二次函数专题训练(菱形的存在性)含答案

1、1 .如图，在平面直角坐标系中， 直角梯形OABC勺边OC OA分别与x轴、y轴重合，AB/ OC /AOC=90, /BCO=45 , BC=12叵 点 C的坐标为（18, 0）.(1)求点B的坐标;(2)若直线DE交梯形对角线 BO于点D,交y正半轴于点E,且OE=4 OD=2BD求直线DE的解析式;(3)若点P是(2)中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q,使以Q E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2 .如图，抛物线y=ax2+bx - 2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,点A的坐标.下载可编辑为(-

2、2, 0),点P为抛物线上的一个动点，过点 P作PDLx轴于点D,交直线BC于点E.(1)求抛物线解析式；(2)若点P在第一象限内，当 OD=4PE寸，求四边形 POBE勺面积；(3)在(2)的条件下，若点 M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N,使得以点B, D, M, N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】3 .如图，抛物线 y=ax2-2x+c (aw0)与x轴、y轴分别交于点 A, B, C三点，已知点 A (-2, 0),点C 一下载可编辑 .(0, -

3、8),点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图1,抛物线的对称轴与 x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点巳将4EBP沿直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点 P的坐标；(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点 F,作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点， 当以点B, F, M N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.4 .如图1,抛物线y=ax2+bx+4的图象过A ( - 1, 0), B (4, 0)两点，与y轴交于点C,作直线BC,动点 一下载可编辑.P从点C出发，以每秒 a个单位长度的速度沿 CB向点B运动

4、，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停 止运动.(1)求抛物线的表达式；(2)如图2,当t=1时，求 Saacp的面积；(3)如图3,过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点.求PF的长度关于t的函数表达式，并求出 PF的长度的最大值；连接CF,将PCF沿CF折叠得到 P' CF,当t为何值时，四边形 PFP C是菱形？5 .如图，已知已知抛物线经过原点。和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D,直线y= - 2x - 1经过抛物线上一点 B ( -2, nj)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.(1)求m的值及该抛物线的解析式(2) P (x

5、, y)是抛物线上的一点，若$ adp=S；aadg求出所有符合条件的点P的坐标.(3)点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以 Q A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.A :A6 .如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a (x+1) 2-3与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C (0,)，顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P, Q两点,3点Q在y轴的右侧.(1)求a的值及点A, B的坐标;当直线l将四边形ABC

6、M为面积比为3: 7的两部分时，求直线l的函数表达式;(3)当点P位于第二象限时，设 PQ的中点为M点N在抛物线上，则以 DP为对角线的四边形 DMP滩否.下载可编辑为菱形？若能，求出点 N的坐标；若不能，请说明理由.),对称轴是7 .已知抛物线y=x2+1 (如图所示).(1)填空：抛物线的顶点坐标是( 4(2)已知y轴上一点A (0, 2),点P在抛物线上，过点P作PBL 轴，垂足为B.若4PAB是等边三角形, 求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点 M在直线AP上.在平面内是否存在点 N,使四边形OAMM菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点 N的坐标；若不存在，请说明理由.8 .(2

7、016 山东省威海市).如图，抛物线 y=ax2+bx+c的图象经过点 A(- 2, 0),点B (4, 0),点D (2, 4), 与y轴交于点C,作直线BG连接AG CD.(1)求抛物线的函数表达式；(2) E是抛物线上的点，求满足/ ECDW ACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上且位于点 C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C, MN, P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.9.(2012 山东省烟台市)如图， 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0) , C(3,0),2D(3,4),以A为顶点的抛物线y ax bx c过点C,动点P从点A

8、出发，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，点P, Q的运动速度均为每秒 1个单位.运动时间为t秒,过点P作PE AB交AC于点E .(1)直接写出点 A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EF AD于F ,交抛物线于点G ,当t为何值时，4ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P, Q运动的过程中，当t何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H，使以C, Q, E, H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.10.(2012 青海省)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2 + bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，B点的坐标为(3 , 0),与

