同济大学高等数学重积分

1、第十章重积分一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f x在区间a,b上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分 的概念.本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用第1节二重积分的概念与性质1.1 二重积分的概念下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义1.1.1 .曲顶柱体的体积曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域 D ,其侧面是以D的 边界为准线的母线平行于 z轴的柱面，其顶部是在区域 D上的连续函数z f x,y ,且 f x, y 。所表示的曲面（图101）.图 101现在讨

2、论如何求曲顶柱体的体积.分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10-2）.图 102（1）分割闭区域D为n个小闭区域同时也用Ai崇示第i个小闭区域的面积，用d Aq表示区域Ao的直径（一个闭区域的直径 是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为 n个小曲顶柱体.（2）在每个小闭区域上任取一点对第i个小曲顶柱体的体积，用高为 f（3 #而底为Af的平顶柱体的体积来近似代替.（3）这n个平顶柱体的体积之和 就是曲顶柱体体积的近似值.（4）用人表示n个小闭区域 a的直径的最大值，即 入max

3、d Ap.当入0 （可理解为Ai敞 缩为一点）时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：1.1.2 平面薄片的质量设薄片在xOy平面占有平面闭区域D,它在点（x, y）处的面密度是pdx,y）.设（x, y） 0 且在D上连续，求薄片的质量（见图10-3）.图 10-3先分割闭区域D为n个小闭区域在每个小闭区域上任取一点近似地，以点（匕，阴）处的面密度尺匕）代替小闭区域吐各点处的面密度，则得到第i块小薄片的质量的近似值为心，于是整个薄片质量的近似值是用入miaxd A 0表示n个小闭区域的直径的最大值，当D无限细分，即当入0时，上 述和式的极限就是薄片的质量M ,即nm 1m pu,邛）ap.

4、人0 .5 i 1以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.定义1设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数z f （x,y）在D上有界.将D分为n个 小区域同时用A i高!不该小区域的面积，记 P的直彳空为d A, 并令入maxd A p .1 i n在吐任取一点(自，")，(i 1,2, L , n),作乘积 并作和式 nSn/，A.i 1若入0时，Sn的极限存在(它不依赖于D的分法及点(储乃)的取法)，则称这个极限值为函数z f (x,y)在D上的二重积分，记作 f(x, y)d ,即Dnf (x,y)d lim f

5、 ( i, i) A i ,(10-1-1)Di 1其中D叫做积分区域，f(x,y)叫做被积函数，do叫做面积元素，f(x,y)db叫做被积表达 n式，x与y叫做积分变量，f(34)Aq叫做积分和.i 1在直角坐标系中，我们常用平行于 x轴和y轴的直线(y 二常数和x=常数)把区域D分割 成小矩形，它的边长是x和Ay,从而Ab Ax Ay,因此在直角坐标系中的面积元素可写成d dx dy,二重积分也可记作 nf(x,y)dxdy lim0f( i, i) i .Di 1有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数z f (x, y)在区域D上的二重积分V

6、f(x, y)d ； D薄片的质量M是面密度px,y)在区域D上的二重积分M (x, y)d . D因为总可以把被积函数z f(x,y)看作空间的一曲面，所以当 f(x,y)为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当 f(x,y)为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是 曲顶柱体体积的负值.如果f (x,y)在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的， 那么f (x, y)在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.如果f(x,y)在区域D上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称£自d)在口上 可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分

7、的情形一样，我们只叙述有关结论，而 不作证明.如果f(x,y)是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则 f(x,y)在D上可积.我们总假定z f(x,y)在闭区域D上连续，所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的， 以后就不再一一加以说明.1.1.3二重积分的性质设二元函数f (x,y),g(x,y)在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.性质1常数因子可提到积分号外面.设k是常数，则kf (x, y)d k f (x, y)d . DD性质2函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即 f (x, y) g(x, y)

8、d f (x, y)d g(x,y)d .性质3设闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则D上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.例如D分为区域Di和D2(见图10-4),则f(x,y)d f(x,y)d f(x, y)d .(10-1-2)DD1D2图 10-4性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.性质4设在闭区域D上f(x,y) 1, °为D的面积，则1d dDD从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的 底面积.性质5设在闭区域D上有f(x,y) g(x,y),则f(x,y)d g(x,y)dDD由于f(x,y) f (x,y)

