM=24cos 0 0=3+3/33.(13分)答：（1）池内休息区总面积为144（242）m2;（2）池内休息区总面积最大时 A

16、M的长为AM =（3+3/33）m.（14分）.a2+ b2 = >/3b,118.解：(1)由题意知 2ab=b,a2=b2+c2,解彳导a= 2, b= c=寸2,22所以椭圆M的标准方程为xj；+y2=1.（4分）（2）显然直线AB的斜率存在，设为 k且k0,则直线 AB的方程为y=k(x + 2),即kx-y + 2k=0.y=k(x + 2),联立 x2 y2得(1 + 2k2)x2+8k2x + 8k24 = 0,解得7+2=124k2xb =4k1 + 2k2' yB=1 + 2k2'/=7 4y 1 + k2所以 ab =yj (xb + 2)2+yB =

17、 12 .1十2k直线CD的方程为y=kx,即kx y=0,所以BC =|2k|2k所以矩形ABCD的面积S=4、1 k22k8k1 + 2k2 ' $76 =1+2k2=T-8- & -8=272, 1+2k R2 k所以当且仅当k=,矩形ABCD的面积S的最大值为2近.（11分）(3)若矩形ABCD为正方形，则 AB=BC,-4 . 1 + k22k即 1 + 2k2 =贝!)2k3-2k2+ k-2 = 0(k>0).令 f(k) = 2k3 2k2+ k 2(k>0),因为 f(1) = 1<0, f=8>0,又 f(k) =2k32k2+k 2

18、(k>0)的图象不间断，所以f(k) = 2k3 2k2 + k2(k>0)有零点，所以存在矩形 ABCD为正方形.(16分)19.(1)解：函数f(x)=A1是“YZ函数”，理由如下: e1 x因为 f(x) = 2X- 1,则 f '(冷 ee当 x<1 时，f' (x)>0；当 x>1 时，f' (x)<0,所以 f(x) = * 1 的极大值 f(1)=11<0,ee故函数f(x)=41是“ YZ函数”.(4分) e 解：定义域为(0, +8), g' (x)=1 m, x当m&°时，g'

19、; (x) = 1 m>°，函数单调递增，无极大值，不满足题意;当m>0时，当0<x<时，g' (x)=1 m>0,函数单调递增, mx当x>41, g' (x) = -m<0,函数单调递减， mx所以 g(x)的极大值为 g(m) = ln m-m *=-ln m 1.由题意知 g(m) = ln m1<0,解得 m>e.(10 分)证明：h' (x)x2+ax+b，因为 a<-2, 0<b<1,则 A= a24b>0,所以h' (x)=x2+ax+b = 0有两个不等实根

20、，设为 xi, x2.xi + x2= a>0,因为所以Xi>0, x2>0,不妨设0<x1<x2,xix2= b>0,当0Vx<X1时，h' (x)>0,则h(x)单调递增;当xi<x<X2时，h' (x)<0 ,则h(x)单调递减，所以 h(x)的极大值为 h(x1)=1x3+1ax2+bx1 1b.(13 分) 323由 h (X = x2+ ax + b = 0 得 x1=x1( ax1 b) = ax2 bx1.因为 a< 2, 0Vb<1,所以 h(x 1) = x1 + ax1 + bx

21、1 一b = (一 ax1 bx1) + -ax1 + bx1 一 b 323323=«axi + zbxi «b< oxi + obxi «b=式xl b)2 +«b(b1)<0. boo o o d oJ所以函数h(x)是“YZ函数”.(16分)(其他证法相应给分)20. (1)解：设等比数列an的公比为 q,则 Cn=2an+i + an=2anq+ ai= (2q+ 1)an, 1当q= 5时，Cn=0,数列Cn不是等比数列.(2分)当qw ；时，因为CnWO,所以蜉=(禽3)：，所以数列Cn是等比数列.(5分)(2)证明：因为an恰