9、y轴交于C(0, 3)点，点P是直线BC下方抛物线上的动点.(1)求这个二次函数表达式；(2)连接PQ PC并将 PO® y轴对折，得到四边形POPC ,那么是否存在点 P,使四边形POPC为 菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC勺面积最大？求出此时 P点的坐标和四边形 ABPC勺最大面积.二次函数之菱形的存在性参考答案1 .如图，在平面直角坐标系中， 直角梯形OABC勺边OC OA分别与x轴、y轴重合，AB/ OC /AOC=90, /BCO=45 , BC=1近,点 C的坐标为（18, 0）.下载可编辑(1)求点B的

10、坐标;(2)若直线DE交梯形对角线 BO于点D,交y正半轴于点E,且OE=4 OD=2BD求直线DE的解析式;(3)若点P是(2)中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q,使以Q E、P、Q为顶点的四,. C 的坐标为(18, 0) AB=OF=6边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.点B的坐标为(6, 12).(2)过点 D 作 DGLy 轴于点 G, AB/ DG.ODa AOBA.DG OD_OG_2AB OB OA 3,AB=6, OA=12DG=4 OG=8，D( 4, 8), E (0, 4)设直线DE解析式为y=kx+b (kw。);直线DE解析

11、式为y= x+4.(3)结论：存在.设直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点E、点 F,则 E (0, 4)F (4, 0), OE=OF=4 EF=4/1 .如答图2所示，有四个菱形满足题意.菱形OEPQ,此时OE为菱形一边.则有 PiE=RQ=OE=4 PiF=EF- PiE=4'/2- 4.易知AP 1NF为等腰直角三角形，P iN=NF塔2PiF=4 设 PiQ交 x 轴于点 N,贝U NQ=PiQPiN=4 (42匹)=又 ON=OF NF=2/2, /.Qi (2/2, - 2/2);菱形OEPQ,此时OE为菱形一边.此时Q与Q关于原点对称，2 ( - 272, 2&

12、;);客图2.下载可编辑菱形OEQ3,此时OE为菱形一边.此时P3与点F重合，菱形 OEQ3为正方形，Q 3 (4, 4);菱形OREQ,此时OE为菱形对角线.由菱形性质可知，P4Q为OE的垂直平分线，由OE=4彳导P4纵坐标为2,代入直线解析式 y=-x+4得横坐标为2,则P4 (2, 2),由菱形性质可知，P4、Q关于OE或y轴对称，4 (-2, 2).综上所述，存在点 Q使以。E、P、Q为顶点的四边形是菱形；点 Q的坐标为：Q (2衣，一2.但)，Q ( 272，哂)，Q (4, 4), Q ( 2, 2).2 .如图，抛物线y=ax2+bx - 2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,

13、B两点，与y轴交于点C,点A的坐标 为(-2, 0),点P为抛物线上的一个动点，过点P作PtUx轴于点D,交直线BC于点E.(1)求抛物线解析式；(2)若点P在第一象限内，当 OD=4PE寸，求四边形 POBE勺面积；(3)在(2)的条件下，若点 M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N,使得以点B, D, M, N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明 理由.【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】【解答】解：(1)二.抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=1 ,A( -2, 0)在抛物线上，2a(-2)

14、2b-2=01一 1的偈“江 一121解得:,抛物线解析式为y=-x2-x- 2;X422(2)令 y=-x2 - -1-x - 2=0,解得:42xi=- 2, x2=4,当 x=0 时，y= - 2, 1. B (4, 0), C (0,-2),设BC的dif+x-n解析式为y=kx+b,则，解得:lb 二-2, ，丫二户*2,设 D (mi 0), .DP/y 轴,L2 2一/ 1-、 一 ,1 211- E ( m, _mi- 2), P (mi, _m -_mi- 2)2m=4 (-Lm2-Lm- 2 - -Lm+2)D (5, 0), P (5,（3）存在，设M （n, OD=4P