9、|f (x,y)又有f(x, y)d f(x, y)d .DD这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分性质6设M、m分别为f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，«为D的面积，则有m f (x, y)d M .D上述不等式是二重积分估值的不等式.因为m f (x, y) M ,所以由性质5有md f (x, y)d Md ,DDD即m md f (x, y)d Md M .DDD性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续，得D的面积，则在D上至少存在一点 小力使 得f (x,y)d f(,)D这一性质称为 二重积分的中值定理.证 显然 0.因f(x,y)在有界

10、闭区域D上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D上必存在一点 x1, y1使f x1,y1等于最大值 M ,又存在一点(x2, y?)使f (x2,y2)等于最小 值m,则对于D上所有点(x,y),有由性质1和性质5,可得m d f (x, y)d M d .DDD再由t质4得m f (x, y)d M ,D 或1.m f (x, y)d M .D根据闭区域上连续函数的介值定理知,d上必存在一点(n),使得f(x,y)df(，)，f(x,y)d f( , ) ,(E W D .D证毕.二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：当Sz f(x,y)为空间一连续曲面时，对以S为顶的

11、曲顶柱体，必定存在一个以D为底，以D内某点(5力的函数值f小为高的平顶柱体，它的体积 f(Er) b就等于这个曲顶柱体的 体积.习题1011.根据二重积分性质，比较ln(x y)d与ln(x y) 2 d的大小，其中DD(1) D表示以(0,1)、(1,0)、(1,力为顶点的三角形；(2) D表示矩形区域 x,y |3 x 5,0 y 2 .(3) 据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：(1) a &_y Isin2 xsin2 yd , D x ,y |0 x 为 0 y 力；D22_22_ I x 4y 9 d , D x,y |x y 4. D5.设D 0,10,1 ,证明函数

12、在D上不可积.第2节二重积分的计算只有少数二重积分(被积函数和积分区域特别简单)可用定义计算外，一般情况下要用定 义计算二重积分相当困难.下面我们从二重积分的几何意义出发，来介绍计算二重积分的 方法，该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题.2.1直角坐标系下的计算在几何上，当被积函数f x,y 0时，二重积分f(x,y)d的值等于以D为底，以曲面Dz f (x,y)为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用切片法”来求曲顶柱体的体积V.设积分区域D由两条平行直线x a, x b及两条连续曲线y 1 x ,y 2 x (见图105) 所围成，其中a b, 1 x 2 x ,则D可表示为D x

13、,y | a x b, (j)1 x y (j)2 x .图 105用平行于yOz坐标面的平面x x0 a x0 b去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以区间1 xc , 2 xc为底，以z f(x°,y)为曲边的曲边梯形(见图106),所以这截面的面积为 d , D x, y |x2 y2 a2; D(2) 4ax2d , D x, y |x2 y2 a2.D(3) f x ,y为连续函数，求 网2 f (x, y)d ,r 0 < D222D x,y | x x°'V。 r .4.根据二重积分性质，估计下列积分的值：(1) IJ4 + xyd , D x, y

14、 |0 x 2,0 y 2;DA Xo心(x0 )1(x0)f(Xo，y)dy .图 106由此，我们可以看到这个截面面积是xo的函数.一般地，过区间a,b上任一点且平行于yOz坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为fe(x )A X 4(x)f(X，y)dy，其中y是积分变量，x在积分时保持不变.因此在区间a,b上，A x是x的函数，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法,bV A(x)dxa即得f (x,y)dD或记作f (x,y)dD上式右端是一个先对y ,后对x积分的二 积分时，因为是在求x处的截面积A x ,得曲顶柱体的体积为b %(x)b 2(x)a(Y) f (x, y

15、)dy dx ,b 2(x)adx i(x) f(x，y)dy.欠积分或累次积分.这里应当注意的是：做第一次所以x是a,b之间任何一个固定的值，y是积分变量；做第二次积分时，是沿着x轴累加这些薄片的体积 A x dx ,所以x是积分变量.在上面的讨论中，开始假定了f(x,y) 0,而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下：若z f(x,y)在闭区域D上连续，D:a x b, i x y 2 x ,则b 2(x)f (x, y)dxdy adx )f(x,y)dy.(10-2-1)a1( x)D类似地，若z f(x,y)在闭区域D上连续，积分区域D由两条平行直线y a,y

