解排列组合应用题的26种策略

1、解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握.解排列组合问题的根底是两个根本原理,分类用加法原理,分步用乘法原理,问题在于怎样合理地进行分类、 分步,特别是在分类时如何做到既不重复,又不遗漏,正确分每一步,这是比拟困难的.要求我们周密思考,细心分析,理解并掌握解题的常用方法和技巧,掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难那么反等数学思想解决排列组合问题.实践证实,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1-相邻排列一一捆绑法：n个不同元素排列成一排,其中某k

2、个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起“,看成一个整体,当作一个元素同其它元素一起排列,共有A；种排法.然后再将“捆绑在一起的元素进行内部排列,共有Ak种方法.由乘法原理得符合条件的排列,共A；k11.A：种.例l.a,b,c,d,e五人并排站成一排,如果a,b必须相邻且b在a的右边,那么不同的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把a,b视为一人,且b固定在a的右边,那么此题相当于4人的全排列,A424种,答案：D.例2有3名女生4名男生站成一排,女生必须相邻,男生必须相邻,共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体,看成一个元素,4名男

3、生作为一个整体,看成一个元素,两个元素排列成一排共有A2种排法；女生内部的排法有屋种,男生内部的排法有A4种.故合题意的排法有A第浦288种.排列插空法：元素相离即不相邻问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排,其中k个元素互不相邻knk,有多少种排法？先把nk个元素排成一排,然后把k个元素插入nk1个空隙中,共有排法大种.例3五位科学家和五名中学生站成一排照像,中学生不相邻的站法有多少种？本材料第 1 1 页共 1616 页解：先把科学家作排列,共有A5种排法；然后把 5 5 名中学生插入 6 6 个空中,共有解种排

4、法,故符合条件的站法共有A-A86400种站法.例4.七位同学并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A2种,不同的排法种数是AA3600种,选B.3、定序问题-倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排,其中某k个元素的顺序保持一定,有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排,共有A：种排法；k个不同元素排列成一排共有Ak种不同排法.于n是,k个不同兀素顺序一定的排法只占排列总数的A：分

5、之一.故符合条件的排列共勺种.Ak例5.a,b,c,d,e五人并排站成一排,如果b必须站在a的右边a,b可以不相邻那么不同的排法种数是A、24种B、60种C、90种D、120种解析：b在a的右边与b在a的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列1数的一半,即A560种,选B.2例6.A,B,C,D,E五个元素排成一列,要求A在B的前面且D在E的前面,有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列,共有A5种排法.A,B两个元素的排列数为A2;D,E两个元素的排列数为A.5因此,符合条件的排列法为哙方30种.A2A24、标号排位问题-分步法：把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,

6、第二步再排另一个元素,如此继本材料第 2 2 页共 1616 页续下去,依次即可完成.例7.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,那么每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法；第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3X3X1=9种填法,选B.5-留空排列一一借元法例8、一排10个坐位,3人去坐,每两人之间都要留空位,共有种坐法.解：由题意,先借7人一排坐好,再安排3在8个空中找3个空插入,最后撤出借来的7人.得不同的坐

7、法共有A7A3/A；种.6、有序分配问题-逐分法：有序分配问题指把元素分成假设干组,可用逐步下量分组法例9.1有甲乙丙三项任务,甲需2人承当,乙丙各需一人承当,从10人中选出4人承当这三项任务,不同的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承当甲项任务,再从剩下的8人中选1人承当乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承当丙项任务,不同的选法共有CC8c72520种,选C.2学生会的12名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查,假设每个年级4人,那么不同的分配方案有答案：先从12人中选出4人到第一个年级,再从剩下的8人中选4人到第二个年

8、级,第444三步从剩下的4人中选4人到第三个年级,不同的选法共有C12C8c4种,选A.7、平均分堆问题-除序法：例10.12本不同的书,平均分为3堆,不同的分法种数为多少种.解：先从12本书中选出4本到第一堆,再从剩下的8本中选出4本到第二堆,第三步从_4_4_4_4_4_4一A、C12C8c4种B、3c12C8c4种C、C12C8A3种D、c4C4C4本材料第 3 3 页共 1616 页剩下的4本中选4本到第三堆,但题中是不要堆序,所以不同的分法共有8、全员分配问题-分组法：例11.14名优秀学生全部保送到3所大学去,每所大学至少去一名,那么不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组

9、有cj种方法,再把三组学生分配到三所大学有A3种,故共23有C4A336种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配25本不同的书,全局部给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为A、480种B、240种C120种D、96种答案：B.9、名额分配问题-隔板法：例12:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小千的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为C：84种.10、限制条件的分配问题-分

10、类法：例13.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案？解析：由于甲乙有限制条件,所以根据是否含有甲乙来分类,有以下四种情况：假设甲乙都不参加,那么有派遣方案A4种；假设甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有A3方法,所以共有3A3;假设乙参加而甲不参加同理也有3A3种；假设甲乙都参加,那么先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有A2种,共有7A2M3A33A37A24088种.11、多元问题-分类法：元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计