15、E,- m=5 m=0(舍去),),E (5,4局 n 2),),四边形POBE勺面积=&OPD- $ EB啜 X5X以BD为对角线，如图1, 四边形BND谑菱形,，MN直平分 BD, n=4+),. Ml N关于x轴对称，. N (上L, 2以BD为边，如图2,二四边形BNDM1菱形,.MIN/ BD MN=BD=MD=1 过 M作 MHLx 轴于 H,. mH+dh(=dM,即(gn - 2) 2+ ( n - 5) 2=12,，n1=4 (不合题意)，n2=5.6 ,N (4.6,),同理(-Ln - 2)22+ (4 - n) 2=1,.n i=4+'5（不合题意，舍去

16、），n2=4-.N ( 5 -返)以BD为边，如图3,过M作MHLx轴于H,mH+bHbM,即（Ln 2） 2+(n - 4) 2=12n 1=4）或（5-),以点 B, D, M N5U2T".N (5+ :4n2=4-型L （不合题意，舍去）5)或(4.6 ,综上所述，当N（为顶点的四边形是菱形.3.如图，抛物线 y=ax2-2x+c（aw。）与x轴、y轴分别交于点A,C三点，已知点A （ - 2, 0）,点C（0, - 8）,点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图1,抛物线的对称轴与 x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点巳将4EBP沿直线EP折叠

17、,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点 P的坐标；(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点 F,作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B, F, M N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.c=-8【解答】解：(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得: 解得：a=1, c=8.，抛物线的解析式为 y=x22x8. y= (x-1) 2-9, D (1, -9).(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2 - 2x - 8=0,解得x=4或x=- 2, .B (4, 0). .y=(x-1) 2-9, 抛物线的对称轴为x=1, .E (1, 0).

18、二将4EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上, .EP 为/ BEF 的角平分线.BEP=45 .设直线EP的解析式为y= - x+b,将点E的坐标代入得：-1+b=0,解得b=1, 直线EP的解析式为y=-x+1.将y=-x+1代入抛物线的解析式得：-x+1=x2-2x-8,解得：x上叵或x上寸史.22 点P在第四象限，x= j37 .y=37 . p("二,"7 ).(3)设CD的解析式为y=kx - 8,将点D的坐标代入得：k - 8= - 9,解得k=T,直线CD的解析式为y= - x - 8.设直线CB的解析式为y=k2x- 8,将点

19、B的坐标代入得：4k2-8=0,解得：kz=2.直线BC的解析式为y=2x - 8.y= 6，F ( 1,将x=1代入直线BC的解析式得： 设点M的坐标为(a, - a-8).一下载可编辑 .当 MF=MB寸，(a 4)2+(a+8)2=(a1)2+(a+2)2,整理得：6a=75,解得：a=丝l2，点m的坐标为(-2殳，9). 22当 FM=FB寸，(aT)2+(a+2)2=(4 T)2+(- 6-0)2,整理得：a2+a-20=0,解得：a=4 或 a=-5.点 M的坐标为(4, - 12)或(-5, -3).综上所述，点 M的坐标为(-二二，2)或(4, - 12)或(-5, -3).2

20、24.如图1,抛物线y=ax2+bx+4的图象过A ( - 1, 0), B (4, 0)两点，与y轴交于点C,作直线BC,动点 P从点C出发，以每秒 近个单位长度的速度沿 CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停 止运动.(1)求抛物线的表达式;(2)如图2,当t=1时，求S»cp的面积;(3)如图3,过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点.求PF的长度关于t的函数表达式，并求出 PF的长度的最大值;连接CF,将4PCF沿CF折叠得到 P' CF,当t为何值时，四边形 PFP C是菱形?图1邸图彳【解答】解：(1)二.抛物线y=ax2+bx+4的图象过