16、 b及两条 连续曲线x 1 y ,x 2 y (见图107)所围成，其中c d, 1 x 2 x ,则D可表示为D x,y |c y d, 1 y x 2y.则有d2(x)f (x, y)dxdy c dy f (x, y)dx.(10-2-2)c1(x)D图 107以后我们称图10-5所示的积分区域为X型区域，X型区域D的特点是：穿过 D内部 且平行于y轴的直线与D的边界的交点不多于两个.称图 10-7所示的积分区域为 Y型区 域，Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个.从上述计算公式可以看出将二重积分化为两次定积分，关键是确定积分限，而确定积分限又依赖于

17、区域 D的几何形状.因此，首先必须正确地画出D的图形，将D表示为X型区域或Y型区域.如果D不能直接表示成X型区域或Y型区域，则应将D划分成若干个 无公共内点的小区域，并使每个小区域能表示成X型区域或Y型区域，再利用二重积分对区域具有可加性相加，区域 D上的二重积分就是这些小区域上的二重积分之和(图108).图 10-8例1计算二重积分xyd ,其中D为直线y x与抛物线y x2所包围的闭区域.解 画出区域D的图形，求出y x与y x2两条曲线的交点，它们是 0,0及1,1 .区域 D (图109)可表示为： 20 x 1, x y x.因此由公式(10-2-1)得本题也可以化为先对x(10-2

18、-2)得积分后与上面结果相同.例2计算二重积分域.解画出积分区域D ,图 1091 xxyd 0 xdx x2 ydyD2 0(x3 x5)dx,后对y的积分，这时区域y 1 x2D易知D :若利用公式(10-2-2),就有也可得同样的结果.2例3计算二重积分与dd yxydD1 yydy xdx.0 yx 2y2 y1xdxx224D可表为：0 y 1, y x ".由公式其中D是由直线y x,x 1和y 1所围成的闭区1, x y图 10-101 13 111y，其中D是直线解求得三线的三个交点分别是y的下限是双曲线y 1,而当1 xD分为D和D2两部分(图1011).于是1 (

19、图10-10),若利用公式(10-2-1),得x31 dx1310(x 1)dx 11y 2, y x和双曲线xy 1所围之闭区域.1,2 ,(1,1)及(2,2).如果先对y积分，那么当22时，y的下限是直线y x,因此需要用直线xx 1时,1把区域D2：1 x 2y 2；y 2.如果先对x积分，那么D：1 y 2,图 10113 3y5x3 28127192 64dy由此可见，对于这种区域 D ,如果先对这比先对x积分繁琐多了 .所以, 特点，选择适当的次序进行积分例4设f(x,y)连续，求证证上式左端可表为于是112y42271 64y积分，就需要把区域D分成几个区域来计算.把重积分化为

20、累次积分时，需要根据区域D和被积函数的b xb bdx f(x,y)dy dy f(x,y)dx .a aa yb xa dx a f (x,y)dy D f (x,y)d 其中D:a x b, a y x (图10 12) 区域D也可表为：a y b, y x b , 图 1012于是改变积分次序，可得 b b f (x,y)d dy f (x, y)dx a y D由此可得所要证明的等式.例5计算二重积分叱db,其中D是直线y x与抛物线y x2所围成的区域 D x解把区域D表不为x型区域，即d= x ,y |0 x 1,x2 y x .于是注：如果化为y型区域即先对x积分，则有1odyy

21、 sin xy xdx .由于 土的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积分 x时，除了要注意积分区域 D的特点（区分是x型区域，还是y型区域）外，还应注意被积函数的特点，并适当选择积分次序.2.2二重积分的换元法与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多.我们知道，对定积分bf x dx作变量替换x始）时，要把f x变成f 4 t , dx变成j（t）dt,积分限a,b也要变 a成对应t的值.同样，对二重积分f x,y d作变量替换D时，既要把f x,y变成f x u，v，y u，v ,还要把xOy面上的积分区域D变成uOv面上的区域 Duv ,并把