22、好是一个等差数列的前n项和，所以设这个等差数列为dn,公差为d.因为 3n = di + d2 +p dn,所以 an+1 = di + d2+ dn+dn+1,两式相减得 8n+1 3n= dn+ 1.因为 an+2= an+ bn ,以 bn+ 1 - bn =(3n+ 3 3n+ 1)(3n+ 2 an) =(3n+ 3 3n+ 2)(3n+ 1 an) = dn + 3 dn+ 1 = 2d,所以数列bn是等差数列.(10分) 证明：因为数列Cn是等差数列，所以 Cn+3-Cn+2=Cn+1-Cn.因为 Cn=23n+l + an,所以 29n + 4+&i + 3(2an +

23、3 + an+2)= 2&i+2+an+1(2an+ 1 d- 3n),即 2(an + 4 ai + 2)= (an + 3 31+1)+(an+2 ai),则 2bn+2= bn+1 + bn.b +1 | b因为数列bn是等比数列，所以 b2n+1=bnbn+25则b?n+1 = bn J '即(bn+1 bn)(2b n+1 + bn) = 0.因为数列bn各项均为正数，所以 bn + 1 = bn, (13分)贝I 3n+ 3- an+ 1 = an+2才)，即 3n+ 3= 8n+2 + 3n+1 31.又数列C n是等差数列，所以Cn+ 2 + Cn = 25+1

24、,即(2an + 3 + an+ 2)+ (2an + 1 + 31) = 2(23n + 2 + &i+ 1),化简得 2an+3+ an= 3an+2>将 an+3 = an+2+an + 1 an代入得 2(an+2+an+1 an) + an= 3an+2,化简得an+2+an=2a1+i,所以数列an是等差数列.(16分)(其他证法相应给分)数学附加题参考答案及评分标准21. A.解:因为b-23a+ 20 = b2a+ 10= b,解得a= 一 6b = 4.（4分）m= 13m+ 4n= 1即 3p + 4q = 0，-2m + 2n= 0解得p + 2q=1,P=

25、- 23q= 2，所以M1_(8分)一 b所以M 1a-216(10 分)B.解：由题可知，直线方程即为汽(sin 0 cos -4+ cossin十人4 2cos 8=x, p sin 8 = y得直线的直角坐标方程为* + 丫8=0.（4分）设点P 的坐标为(cos a ,，3sin a ),:点P到直线的距离d=汽 I 伍. ci |2sin ( a+三)81|cos a + M3sin a 8| I612+12.2，（8 分）当oc+TtTt6- = 2kn一万密Z）,即E= 2kn 尊（kCZ）时，d取得最大值572, 3 1此时点P的坐标为（一2,3一力(10 分)C.证明：由柯西

26、不等式,3(a+b+c) = (b+ c+ 喷 + b-+a)=(Vb)2+(vc)2+ 响2嗑)2+塌)2+2(5> (加金+ Vc 上 + afa -j)2= (a+ b+ c)2,所以 a+ b+ c< 3.(10 分)汽22.解：V 平面 ADE，平面 ABCD ,又/ ADE =万，：DEXAD.DE?平面 ADE ,平面 ADE n平面 ABCD =AD , ：. DE，平面 ABCD.由四边形ABCD为边长为2的正方形，：DA, DC, DE两两互相垂直.以D为坐标原点，dX , DC, 51为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.(2分)由EF，平面ADE,且EF=1,：D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), E(0, 0, 2), C(0, 2, 0), B(2, 2, 0), F(0, 1, 2).(1) Ai = (-2, 0, 2), DF = (0, 1, 2),贝cos <AE, DF>届4 回|AE|。行2或X* 5AE和DF所成角的余弦值为yio八5 (5 分)(2) DB = (2, 2, 0), DF = (0, 1, 2),设平面 BDF 的一个法向量为 n = (x, y, z),n DB=2x + 2y = 0,由 一取