21、A (- 1, 0), B (4, 0)两点,. Ja-U4=0，解得：产T .抛物线的表达式为y= - x2+3x+4 .(b=3(2)令x=0,则y=4,即点C的坐标为(0, 4),Be),+4，=4设直线BC的解析式为y=kx+4, 丁点B的坐标为(4, 0), 0=4k+4,解得k= - 1,直线BC的解析式为y= - x+4.当t=1时，CP=f2,点 A ( - 1, 0)到直线 BC的距离 h.；C =14(ql? 乂 4 =5、f ,(3)直线BC的解析式为y= - x+4, .CP=/2t , OE=t,设 P (t, t+4), F (t, t2+3t+4), (0<

22、t<4)PF=- t2+3t+4 - (- t+4) =-t2+4t, (0WtW4).当t=-=2时，PF取最大值，最大值为 4.|2X t-1)PCF沿 CF折叠得至1 P' CF, PC=P C, PF=P F,当四边形PFP C是菱形时，只需 PC=PF&t= - 12+4t,解得：ti=0 (舍去)，12=4-血.故当t=4 -5时，四边形PFP C是菱形.5.如图，已知已知抛物线经过原点。和x轴上一点A (4, 0),抛物线顶点为 E,它的对称轴与 x轴交于点D,直线y= - 2x - 1经过抛物线上一点 B ( -2, nj)且与y轴交于点C,与抛物线的对称

23、轴交于点F.(1)求m的值及该抛物线的解析式(2) P(X, y)是抛物线上的一点，若$ADP=S；AADC,求出所有符合条件的点P的坐标.(3)点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以 Q A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.小 ：A.下载可编辑【解答】解：(1)二.点 B ( 2, mD 在直线 y= - 2x - 1 ± m=- 2X ( 2) 1=4 1=3,所以，点 B ( 2,3),又二.抛物线经过原点Q，设抛物线白解析式为y=ax2+b

24、x,点 B ( - 2, 3), A (4, 0)在抛物线上,r4a-2b=3,16a+4b=0,解得: 抛物线的解析式为P ( x , 一x2 x),若 Saadf=SaADC,4C是直线y= - 2x - 1与y轴交点，-x; (2) P (x, y)是抛物线上的一点，.S AADC=-AD? OC SaadP=i-AD? |y| ,又二点 . C (0, - 1) , OC=1 | -j-x2- x|=1 ,即x2 - x=1,或/x2 x= T ,解得：x2+2、冏,x2=2- 2 /2, x3=x4=2,.点 P 的坐标为 P1(2+2/2, 1) P2=(2-2V2, 1), P3

25、) 2, 1);(3)结论：存在,抛物线的解析式为y=J_x2-x, 顶点E (2, - 1),对称轴为x=2;4点F是直线y=-2x- 1与对称轴x=2的交点，F ( 2, -5), DF=5.又A (4, 0), .-.AE=石.如右图所示，在点 M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形 AEMQ. .此时 EM=AE=/,，MiF=DF DE- DM=4而，."1=4如；菱形 AEOM .此时 DM=DE=1,2F=DF+D附6,"2=6;菱形 AEMQ. .此时 EM=AE=./, . . DM=EM DE踞1, M3F=DR3+DF=(x/5 - 1) +5=4+/

26、,"3=4+/;菱形AMEQ.此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与MQ交于点H,则AE!M 4Q,Vs易知AEDAM 4EH=旦旦，即 T：AE丽 术. DM=ME- DE=l- 1=-1,4F=DM+DF= + 222综上所述，存在点 M点Q,使彳导以Q A、1t 2=6, t 3=4 + -t 4=-.t.M乌'at ；加5)J=-,得 ME至，S | 125=13f135=4= 2| 2E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间 t的值为：t1=4-M耳, J rx6.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+1) 2-3与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，