22、D中的面积元素d筏成Duv中的面积元素d"其中最常用的是极坐标系的情形.2.2.1 极坐标系的情形下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐标系的原点，极轴与x轴重合，那么点P的极坐标P r,0与该点的直角坐标P x,y有如 下互换公式：x r cos Q y r sin Q 0 r ,0 0 2 兀；r xx 口, 0 arctan ; x,y .x我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设z f x,y在区域D上连续.在直角坐标系中，我们是以平行于x轴和y轴的两族直线分割区域 D为

23、一系列小矩形，从而得到面积元素db dxdy .在极坐标系中，与此类似，我们用 r常数”的一族同心圆，以及 “0常数”的一族过极点 的射线，将区域D分成n个小区域 j i,j 1,2,l ,n ,如图10 13所示.图 1013小区域面积ri ri1： q.记Pj V ri 2 q 2, i,j 1,2,L ,n ,则有用 ri ri j 。 q ,故有d o- rdrd 仇f x,y d(r f r cos 0,r sin 0 rdrd 0.DD这就是直角坐标二重积分变换到极坐标二重积分的公式.在作极坐标变换时，只要将被积函数中的x,y分别换成r cos qr sin 0,并把直角坐标的面积

24、元素d o- dxdy换成极坐标的面积元 素rdrd 0即可.但必须指出的是：区域 D必须用极坐标系表示.在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算.下面分三种情况讨论：(1)极点O在区域D外部，如图1014所示.图 1014设区域D在两条射线9 .9 3之间，两射线和区域边界的交点分别为A,B,将区域D的边界分为两部分，其方程分别为r r1 9,r L 9且均为"向上的连续函数.此时D ，。|1。2。，0。3.于是(2)极点O在区域D内部，如图 积分区域D为1015所示.若区域D的边界曲线方程为r r 9 ,这时D r, 0 |0 r r 0 ,00 2%,且r。在0,2兀

25、上连续.图 1015于是2兀r 6f r cos Qr sin 0 rdrd 0 d 0 f r cos Qrsin 0 rdr .00D(3)极点O在区域D的边界上，此时，积分区域D如图1016所示.图 1016D r,0|a 0 3-0 r r 0,且r。在0,2兀上连续，则有B r ef r cos 0,r sin 0 rdrd 0 d 0 f r cos Qrsin 0 rdr .a 0，D在计算二重积分时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域D与被积函数的形式来决定一般来说，当积分区域为圆域或部分圆域，及被积函数可表示为f x2 y2或f ?等形式时,x常采用极坐标变换，简化二重积分的

26、计算 .例6计算二重积分1 x2 y2IJ；22dxdy ,d 1 x y其中 D x ,y |x 2 y2 a2 0 a 1 .解在极坐标系中积分区域 D为D r,。10 r a,00 2兀,则有a a2兀 arcsint V1 t2兀 arcsina2 v1 a2 1 .0例7计算二重积分xy2d ,其中D是单位圆在第I象限的部分.D解米用极坐标系.D可表示为000 r 1 （图 10-17）,于是有图 10-17八.2八14 .cos Qsin (d。r dr o例8计算二重积分x2d其中D是二圆x2 y2 1和x2y2 4之间的环形闭区域解区域D : 0于是e 231 r 2,如图10

27、 18所示.图 10182 .21222,2兀1COS2 .2 3 .15x d dr cosrdr dr dr兀010214D2.2.2. 直角坐标系的情形我们先来考虑面积元素的变化情况.设函数组x x(u,v), y y(u,v)为单值函数，在D”上具有一阶连续偏导数，且其雅可比 行列式J 3 0,(u，v)则由反函数存在定理，一定存在着D上的单值连续反函数u u(x,y), v v(x, y).这时Duv与D之间建立了一一对应关系，uOv面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为 xOy面上的曲线u(x,y) u0, v(x,y) v0.我们用uOv面上平行于坐标轴的直线将区域Duv分割成若干

28、个小矩形，则映射将uOv面上的直线网变成xOy面上的曲线网(图10 19).图 1019在Duv中任取一个典型的小区域ADuv (面积记为A *)及其在D中对应的小区域AD (面积 记为A)如图1020所示.图 1020uujir -uuuir 一Axi,A/i i 1,2,3也很小，AD的面积可用P1P2与PR构成P4(x0Vo为3).当Au,加很小时,设AD的四条边界线的交点为P1(x0,y0), P2(x0x,y0y) P3(x0x2,y° v2和的平行四边形面积近似.即uuuir uuuurA(r RP2P1P4uuuurP1P2Ax-Ay jx u u0,v0 Au iy

