导数知识点归纳及应用

1、导数知识点归纳及应用一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式C 0;（ C为常数） xnnxn1; (sin x) cosx； (cosx) sinx； (ex)ex；x、x . (a ) a In a ；1 In x ；x1 logax -logae.x例1:下列求导运算正确的是 （）A (x+ 丄)x112xB (log 2x), 1=xln 2C2 导数的运算法则X ,x(3 )=3 log se2 /(x cosx)=-2xsinxIII法则 1 : ( u v) u v.法则 2: (uv)' u'v uv'.若C为常数,则（Cu）'

2、; Cu'.法则3:-vu'v uv'v2(v0) o3. 复合函数的导数形如y=f （x ）的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解 > 求导 > 回代。法则：y / I x = y / lu | x 或者 f (x) f ( )*(x).练习：求下列各函数的导数:x x5 sin x（1）y2；x(2) y (x 1)(x 2)(x 3);“、x2 x(3) y sin 1 2cos 24(4) y1三、导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f (x

3、)在点p (x 0, f (x 0)处的切线的斜率是f '( x 0 )。相应地，切线方程为yy0=f/(x0)(xx0)。例：曲线 f(x)= x33+ x- 2在p0处的切线平行于直线y= 4x-1 ，则 p0 点的坐标为()A(1,0)B(2,8) C(1,0) 和(1, 4)D(2,8) 和( 1, 4)四、导数的应用1. 函数的单调性与导数(1) 如果 f ' (x) 0，则 f (x) 在此区间上为增函数；如果f'(x)0,贝U f(x)在此区间上为减函数。(2) 如果在某区间内 恒有f'(x)0,则f (x)为常数。例：函数f(x) x3 3x21

4、是减函数的区间为()A (2, ) B ( ,2) C ( ,0) D(0, 2)2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正, 右侧为负； 曲线 在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；例:函数f (x) x3 ax2 3x 9,已知f(x)在x 3时取得极值，则a =()A 2B 3C4D53最值：在区间a , b上连续的函数f (x)在a , b上必有最大值与最小值。但在开区间( a, b)内连续函数f (x)不一定有最大值，例如 f (x) x3,x ( 1,1) 。函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极

5、值是比较极值点附近的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最 值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例： 函数 f(x) x3 3x 1在闭区间 -3 ，0上的最大值、最小值分别是 .(数学选修1-1)第一章导数及其应用基础训练组一、选择题33. 函数y二x + X的递增区间是()A (0,) B . (,1) C . (,) D . (1,)4. f(x) ax3 3x2 2,若 f'( 1) 4,则 a 的值等于()19161310A.BC.D3 33 36.函数 y x

6、4 4x3在区间2,3上的最小值为()A. 72B.36C. 12D.0二、填空题1若 f (x) X3,f(Xo)3，则 xo 的值为 2曲线y x3 4x在点(1, 3)处的切线倾斜角为 ;sin x3函数y 的导数为；x4. 曲线y Inx在点M(e,1)处的切线的斜率是 ，切线的方程为 5函数y x3 x2 5x 5的单调递增区间是 。三、解答题1求垂直于直线2x 6y 10并且与曲线y x3 3x25相切的直线方程。3求函数f (x) x5 5x4 5x31 在区间1,4上的最大值与最小值。4.已知函数y ax3bx2，当x 1时，有极大值3 ；(1)求a,b的值；(2)求函数y的极

7、小值。例1.已知函数y xf (x)的图象如图所示(其中 f (x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中 y f (x)的图象大致是()32例2已知函数f (x) x bx ax d的图象过点P( 0,2),且在点M( 1, f ( 1)处的切线方程为6x y 70.例4.设函数f x x3 bx2(i)求b、c的值。例 5.已知 f (x) =x3 ax2(i)求函数y f (x)的解析式；(n)求函数y f (x)的单调区间.cx(x R)，已知 g(x) f (x) f (x)是奇函数。(n)求g(x)的单调区间与极值。2bx c在x=1, x=时，都取得极值。求 a、b的值。3例

8、7:已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)ex(x R),其中 a R(1) 当a 0时，求曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线的斜率;2(2) 当a §时，求函数f(x)的单调区间与极值。导数知识点归纳及应用 教师一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式C 0;( C为常数) xnnxn1; (sin x) cosx；(cosx) sinx；(ex)x e ；(ax)a I n a ；In x15x loga1.x -logae.x例1 :下列求导运算正确的是1. . 11A (x+)12B (log 2x)=xxx I n 2解析:1A 错