27、O与y轴交于点C (0,-),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P, Q两点,点Q在y轴的右侧.(1)求a的值及点A, B的坐标;的函数表达式;(2)当直线l将四边形ABCM为面积比为3: 7的两部分时，求直线lDP为对角线的四边形 DMPN否(3)当点P位于第二象限时，设 PQ的中点为M点N在抛物线上，则以为菱形？若能，求出点 N的坐标；若不能，请说明理由.a- 3= -解得:3a=，尸(x+1) - 30).当 y=0 时，有,(x+1) 2-3=0, .-.x 1=2, x2=4, .A (- 4, 0), B (2,(2) A ( 4, 0), B (2, 0),

28、 C (0,一二)，D ( 1, 3)QX2x2=10.3iioS 四边形 ABC=SADH+S 梯形 OCD+S/xBOC=-X 3 X 3 + - ( + 3) X 1223从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况:当直线l边AD相交与点M1时，则SX10=3,)=32,点M ( - 2, - 2),过点H ( - 1, 0)和M ( - 2, - 2)的直线l的解析式为y=2x+2 .当直线l,-2)的直线l边BC相交与点M2时，同理可得点 M2 (二，-2),过点H ( - 1, 0)和M22的解析式为y=综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=-(3)设 P

29、 (xiy> Q (x2, y2)且过点H( - 1, 0)的直线PQ的解析式为y=kx+b ,- k+b=0, b=k,y=kx+k,由k) x k=0, 32上 8'J o ox i+X2= - 2+3k, yi+y2=kxi+k+kx2+k=3k2,点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式的点M(-|-k- 1, -Ik2).假设存在这样的 N点如图，直线 DN/ PQ设直线DN的解析式为 y=kx+k - 3由41 ? 28，解得：xi = -1, x2=3k-1, N (3k1,3k2 3)y=- J O 0四边形DMPN1菱形,.DN=D M(3k) 2+ (3k2) 2

30、=(号)2+(1-k2+3)2整理得：3k4- k2- 4=0, . k2+1>0, .-.3k2-4=0,kv 0,解得k=±&l, 3P (- 3,73- 1, 6), M(-/3-1, 2), N ( - 2/3-1, 1).PM=DN=2 二 . PM/ DN四边形DMPN1平行四边形,DM=D N四边形dmpM菱形，以DP为对角线的四边形 DMPN成为菱形，此时点 N的坐标为(-2/3-1, 1).7.已知抛物线y=1x2+1 (如图所示).4).根据抛物线的称性，得 P2 ( - 2n , 4).(1)填空：抛物线的顶点坐标是(0 ,1 ),对称轴是 x=0

31、 (或y轴) ;(2)已知y轴上一点A (0, 2),点P在抛物线上，过点P作PBL 轴，垂足为B.若4PAB是等边三角形, 求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点 M在直线AP上.在平面内是否存在点 N,使四边形OAMM菱形？若存在，直 接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)顶点坐标是(0, 1),对称轴是(2) .PAB 是等边三角形，/ ABO=90 - 60°.AB=20A=4 .1. PB=4解法一：把 y=4 代入 y=x2+1,得 x=±26.4.P1 (2V3, 4), P2 (-蛆,4).解法二：. . ob=b、-qa

32、2=2/1,?!(跖,(3)二点A的坐标为(0, 2),点P的坐标为(2/3, 4).下载可编辑Cb=212V5k+b=4设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b设存在点N使得OAMN1菱形，点M在直线AP上，设点M的坐标为:(m,如图，作 MQLy轴于点Q,则MQ=mk/qAQ=OQ OA=m+2- 2=33.四边形 OAMN；菱形,AM=AO=2，在直角三角形 AMQ, AQ+MQ=AM, 即：m2+ (巧 2=22 解得：m=± V5 代入直线AP的解析式求得y=3或1,当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况:当N在右图1位置时，1 .OA=M N .MN=2又点坐标为(爪,3