29、u u0, v0 Au j .同理从而得uuuirP1P4x v u0,v0 Av iyv u0 ,v0 加1 j .uuuiruuiurA(r P1P2 RP4-Av -y Av vvAu Auuu的绝对值因此，二重积分作变量替换x x(u,v),y y(u,v)后，面积兀素(7与：的关系为或dxdy(x, y)(u,v)dudv .由此得如下结论：定理1 若f (x,y)在xOy平面上的闭区域 D上连续，变换T ： x x(u,v),y y(u,v),将uOv 平面上的闭区域Duv变成xOy平面上的D，且满足：1 1) x (u, v), y(u, v)在Duv上具有一*阶连续偏导数，(2

30、)在Duv上雅可比式J0;(u,v)(3)变换T： DuvD是一对一的，则有y x例9计算二重积分Dedxdy ,其中D是由x轴，y轴和直线x y 2所围成的闭区域.解令uyx,vyx,则x v-u, y v-u .22在此变换下，xOy面上闭区域D变为uOv面上的对应区域D (图1021).图 1021雅可比式为(x,y)(u,v)12121212则得例10设D为xOy平面内由以下四条抛物线所围成的区域: qx ,其中0Vavb, 0Vpvq ,求D的面积.222x ay,x by,y px ,解由D的构造特点, 这两族抛物线交织成区域引入两族抛物线y2 ux,x2D (图 1022).图

31、1022vy ,则由u从p变到q , v从a变到b时,雅可比行列式为2y 2y一2x2xyx2 x2 y则所求面积1 ,S dxdy -dudvDD 31 .画出积分区域，把f (x,y)d习题102化为二次积分：D(1) D x,y | x y 1,yx 1,y0；(2) D x,y I yx2, xy2.e ln(2) 1 dx 0f (x,y)dy ；2 .改变二次积分的积分次序:2 2y 0 dy y2 f(x ,y)dx ；2 2x1Lx23 3) 0dxx f x, ydy；(4) _1dx f (x, y)dy.4 .设f(x,y)连续，且f(x,y) xy f (x, y)d

32、,其中D是由直线y 0,x 1及曲线y x2所围成D的区域，求f(x,y).5 .计算下列二重积分：1 1)x2y2 d , D x,y | x 1,y 1 ;D2 2)皿d°,其中D是直线y x与抛物线yx所围成的区域；D x3 3)6d ，D x, y |x2 y2 x ；D -24 4)x2eydxdy, D是顶点分别为O 0,0 , A 1,1 , B 0,1的三角形闭区域.D5 .求由坐标平面及x 2,y 3,x y z 4所围的角柱体的体积.6 .计算由四个平面x 0,y 0,x 1,y 1所围的柱体被平面z 0及2x 3y z 6截得的立体的体积.7 .在极坐标系下计算

33、二重积分：222222.(1) sin xy dxdy, D x,y | % x y 4兀;D222(2) (x y)dxdy , D x, y | x y x y ; D(3) |xy dxdy，其中 D 为圆域 x2 y2 a2 ; D(4) ln(1 x2 y2)dxdy,其中D是由圆周x2y2 1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区D域.(2) 0adx 0 x2 y2dy .y2 2Rx所割下部分的体积8 .将下列积分化为极坐标形式：2a42ax x2 22(1) 0 dx 0 (x y )dy ；9 .求球体x2 y2 z2 R2被圆柱面x210 .作适当坐标变换，计算下列二重积分：

34、 2(1) dxdy,由xy 1, x 2, y x所围成的平面闭区域； d yy(2) exydxdy, D x, y|x y 1,x 0, y 0; D:2222 小 勺2dxdy ,其中D是椭圆J 51所围成的平面闭区域;Daba b4 4) x y sin x y dxdy, D x, y |0 x y ,0 x y .D11 .设闭区域D由直线x y 1, x 0, y 0所围成，求证：12 .求由下列曲线所围成的闭区域的面积：(1)曲线xy 4,xy 8,xy3 5,xy3 15所围成的第一象限的平面闭区域；(2)曲线x y a,x y b,y x, yx所围的闭区域(0 a b,