9、， (x+)112xxB正确， (log2X)'=1xln 2C错， (3x)'=3x| n3D错，T (x 2cosx)'2=2xcosx+ x (-sinx)2 导数的运算法则()一x ,x2C (3 )=3 log seD (x cosx)=-2xs inx法则1:(u v)u v.法则2:(uv)'1 1 u v uv .若C为常数，则(Cu)法则3:uu'v uv' /2(v0)。vv3.复合函数的导数Cu'.形如y=f (x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 > 求导 > 回代。法则：y / 丨 x =

10、 y / lu | x 或者 f (x) f ( )*(x).练习：求下列各函数的导数:5x(1) yx sin x2x(2) y (x 1)(x 2)(x 3);(3) yx2 .sin 1 2 cos ;2解：(1) y125x2x2xsinxx3sin xx-y' (x32)(x3) (x 2 sinx)52 3x2 2x 3sinx x+3x+2) (x+3)3x2322+6x+11x+6, yf =3x+12x+11.2COSx(3 )y=x-sin2x cos2-sin x,2111y2sinx(sin x)22cosx.(4)y111x 1x21. x1, x(1 x)(

11、1、x) 1 x y22(1 x)21x(1 x)2(1x)2=x(x(2)y=2四、导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f (x)在点p (x 0，f (x 0)处的切线的斜率是 f' (x0)。相应地，切线方程为 y y 0 =f (x o) (x x。) o例：曲线f (x) = x3 + x- 2在po处的切线平行于直线 y二4x- 1,贝U po点的坐标为()A (1,0)B (2,8)C. (1,0)和(1, 4) D. (2,8)和(1, 4)四、导数的应用1.函数的

12、单调性与导数(1) 如果f'(x)0，则f (x)在此区间上为增函数；如果f'(x)0,贝U f (x)在此区间上为减函数。(2) 如果在某区间内 恒有f'(x)0,则f (x)为常数。例:函数f(x) x3 3x21是减函数的区间为()A (2,) B. (,2) C (,0)D (0, 2)解析:由 f/(x) 3x2 6x <0,得 0<x<2函数f(x) x3 3x21是减函数的区间为(0, 2)2 极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为

13、正；例：函数 f(x) x3ax23x9,已知f (x)在x3时取得极值，则 a= ()A2B3C 4 D5 解析 ：- f/(x)3x2 2ax3，又 f (x)在x3时取得极值 f/( 3)30 6a 0则a =53最值：在区间a , b上连续的函数f (x)在a , b上必有最大值与最小值。但在开区间( a, b)内连续函数f (x)不一定有最大值，例如 f(x) x3,x ( 1,1)。函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最

14、 值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例：函数 f(x) x3 3x 1在闭区间 -3 ， 0上的最大值、最小值分别是.解析 ：由 f '(x) 3x2 3=0，得 x1，当x 1时，(x)>0,当 1 x 1时，&)<0,当x 1时，(x)>0,故f(x)的极小值、极大值分别为f( 1) 3、f (1)1，而 f ( 3)17、f(0) 1故函数 f(x) x3 3x 1在-3 ， 0上的最大值、最小值分别是3、 -17。(数学选修1-1 )第一章导数及其应用基础训练A组(数学选修1-1)第一章导数及其应用基础训练组一、选

15、择题33. 函数y二x + X的递增区间是()A (0,) B . (,1) C . (,) D . (1,)4. f(x) ax3 3x2 2,若 f'( 1) 4,则 a 的值等于()19161310A.BC.D3 33 36.函数 y x4 4x3在区间2,3上的最小值为()A. 72B.36C. 12D.0二、填空题1若 f (x) X3,f(Xo)3，则 xo 的值为 2曲线y x3 4x在点(1, 3)处的切线倾斜角为 ;sin x3函数y 的导数为；x4. 曲线y Inx在点M(e,1)处的切线的斜率是 ，切线的方程为 5函数y x3 x2 5x 5的单调递增区间是 。三