11、数,最后总计.种.本材料第 4 4 页共 1616 页例141由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有A、210种B、300种C、464种D、600种解析：按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有A5个,1.1,3.1.1.3.1.1.3.1.3A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个,合并总计300个,选B.2从1,2,3,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法不计顺序共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,

12、能被7整除的数的集合记做A7,14,21,|98共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做A1,2,3,4,|,100共有86个元素；由此可知,从A中任取2个元素的取法有G：,从A中任取一个,又从A中任取一个共有GLC、,两种情形共符合要求的取法有C；4C4c21295种.3从1,2,3,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法不计顺序有多少种？解析：将I1,2,3口,100分成四个不相交的子集,能被4整除的数集A4,8,12,|p00；能被4除余1的数集B1,5,9,|97,能被4除余2的数集C2,6,|,98,能被4除余3的数集D3,7,11,|99,易见这四个集合中每一

13、个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求； 此外其它取法都不符合要求； 所以符合要求白取法共有C25C25c25C25种.12、交叉问题-集合法：某些排列组合问题几局部之间有交集,可用集合中求元素个数公式n(AB)n(A)n(B)n(AB).例15.从6名运发动中选出4人参加4X100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列,A=甲跑第一棒的排列,B=乙跑第本材料第 5 5 页共 1616 页四棒的排列,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：一4.3.3.2.n(I)n

14、(A)n(B)n(AB)入A5A5A4252种.13、定位问题-优先法：有限制条件,某个或几个元素要排在指定位置,通常要优先考虑这个或几个元素受限位置或受限元素,再排其它的元素.假设反面情况较为简单时,那么用排除法求解.例16.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,现要派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有种用数字作答.解：由题意,先安排3名主力队员在第一、三、五位置,有A3种；再安排其余7名队员选2名在第二、四位置有A2种；由乘法原理,得不同的出场安排共有A3A252种.例17.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念

15、,假设老师不站两端那么有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有A1种,4名同学在其余4个位置上有A4种方法；14所以共有A3A472种.14、多排问题-单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理.例18.16个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是A、36种B、120种C、720种D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段,因此此题可看成6个不同的元素排成一排,共A6720种,选C.28个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法？解析：看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,

16、有8种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A4种,其余5个元素任排5个位置上有A5种,故共有_1_2_5儿A4A55760种排法.15、“至少“至多问题一间接排除法或分类法：例19.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,那么本材料第 6 6 页共 1616 页不同的取法共有A、140种B、80种C、70种D、35种解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有c3C43C；70种,选.C解析2:至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2.一一.2112台乙型1台；故不同的取法有C5

17、c4C5c470台,选C.16、选排问题-先取后排法：从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.例20.1四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,那么恰有一个空盒的放法有多少种？2解析：先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的万法有c4种,再排：在四个盒中每次排3个有A3种,故共有c2A3144种.29名乒乓球运发动,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打练习,有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运发动各2名,有c；cj种,这四名运发动混和双打练习有A中排法,故共有c5cA2120种.17、局部合条件问题一排除法：在选取的总数中,只有一局部合条件,可

18、以从总数中减去不符合条件数,即为所求.例21.1以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70种B、64种c、58种D、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点,理论上可构成c：四面体,但6个外表和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有c841258个.2四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有A、150种B、147种c、144种D、141种解析：10个点中任取4个点共有c2种,其中四点共面的有三种情况：在四面体的四.,.,一44_4_4个面上,每面内四点共面的情况为c6,四个面共有4c6c104c636141种.本材料第 7 7 页共 1616

19、页18、圆排问题-直排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列,顺序 例如按顺时钟 不同的排法才算不同的排列,而顺序相同即旋转一下就可以重合的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,以下n个普通排列：为a冏“卜；a?,a4|,anj“；an,aij|,an1在圆排列中只算一种,由于旋转后可以重合,故认为相同,n个元素的圆排列数有n1种.因此可将某个元素固定展成单排,其它n的n1元素全排列.例22.5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有A4种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和右边,有2种方式,

20、故不同的安排方式2425768种不同站法.说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有工町种不同排法.m19、可重复的排列-求帚法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.例23.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步,第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有76种不同方案.20、元素个数较少的排列组合问题-枚举法：例24.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,

21、2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号与盒子号相同,问有多少种不同的方法？解析：从5个球中取出2个与盒子对号有C；种,还剩下3个球与3个盒子序号不能对应,利用枚举法分析,如果剩下3,4,5号球与3,4,5号盒子时,3号球不能装入3号盒子,当3号球装入4号盒子时,4,5号球只有1种装法,3号球装入5号盒子时,4,5号球也只有1种装法,所以剩下三球只有2种装法,因此总共装法数为2C；20种.本材料第 8 8 页共 1616 页21、复杂的问题-对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理例25.1圆周