35、0).第3节三重积分3.1三重积分的概念三重积分是二重积分的推广，它在物理和力学中同样有着重要的应用在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们考虑求解 空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域Q,在Q中每一点(x,y,z)处的体密度为x,y,z),其中&x, y, z)是Q上的正值连续函数.试求该物体的质量.先将空间区域Q任意分割成n个小区域(同时也用AVi表示第i个小区域的体积).在每个小区域 AVi上任取一点(W,小G ,由于 dx,y,z)是连续函数，当区域充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于在点(窘犯G处的密度，因此每一小块 Av的质量近似等于2,小

36、 G AVi , 物体的质量就近似等于nK W,j 4) AVi . i 1令小区域的个数n无限增加，而且每个小区域无限地收缩为一点，即小区域的最大直径入maxd Am 0时，取极限即得该物体的质量 1 i n/nM limn3 ”，q)AVi.入0 i i由二重积分的定义可类似给出三重积分的定义：定义1设Q是空间的有界闭区域，f(x,y,z)是Q上的有界函数，任意将 Q分成n个小 区域AVi, Av2，L , AVn ,同时用AVi表示该小区域的体积，记AVi的直径为d皿 、并令 入maxd AVi ,在应、上任取一点(E, ”，q), (i 1,2, L , n),作乘积f ( , n,

37、G AVi ,把这些乘积加 1 i n nn起来得和式 f ( W,犯GAVi ,若极限limf 6, % G AVi存在(它不依赖于区域Q的分法及点.X 0 .i 1i 1(i, i, i)的取法)，则称这个极限值为函数f(x,y,z)在空间区域Q上的三重积分，记作f x,y,z dv ,n即f x, y,z dv lim0 f ( i, i, i) Vi ,0 i 1其中f(x,y,z)叫做被积函数，Q叫做积分区域，dv叫做体积元素.在直角坐标系中，若对区域Q用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一些小长方体.和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号f x,y,z dxdydz来表

38、示，即在直角坐标系中体积元素dv可记为dxdydz.有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数x,y,z)在区域Q上的三重积分表示，即M x,y,z dv,如果在区域Q上f(x,y,z) 1,并且Q的体积记作V,那么由三重积分定义可知1dv dv V .这就是说，三重积分dv在数值上等于区域 Q的体积.三重积分的存在性和基本性质，与二重积分相类似，此处不再重述3.2三重积分的计算为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式.三重积分f(x,y,z)dv表示占空间区域Q的物体的质量.设Q是柱形区域，其上、下分别由连续曲面z Zi(x, y), z Z2(x,y)所围成

39、，它们在xOy平面上的投影是有界闭区域D; Q的侧面由柱面所围成，其母线平行于z轴，准线是D的边界线.这时，区域Q可表示为 x,y,z |z1(x,y) z Z2(x,y), (x,y) D先在区域D内点(x,y)处取一面积微元db dxdy,对应地有Q中的一个小条, 行的平面去截此小条，得到小薄片(图10-23).图 1023于是以db为底，以dz为高的小薄片的质量为f (x , y, z)dxdydz .把这些小薄片沿z轴方向积分，得小条的质量为z2(x ,y).i)f(x，y，z)dz dxdy.然后，再在区域D上积分，就得到物体的质量z2( x, y)z(xy) f (x,y,z)dz

40、 dxdy .D 1 ,也就是说，得到了三重积分的计算公式f x, y, z dv =Z2（x,y）Z2（x, y）f（x，y，z）dz dxdy dxdyf（x，y，z）dz.再用与xOy面平（10-3-1）例1计算三重积分xdxdydz ,其中Q是三个坐标面与平面1所围成的区域（图 1024）解0x1,图 1024积分区域Q在xOy平面的投影区域 D是由坐标轴与直线 0 y 1 x,所以1围成的区域:10x计算三重积分zdv,其中Q:x 0,24y 0, z 0,R2 （见图 1025）.D图 1025区域Q在xOy平面上的投影区域 D: x0, y 0R2.对于D中任意一点(x , y)