16、、解答题1求垂直于直线2x 6y 10并且与曲线y x3 3x25相切的直线方程。3求函数f (x) x5 5x4 5x31 在区间1,4上的最大值与最小值。4.已知函数y ax3bx2，当x 1时，有极大值3 ；(1)求a,b的值；(2)求函数y的极小值。一、选择题3. C y' = 3x2 + 1> 0对于任何实数都恒成立4. D f (x) 3ax26x, f ( 1) 3a 6 4,a3!2!2II6. Dy 4x 4,令 y0,4x4 0,x 1,当 x 1 时,y 0;当 x 1 时,y 0得y极小值y|x 1 0,而端点的函数值y|x 2 27, y lx 3 72

17、，得ymin 0二、填空题1.1f'(x°) 3x02 3,x013 '2'32 y 3x 4,k y|X1 1,ta n 1,-4 4IIxcosx sin x ' (sin x) x sin x (x) xcosx sin x3.x2y2 x2 x4.1,x eey 01yl,kxy' |x1e 一，ye1】(x ee),ye5.(,5),(1,3)令y'3x22x 50,得x5,或 x 13三、解答题1.解：设切点为P(a, b)，函数y x3 3x2 5的导数为y' 3x2 6x切线的斜率k y' |x a 3a

18、2 6a 3，得a 1，代入到y x3 3x2 5得 b3，即P( 1,3), y 33(x 1),3xy 60。3解：f (x)5x420x315x2 5x2(x 3)(x 1),当 f (x)0 得 x 0,或 x 1，或 x 3 ,- 0 1,4 ,1 1,4 ,3 1,4列表：x1(1,0)0(0, 4)f'(x)0+0+f(x)0/1/又 f(0)0, f( 1) 0 ;右端点处 f(4)2625 ;函数y x5 5x4 5x3 1在区间1,4上的最大值为2625，最小值为0。' 2 '4.解：(1) y 3ax2bx，当 x 1 时，y |x 1 3a 2b

19、 0, y |x 1 a b 3 ,3a 2b 0a b 3 ，a6,b 932'2'(2) y 6x3 9x2, y 18x2 18x，令 y 0,得 x 0,或 x 1y极小值 yX 00经典例题选讲例1.已知函数y xf (x)的图象如图所示(其中 f (x)是函数f (x)的导函数)，下面四个图象中 y f (x)的图象大致是()ABCD解析:由函数y xf (x)的图象可知:当 x 1 时，xf (x) <0， f (x) >0，此时 f (x)增当 1 x 0 时，xf (x) >0， f (x) <0，此时 f (x)减当 0 x 1 时，

20、xf (x)<0， f (x)<0，此时 f (x)减当 x 1 时，xf (x) >0， f (x)>0，此时 f (x)增故选C32例2已知函数f (x) x bx ax d的图象过点P( 0,2),且在点M( 1, f ( 1)处的切线方程为6x y 70.(I)求函数y f (x)的解析式；(n)求函数 y f(x)的单调区间解：(I)由f(x)的图象经过P ( 0, 2)，知d=2,所以 f (x) x3 bx2cx 2,2f (x) 3x 2bx c.由在M( 1, f ( 1)处的切线方程是6x y 70，知32232f (x) f (x) x bx cx

21、 (3x 2bx c) = x (b 3)x (c 2b)x c是6 f( 1) 70,即f ( 1) 1, f ( 1)6.3 2b c1 b c；6,:2即1.2b c 3.b c0,解得b c3.故所求的解析式是f(x)3 x3x23x 2.(n)f (x)3x2 6x3.令 3x2 6x 30,即 x2 2x 10.解得x-112,x212.当x1.2,或x 1 一 2时,f (x)0;当12 x1、.2时,f (x)0.故 f (x)x33x23x2在(,12)内是增函数，在(1.2,1,2)内是减函数，在(1,2,)内是增函数.例4.设函数f x3 xbx2cx(xR)，已知g(x

22、) f (x) f (x)是奇函数(I)求b、c的值。(n)求g(x)的单调区间与极值。解：()f x3 xbx2cx, /2.f x 3x 2bx c。从而g(x)一个奇函数，所以(n)由(I)知 g(x)(,迈)和(、-2g(0)0得c 0，由奇函数定义得b 3 ;32x 6x，从而g (x) 3x 6，由此可知，)是函数g(x)是单调递增区间；(2. 2)是函数g(x)是单调递减区间;g(x)在 x时，取得极大值，极大值为 4逅,g(x)在x ,2时，取得极小值，极小值为 4.2。322例5.已知f (x) =x ax bx c在x=1, x= 时，都取得极值。 3(1)求a、b的值。解：(1)由题意f