33、),2 .N点坐标为(1),即N坐标为(瓜1).当N在右图2位置时， MN=OA=2 M点坐标为(丘 1),1-N点坐标为(- 1),即N2坐标为(-T).当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况： 第一种是当点 M在线段PA上时(PA内部)我们求出 N点坐标为(-V3, 1);第二种是当M点在PA的延长线上时(在第一象限)我们求出 N点坐标为(6,-1)，存在 Ni (|/3, 1), N2 (- V3, - 1)尺(-短，1), N /,-1)使得四边形 OAMN1菱形.8.(2016 山东省威海市).如图，抛物线 y=ax2+bx+c的图象经过点 A(- 2, 0),点B (4, 0),点

34、D (2, 4), 与y轴交于点C,作直线BG连接AG CD.(1)求抛物线的函数表达式；(2) E是抛物线上的点，求满足/ ECDW ACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上且位于点 C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C, MN, P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.分析(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可.(2)分点E在直线CD上方的抛物线上和点 E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；(3)分CM为菱形的边和CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；解：(1).抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A (-2, 0),点 B(4, 0)

35、,点 D (2, 4),，设抛物线解析式为 y=a (x+2) (x-4), 工 、- 8a=4,，a=-.二抛物线解析式为1y=一(x+2)(x-4)=-另x2+x+4;(2)如图1 ,幽点E在直线CD上方的抛物线上，记 E', 连接CE ,过E iE E' F' LCD垂足为 由(1)知，OC=4. /ACO=E' CF', .tan/ACO=tad E' CF',"CO- CF'设线段 E F' =h,贝U CF =2h,点 E (2h, h+4)点E'在抛物线上，一 /、2- - (2h) 2+2

36、h+4=h+4,1. . h=0 (舍)h=E，(1，工)，点E在直线CD下方的抛物线上，记 E,同的方法得，E (3,5习，(3)CM为菱形的边,如图2,在第一象限内取点P'彳P' 交y轴于 四边形 四边形N' /y M , CM P'CM P'P',过点轴，交BC于N',过点N'是平行四边形,N'是菱形，,.P' M =P' N，,过点P'彳P' Q' 口轴，垂足为Q',. OC=OB/ BOC=90 ,/ OCB=45 ,/ P' M C=45 ,设点 P

37、9; ( m,一= m2+m+4),P'彳P' M0B手工在 RtAP' M Q'中，P' Q' =m P' M =. B (4, 0), C (0, 4),直线BC的解析式为y= - x+4,.P,N'N' /y 轴，(m) m+4> ，P'N'- Em2+m+4- (- m+4 =-5吊+201,21一2 一八 m+2m,，m=0(舍)或 m=4 2 . ?菱形CM P' N'的边长为V2 (4-26)=4/2- 4.CM为菱形的对角线，如图 3,在第一象限内抛物线上取点巳过点P作

38、PM/ BG交y轴于点 M 连接CP,过点 M作MIN/ CP，交BC于N, 四边形CPMN1平行四边形，连接 PN交CM于点Q 四边形CPMN1菱形， PQL CM Z PCQ= NCQ/ OCB=45 ,/ NCQ=45 ,/ PCQ=45 ,/ CPQ= PCQ=45 , PQ=C Q设点 P (n, - = n 2+n+4),.CQ=n OQ=n+2 ，二 2，. n+4=- .n +n+4,. .n=0 (舍)，此种情况不存在.二菱形的边长为4V2- 4.9.(2012 山东省烟台市)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0) , C(3,0),D(3,4),以A为顶点的抛物线 y ax2 bx c过点C,动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，点P, Q的运动速度均为每秒 1个单位.运动时间为t秒,过点P作PE AB交AC于点E .(1)直接写出点 A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EF AD于F ,交抛物线于点 G ,当t为何值时，4ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动