41、,相应地竖坐标从z。变到zJR2 x2 y2.因止匕,由公式(10-3-1),得R2R416三重积分化为累次积分时，除上面所说的方法外，还可以用先求二重积分再求定积分的方法计算.若积分区域Q如图10-26所示，它在z轴的投影区间为A,B1,对于区间内的任 意一点z ,过z作平行于xOy面的平面，该平面与区域 Q相交为一平面区域，记作D(z).这时 三重积分可以化为先对区域 D z求二重积分，再对z在A,B上求定积分，得B f(x,y,z)dv dz f (x, y, z)dxdy.(10-3-2)A D(z) 图 1026 我们可利用公式(10-3-2)重新计算例2中的积分. 区域Q在z轴上的

42、投影区间为0,R1,对于该区间中任意一点z,相应地有一平面区域D z :x 0, y 0与x2 y2 R2 z2与之对应.由公式(10-3-2),得R zdv dz zdxdy. 0 D z求内层积分时，z可以看作常数：并且Dz:x2y2 R2 z2是二个圆，其面积为工R2 z2 , 44/所以zdv = z -Tt R20422例3计算三重积分z2dv,其中与4a bz2 dz - R4.162, 12.c解我们利用公式(10-3-2)将三重积分化为累次积分Gd,对于区间内任意一点z,相应地有一平面区域.区域Q在z轴上的投影区间为z :与之相应，该区域是一椭圆2x2 z a (1)c2yb2

43、(1 J)c(图1027),其面积为iab2与.所以c2 , c 2 ,z dv= z dz dxdy cD(z)271abz 12cdz43435 TabcTabc .图 10273.3三重积分的换元法对于三重积分f (x, y, z)dv作变量替换:它给出了 Orst空间到Oxyz空间的一个映射，若x r,s,t ,y r,s,t ,z r,s,t有连续的一阶偏导数，且山0,则建立了 Orst空间中区域*和Oxyz空间中相应区域Q的一一对应，与二重积 (r ,s,t)分换元法类似，我们有dv(x,y,z)(r,s,t)drdsdt .(10-3-3)于是，有换元公式f (x,y,z)dv

44、f x(r,s,t), y(r,s,t),z(r,s,t)(x, y,z)(r,s,t)drdsdt .作为变量替换的实例，我们给出应用最为广泛的两种变换：柱面坐标变换及球面坐标 变换.3.3.1 柱面坐标变换三重积分在柱面坐标系中的计算法如下：变换称为柱面坐标变换，空间点M x, y,z与(r, Q z)建立了一一对应关系，把(r, Q z)称为点M x, y,z 的柱面坐标.不难看出，柱面坐标实际是极坐标的推广.这里r,0为点M在xOy面上的投影P的极坐标.0 r< ,0 0 2 州 <z<(图 1028).图 1028柱面坐标系的三组坐标面为(1)r(2) e (3)z

45、常数，常数，常数，以z为轴的圆柱面； 过z轴的半平面； 平行于xOy面的平面.(x,y,z) (r, Qz)cos 0sin 00r sin 0r cos 00r ,则在柱面坐标变换下，体积元素之间的关系式为:dxdydz rdrddz.于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为：f (x, y, z)dxdydz= f (r cos ,r sin , z)rdrd dz.至于变换为柱面坐标后的三重积分计算，则可化为三次积分来进行.通常把积分区域Q向xOy面投影得投影区域D ,以确定r, 0的取值范围，z的范围确定同直角坐标系情形.例4计算三重积分zjx2y2dxdydz ,其中Q是由锥面z &a

46、mp;一与平面z 1所围成的区域.解在柱面坐标系下,所以有例5计算三重积分积分区域Q表示为r z 1,0 r 1,0 8 2支（图1029）.图 1029-112222 兀一r （1 r ）dr 一 兀.0215x2 y2 dxdydz ,其中Q是由曲线y2 2z, x 0绕z轴旋转周而成的曲面与两平面z 2, z 8所围之区域.解 曲线y2=2z, x。绕z旋转，所得旋转面方程为x2设由旋转曲面与平面z 2所围成的区域为储，2z.该区域在xOy平面上的投影为Di,Dix,y |x2+y2 4 .由旋转曲面与z 8所围成的区域为 , %在xOy平面上的投影为D2,2 .2D2 x,y |x +

