应力应变状态分析

1、第七章应力、应变状态分析页码题号7-217-327-537-637-747-957-1267-1577-1687-2097-2197-22107-24 11*7-26 12（也可通过左侧题号书签直接查找题目）MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正7-2 已知应力状态如图所示（应力单位为 应力与切应力。i（a）解：由题图所示应力状态可知,Zx - 30MPa,Zy 二 10MPa, n = 20MPa, a 45o将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得指定斜截面上的正应力和切应力分别 为30 +10。Z - ( - 20sin90o)MPa - 40.0MPa,3010 on = (-

2、si n90o)MPa - IQOMPa(b)解：由题图所示应力状态可知，Zx - 30MPa, zy - 10MPa, n - 20MPa, a 22.5°由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为Z - ( 30 1030 10 cos45o 20sin45MPa 二n 二(3； 10 sin45o 20cos43)MPa = 038.3MPa(c)解：由题图所示应力状态可知,Zx= 10MPa, Zy 二 20MPa, n 二 15MPa, a60°由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为“ r10 20 丄 10 + 20/ dCC。、 / dec。、"

3、仆Z vcos( 120 ) 15sin( 120 )MPa2 2n = 10 20si n( 120°) 15cos( 120°)MPa = 20.5MPa ' 2=0.490MPa(d)解：由题图所示应力状态可知,Zx = 30MPa, Z = 50MPa, n = 0, a = 150°由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为Z - 3°；50 30Q50 cos( 300°)MPa 二 35.0MPa n 二30 £ 50sin( 300°)MPa 二 8.66MPa7-3试用图解法(应力圆)解题 7-1。

4、解：题7-1图所示应力状态的应力圆示如图7-3 。15由图(a)可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为=Z5°=100MPa,=150MPa由图(b)可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为=47.3MPa,30°30°7.3MPa7-5 图示双向拉伸应力状态，应力x - " y -。试证明任意斜截面上的正应力均等于，而切应力则为零。题7-5图证明：由题设条件可知，Zx = Z = z n = 0。将上述已知数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有SC0S2a2 2n = Zsi n2 a 0 二 0a 2由于式中a为任意值，故原命题得证。7-6图示受

5、力板件，试证明 a点处各截面的正应力与切应力均为零。题7-6图证明：在A点近处假想沿任意斜面 m - m方向切一刀，取微体（含 A点）如图7-6所示。设m m面之法线与x轴的夹角为 a并假设该斜面之面积为 dA，其上作用有正应力 Za和切应力n°由微体在m m面法向和切向力的平衡方程F : °, ZadA 二 0n及分别匚二 °, ndA 二 °F t得到Z = °, n 二 °由于方位角a是任取的，这就证明了 A点处各截面上的正应力与切应力均为零。顺便指出，本题用图解法来证更为方便，依据A点上方两个自由表面上的已知应力（零应力）画应

6、力图，该应力圆为坐标原点处的一个点圆。至此，原命题得证。7-7 已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示（应力单位为MPa ），试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。题7-7图解：根据题图所给的已知应力，可画出应力圆来，如图7-7所示。从所画的应力圆上可以量得两个主应力，它们是:Z 二 69.7MPa, z2 二 9.9MPa由于是平面应力状态，故知Z = 0 从该应力圆上还可以量得 Z的方位角为a = 23.7° 式中负号表示从AB面的外法线沿顺时针方向旋转。7-9 图示悬臂梁，承受载荷 F = 20kN作用，试绘微体 A，B与C的应力图，并确定 主应力的大小及方位。rlflF

7、c1ImZ题7-9图解：由题图可知，指定截面的剪力、弯矩分别为Fs = F 二 20kN, | M | = Fa 二 20 1kN 二 m 二 20kN 二 m微体A,B,C的应力图依次示如图7-9 (a),(b)和(c)。| M | Za : Wz由此可知，主应力各为对于应力图(a)，其正应力为36 20 10 3 N72 2 = 6.00 10 7 Pa = 60.0MPa0.050 0.200 2 m 2Z 二 60.0MPa, Z2 7 二 0z的方位角为对于应力图（b）,其正应力和切应力分别为二 3.00 10 7 Pa 二 30.0MPa| M |皿 | _12 .20 .10 3

8、 .0.050 NI z 一 0.050 0.200 3 m 22.25 10 6 Pa 二 2.25MPaFsS z (3)12 20 103 0.050 0.050 0.075N 0.050 0.200 3 0.050m 2极值应力为由此可知，主应力各为.(ZB )2 n 二15.0 - .15.0 2 2.252 MPa 二j30.2MPaT 0.1678Zi = 30.2 MPa, z = °, Z3 = 01678 MPa由tan a =0.0745830.00.1678得z的方位角为a - 4.27o对于应力图（c），其切应力为3FS3 20 103 N2 0.050 0

9、.200m2二 3.00 106 Pa 二 3.00MPa由此得各主应力依次为Z - 3.00MPa, Z2 - 0, Z - 3.00MPaZ的方位角为a 二 45o7-12 已知应力状态如图所示，试求主应力的大小。解：由题图可知,Zx = 60 MPa, Zy = 20 MPa, n = 40 MPa, Zz = 20 MPa由应力作用线均平行于 x y平面的三个应力分量可得60 202-（6° 2 20）2 402 MPa -84.74.72MPa将此二极值应力与 Zz 一同排序，得三个主应力依次为Z = 84.7 MPa, z = 20.0 MPa, Z = 4.72 MPa

