高等数学备课资料：第三章 中值定理与导数的应用 04 第四节 函数单调性、凹凸性与极值

1、第四节 函数单调性、凹凸性与极值 我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法.分布图示 单调性的判别法 例1 单调区间的求法 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 曲线凹凸的概念 例9 例 10 曲线的拐点及其求法 例11 例12 例13 函数极值的定义 函数极值的求法 例14 例15 例16 第二充分条件下 例17 例18 例19 内容小结 课堂练习 习题3-4 返回内容要点 一、函数的单调性：设函数在a, b上连续,

2、 在(a, b)内可导.(1) 若在(a, b)内, 则函数在a, b上单调增加;(2) 若在(a, b)内, 则函数在a, b上单调减少. 二、曲线的凹凸性：设在a, b上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 则(1) 若在(a, b)内，则在a, b上的图形是凹的;(2) 若在(a, b)内，则在a, b上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数； (2) 令，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点； (3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧的符号，确定曲线的凹凸区间

3、和拐点.四、函数的极值极值的概念；极值的必要条件；第一充分条件与第二充分条件；求函数的极值点和极值的步骤：（1） 确定函数的定义域，并求其导数;（2） 解方程求出的全部驻点与不可导点;（3）讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;（4） 求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值.例题选讲函数单调性的判断例1 (E01) 讨论函数的单调性.解 又 在内， 函数单调减少；在内， 函数单调增加.注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.例2 (E02) 讨论函数的单调区间.解 当时，导数不存在

4、.当时， 在上单调减少；当时， 在上单调增加；单调区间为，.注意: 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，但是上单调增加.注：从上述两例可见，对函数单调性的讨论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导数在各子区间的符号，从而确定出函数在各子区间上的单调性，每个使得的符号保持不变的子区间都是函数的单调区间.求单调区间例3 (E03) 确定函数的单调区间.解 解方程得当时， 在上单调增加；当时， 上单调减少；当时， 在上单调增加；单调区间为例4求函数的单调区间.解 令 解得 在 处不存在.在内，函数单调增加. 在内，函数

5、单调增加.在内，函数单调减少. 在内，函数单调增加.例5 当时， 试证成立.证 设则在上连续，且在内可导， 在上单调增加， 当时，即证毕.应用单调性证明例6 (E04) 试证明：当时, .证 作辅助函数 因为在上连续，在内可导，且当时，又 故当时，所以例7 (E05) 证明方程在区间内有且只有一个实根.证 令因在闭区间延续，且根据零点定理在内有一个零点.另一方面，对于任意实数有所以在内单调增加，因此曲线与轴至多只有一个交点.综上所述可知，方程在区间内有且只有一个实根.例 8 证明方程在区间内有两个实根.证 令欲证题设结论等价于证在内有两个零点.令 因故在内有一零点.又因在内故在内单调增加，这零

6、点唯一.因此, 在内有且仅有两个零点, 证毕.例9 (E06) 判定 的凹凸性.解 因为 所以，题设函数在其定义域内是凹的.例10 (E07) 判断曲线的凹凸性.解 当时， 曲线在为凸的；当时， 曲线在为凹的；注意到点是曲线由凸变凹的分界点.例11 (E08) 求曲线的拐点及凹、凸区间.解 易见函数的定义域为令得02/3+00+凹的拐点凸的拐点凹的所以，曲线的凹区间为,凸区间为拐点为和.例12 求曲线 的拐点.解 令得 在内曲线有拐点为注：若不存在，点也可能是连续曲线的拐点.曲线凹凸性判断例13 (E09) 求函数的凹凸区间及拐点.解 函数在处不可导，但时，曲线是凸的，时，曲线是凹的.故点为曲

7、线的拐点例14(E10) 求出函数的极值.解 ,令得驻点列表讨论如下：00极大值极小值所以, 极大值极小值例15 (E11) 求函数的极值.解 函数在内连续，除外处处可导，且 令得驻点为的不可导点; 列表讨论如下:不存在0极大值极小值 极大值为极小值为例16 求函数 的单调增减区间和极值.解 求导数当时而 时不存在 ,因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:不存在0极大值0极小值由上表可见：函数在区间单调增加, 在区间单调减少. 在点处有极大值, 在点处有极小值如图.例17 (E12) 求出函数的极值.解 令得驻点又故极大值故极小值注意：时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例18 (E13) 求函数的极值.解 由得驻点因故在处取得极小值，极小值为因故用定理3无法判别.考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号:当取 左侧邻近的值时, 当取右侧邻近的值时, 因的符号没有改变，故在处没有极值. 同理，在