47、 y16.则有£ QUQ1,如图1030所示.图 10302兀 2320 d 906rdr0八43d。2r 82dr 336心23.3.2 球面坐标变换三重积分在球面坐标系中的计算法如下：变换称为球面坐标变换，空间点M x, y,z与(r, 4,。)建立了一一对应关系，把(r, 4,。)称为点M x, y,z 的球面坐标(图10-31),其中0 r<,图04 兀 09 2 7t.10-31球面坐标系的三组坐标面为：(1)r常数，以原点为中心的球面；(2)6常数，以原点为顶点，z轴为轴,(3) e常数，过z轴的半平面.由于球面坐标变换的雅可比行列式为半顶角为6的圆锥面;（x,y,

48、z）（r, 4,。）sin（j）cos 0sin （j）sin 0cos（）r cos（j）cos 0r cos（j）sin 0r sin 4r sin （j）sin 0r sin Mos 00则在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为：dxdydz r 2sin (drd (d().于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为f (x, y,z)dxdydz= f (r sin cos ,r sin.、2sin , r cos ） r sin drd（10-3-4）6 计算三重积分(x2y2 z2 )dxdydz ,其中Q表示圆锥面x2z2与球面x2 y2 z2 2Rz所围的较大部分立体.解 在

49、球面坐标变换下，球面方程变形为r 2Rcos4,锥面为巾口(图1032).这时积分4区域Q表示为所以O兀2兀 d 0 4d(f)00*例7 计算三重积分2Rcos。r4 sin这时dv所以0（f）-,04图 1032（）dr（2y x z2 兀 4 一 sin 5 02）dxdydzz2 4a2, Jx2 z2 y所围成的区域.积分区域用球面坐标系表示显然容易， x rsin (jcos Q zr2sin(jdrd(jd。，积分区域 Q表示为a rr 2Rcos MM5）2R cos0d（）|8 kR5 .15其中Q是由曲面x2 y2 z2 a2 ,但球面坐标变换应为rsin (jsln Q

50、y rcos()2a,0图 1033（）-,00 2tt4（图 1033）.2rsin ）r sin dr15 154兀a兀.816兀LT22 兀 才 2a（2 y x z ）dxdydz= o d :d a （2r cos值得注意的是，三重积分的计算是选择直角坐标，还是柱面坐标或球面坐标转化成三次 积分，通常要综合考虑积分域和被积函数的特点.一般说来，积分域 Q的边界面中有柱面或圆锥面时，常采用柱面坐标系；有球面或圆锥面时，常采用球面坐标系.另外，与二重积分类似，三重积分也可利用在对称区域上被积函数关于变量成奇偶函数以简化计算习题10-31.化二重积分If (x, y,z)dxdydz为三次

51、积分，其中积分区域Q分别是.(1)由双曲抛物面xy z及平面x y 1 0, z 0所围成的闭区域；(2)由曲面z x2 y2及平面z 1所围成的闭区域.2 .在直角坐标系下计算三重积分：(1) xy+z2 dxdydz ,其中 -2,5-3,30,1 ;(2) xy2z3dxdydz ,其中Q是由曲面z xy与平面y x, x 1,和z 0所围成的闭区域;dxdydz 3 ,其中Q为平面x 0, y 0, z 0, x y z 1所围的四面体；1+ x+ y + z(4) ycos x z dxdydz,其中Q为y Jx,y 0,z 0和x z 所围成的闭区域.3 .利用柱面坐标计算下列三重

52、积分：(1) zdv,其中Q是由曲面z也x2 y2及z x2 y2所围成的闭区域；(2) x2 y2 dv ,其中Q是由曲面2 x2 y2z及平面z 4所围成的闭区域.4 .利用球面坐标计算下列三重积分：(1) x2 y2 z2 dv,其中Q是由球面x2 y2 z2 1所围成的闭区域；222(2) zdv ,其中Q为由与看今1与z 0所围区域.a b c5 .选用适当的坐标计算下列三重积分： xydv ,其中Q为柱面x2 y2 1及平面z 1, z 0, x 0, y 0所围成的在第一卦限内的闭区域；(2)声2y2z2dv ,其中Q是由球面x2 y2 z2 z所围成的闭区域6.利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积：(1) z 6 x2 y2 及z 京y7 ;(2) z x2 y2