10、7-15 在构件表面某点0处，沿0°, 45°, 90°与135°方位粘贴四个应变片，并测得相应正应变依次为-6 -6 -6 _.-6 、= 450 X 10, £ 45= 350 X 10 , £ 90= 10° X 10与 s 1350 = 100 X 10 ，试判断上述测试结果是否可靠。题7-15图解：依据平面应变状态任意方位的正应变公式(7-15 )，有£oo& 二 450 10 6二勺二100 10 6& -£y7 = 350 106将式和（b）的结果代入式（c）,Yy = (5

11、50700) 10 6 - 150 10 6(a)(b)(c)(d)将以上所得结果（a）、（b）和（d）代入公式（7-15 ），计算勺35o应有的测量值,1 1335o(450 100) 10 6 - (450 100) 10 6 cos270°1 ( 150 10 6 )si n270。= 200 10 6勺35。的实际测量值比上述结果小了一半，这说明题中所给的这组测试结果不可靠。7-16 图示矩形板，承受正应力 X与y作用，试求板厚的改变量 与板件的体积改变量 V。已知板件厚度 =10mm ,宽度b = 800mm ,高度h = 600mm,正应力 x =80MPa ,I = 4

12、0 MPa，材料为铝，弹性模量 E=70GPa，泊松比 二=0.33。题7-16图解：此为平面应力状态问题。设板厚度方向的正应变为3，则有板厚的改变量为0.33 0.01070 109(80 40) 106 m -1.886 10 6m -0.001886mm体应变为_2JE(Zx Zy Zz)由此可得该板件的体积改变量为V _ (12卩)_ E(Zx ZyZz)(bhS)(12 0.33)-70 109-9.33 10 7m3解：由题图可知,故有题7-20图AB上任一点处有Zx '，Zy = 0, n = 0bh45°F2bhZ 45°由平面应力状态的广义胡克定律

13、可得&AB 二 £45°(Z45°)_(1 JF45° ) 一45 2Ebh7-21在构件表面某点O处，沿0°、45°与90°方位，粘贴三个应变片，测得该三方(80 40) 106 (0.800 0.600 0.010)m33二 933mm7-20 图示矩形截面杆，承受轴向载荷F作用，试计算线段AB的正应变。设截面尺 寸b和h与材料的弹性常数 E和二均为已知。位的正应变分别为 讦450 X 10 -6, £45= 350 X 10 -6与e9(= 100 X 10 -6,该表面处于平面应力状态，试求该点处的

14、应力X，y与X。已知材料的弹性模量E= 200GPa，泊松比二=0.3。解：由公式(7-15)可知，§ °cos0Y 0 si n0(a)0222§5 °§ §=十-§c°s90°sin 90(b)222§ §§ °Y ._§0 °=+22c°s180sin 1802(c)联解方程、(b)和(c),得乂 = 二 450 10 6,二100 10Yy = %o90o2 电5o =150 10根据平面应力状态的广义胡克定律，有200109

15、Pa2(450 10 60.310.3EZy =2 （与卩©1112(y)200 109 Pa0.32(100 10 6100 -10 6 ) = 1055 108 Pa = 105.5 MPa0.3 450 106 ) = 5.16 107Pa 二 51.6 MPaE Yy2(1以根据剪切胡克定律，有200 109 Pa ( 150 10 6) 2 (1 0.3)=1.154 107 Pa = 11.54 MPa7-22 如图所示，一直径为 d的橡皮圆柱体，放置在刚性圆筒内，并承受合力为 F 的均布压力作用，试求橡皮柱的主应力。设橡皮的弹性模量与泊松比分别为E与二，并忽略橡皮与刚筒

16、间的摩擦。题7-22图解：由图7-22可知，橡皮圆柱体中的微体处于三向压应力状态（这里以图示应力箭头为 正），且X、Z方向的正应变均为零，即S7-221& =- Z K Z Z )1=-ZKZy Zz)二 01=- Z KZx Zy)二 0将此二方程联立求解，得4F(压)由此可知，橡皮柱的三个主应力依次为4hF匸？4F(1 Knd 2_ nd27-24 在建立圆轴扭转切应力公式时，曾提出若干假设，试根据该假设说明圆轴横截 面与径向纵截面上均无正应力。解：根据各横截面仍保持平面， 其形状、大小均不改变，如同刚性圆片这一假设可得(这里米用圆柱坐标)5=仃=0(a)其中，足标 和|丨分别代表

17、圆轴的径向和环向。又据横截面间的距离均不改变这一假设可得& = 0(b)依据圆柱坐标系中的广义胡克定律，有“子亡(仃+&)+胡I 十 k I2 k衍=自总2川5) + d(c)Zx =為已(5 + 5 5) + 詁将式和(b)代入式(c)，得到0 Z = 0, Z 二 0这就说明圆轴横截面与径向纵截面(及同心圆柱面)上均无正应力。7-25 图示碳/环氧复合材料(T300/5208 )微体处于平面应力状态，已知应力x =100MPa , 'y =80MPa , xy = 50MPa，材料的弹性常数见表 7-1，试求正应变5和5与切 应变Xy，并绘制微体变形后的大致形状。题7-25图解：偏轴应力、应变关系为S11S12Sl2S22S16 S26(a)查表7-1，当a = 45时，有s11 = s22 = 59.8 , S36 - 1057, s12 = 9.99,S|6 S26 45.8单位均为(103 GPa) 1将以上数据及各应力值代入式（a），得59.89.9945897476.08 10I I13.53厂 7.47 10 3,厂 6.08 10 3, Yy - 1353 10 3微体变形后的大致形状示如图可见，对于复合材料等各向异性材料，存在拉剪耦合效应。*7-26试计算题7-16所述板件的体应变、应变能密度与畸变能密度。解：1.计