整数整除性问题

1、最新高中数学培优拔高专题(附经典解析)整数(整除)性问题【探究拓展】 n探究1： (1)二项式次,其中n N,且3 n 2021,在其二项展 x开式中,假设存在连续三项的二项式系数成等差数列,问这样的 n共有 多少个？解：连续三项的二项式系数分别为C：1、C：、C：1(1 k n 1),由题意2Cnk Cnk 1 C：1,依组合数的定义展开并整理得n2 (4k 1)n 4k2 2 0 ,故n1,24k 1.8k 9贝U 8k 9 (2m 1)22k m2 m2,代入整理得n1 (m 1)2 2,叫 m2 2 ,442 1936, 452 2025,故 n 的取值为 442 2,432 2 ,3

2、2 2 ,共 42 个(将所求参数求生,根据整数性质加以研究,尽量由现分式、根式等形式)(2)Tn 1(1 ),问是否存在正整数 m, n,且1vmvn,使得 3 3n 1T1, Tm, Tn成等比数列？假设存在,求由 m, n的值,假设不存在,说明理由？解：-Tn 1(1 ) 1 Tn3 3n 13 3n 1丁 丁人工成等比数列.(一)2 *ill*iiy/ ,3m 1又m为正整数且m 2,m 2, 等比数列.(3)数列%是等差数列,现1mnT1 -,Tm, Tn一4 3m 13n 1二L 所以 m 1-、2,1 2、24 3n 1 1233n=16,且 1mm2n 102里舍去负根.预设提

3、问：如何利用好 m,n是正整数实现对此题的研究是此题的难点Qa3 5 d, 要使得出最大,即需要 d最大,即n m及m n 102取最大值.Q m,n N , mn 64 ,当且仅当n 64且m 1时,n m及m n 102取最大值.从而最大的d 电,所以,最大的a3 1探究2： 2021年1数列an的通项公式为工六,Sn是其前n最新高中数学培优拔高专题(附经典解析)m项的和,问是否存在正整数m,n,使得33与 成立？假设存在,求Sn 1m 2m 1由所有符合条件的有序实数对m,n ；假设不存在,请说明理由.1、一解：Sn4(1 -1),由H二,得旬寸m工12nSm m 2m 14(1 3)m

4、 2m 1当m 4时,分母小于0恒成立,化简可知不等式不可能成立, 又由于m 是正整数,故m 1,2,3当m 1时,由()得,2 2n 3 8 ,所以n 1 ；当m 2时, 由()得,2 2n 2 12 ,所以n 1或2 ；当m 3时,由()得,2 2n 20 ,所以n 2 或3或4,综上可知,存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为： (1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).拓展1：等差数列an的公差d不为0,等比数列bn的公比q为小222于1的正有理数,假设a1 dh d2,且a1a2a3是正整数,那么 q等于b1b2b3 . 2拓展2： mW N,假设函数f(x) 2x m而F m 10存在整数零点,那么 m的取 值集合为解：当xS Z ,且x 0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.假设a4 a1 88,那么q的所有可能的值构成的集合为 2T-b_4b_3 x, g(x) x2(2a2 x2)(a Z*,b Z), 假设存在