22、上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：由于圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形,显然有C：个,所以圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C2个.2某城市的街区有12个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从A到B的最短路径有多少种？段,向北3段；而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过定路径,因此不同走法有C；种.22、区域涂色问题-分步与分类综合法解答区域涂色问题,一是根据分步计数原理,对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色

23、分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类.以上三种方法常会结合起来使用.、的各局部涂色,每局部只涂一种颜色,相邻局部涂不同颜色,那么不同的涂色方法有多少种？法1：A53A4240法2：A542A；240例28、一个地区分5个区域,现用4种颜色给地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色那么不同的着色方法有多少种？本材料第 9 9 页共 1616 页解析：可将图中矩形的一边叫一小段,从A到B最短路线必须走7小段,其中：向东44段的走法,便能确法1.分步：涂有4种方法,涂有3种方法,涂有2种方法,/涂有2种方法,涂时需看与是否相同,因此分两类.f4322432172法2.按用了几种颜色分两类：涂

24、了4色和3色432A2A：A A；7272例 2929、某城市在中央广场建造一个花圃,花圃分为6个局部如图,现要栽种4种不同颜色的花,每局部栽种一种且相邻两个区域不能同色,不同的栽种方法有种.(用数字作答y解法1：首先栽种第i局部,有C4种栽种方法；二1/；然后问题就转化为用余下3种颜色的花,去栽种周围的5个部分如右图所示,广对扇形2有3种栽种方法,扇形3有2种栽种方法,/5扇形4也有2种栽种方法,扇形5也有2种栽种方法,LJL-VJ1)扇形6也有2种栽种方法.2于是,共有324种不同的栽种方法.但是,这种栽种方法可能出现一一区域2与6着色相同的情形,这是不符合题意的,因此,答案应从324中减

25、去这些不符合题意的栽种方法.这时,把2与6看作一个扇形,其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种这种转换思维相当巧妙.1_4_1_2_一一一综合和,共有C432(C322A311)4(4818)430120种.解法2:依题意只能选用4种颜色,要分5类1与同色、与同色,那么有A：；2与同色、与同色,那么有A4；3与同色、与同色,那么有A：；4与同色、与同色,那么有A：；5与同色、与同色,那么有A：；所以根据加法原理得涂色方法总数为5A：=120种23、复杂问题一-树图法(选组穷举法)当以上各法还难以解决时,可用画树图的方法解决.虽然原始、笨拙,但清楚、可靠.此法称选组穷举法,即将所有满足

26、条件的排列一一列举,探索出其规律.解：以 a,b,c,da,b,c,d 分别代替 4 4 种颜色的花.通过树图可知,完成此事共分6步,第一步有4方法；二步有3方法,第三步有2同方案,第四步也有2不同方法第五步有2种不同方案,然而第六步有？种不同方案？,不易看清！画出树图,由图知将四、五、六两步并为一步,有5种方法.本材料第 1010 页共 1616 页于是共有432512024、复杂排列组合问题-构造模型法:例31.马路上有编号为1,2,3,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型,在6盏亮货

27、T的5个空隙中插入3盏不亮的灯C；种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒2正方体8个顶点可连成多少队异面直线？解析： 由于四面体中仅有3对异面直线,可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体,从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有C841258个,所以8个顶点可连成的异面直线有3X58=174X.26、逆向问题-方程法例33.平面上有相异的11个点,每两点连成一条直线,共得43条不同的直线.1这11个点中有无三点或三个以上的点共线？假设有共线,情形怎样？2这11个点构成多少个三角形？解：1设假设

28、有x条三点共线,y条四点共线,z条五点共线,于是有：C112x(C321)y(C421)z(C521)=43即23-2x-5y-9z-=0这方程的解只可能是：x=6,y=z=0或x=1,y=2,z=0.由此可知,这11个点中有6条三点共线或一条三点共和二条四点共线的情形.2由上可知这11个点构成三角形个数的情形有C1136C33=159或C113C32c42=156排列根底例题讲习例1:7位同学站成一排,共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列一一A7=50407位同学站成两排前3后4,共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7X6X5X4X3X2X1=7!=50407位同

29、学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?模型可使问题容易解决.25、复杂的排列组合问题-分解与合成法：例32.130030能被多少个不同偶数整除?解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2X3X5X7M1X13;依题意偶因数2必取,35,7,11,13这5个因数中任取假设干个组成成积,所有的偶因数为C；C5C；c53C；C；32个.本材料第 1111 页共 1616 页解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列一一A6=720(4)7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有A；种；第二步余下的5名同学进行全排列有

30、A；种那么共有A2A；=240种排列方法7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一直接法：第一步从除去甲、乙其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列全排列5.2.5有A种方法所以一共有A5A5=2400种排列方法.解法二：排除法假设甲站在排头有A65种方法；假设乙站在排尾有A6种方法；假设甲站在排头且乙站在排尾那么有A5种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有A；2A6+A；=2400种.小结一：对于“在与“不在的问题,常常使用“直接法或“排除法,对某些特殊元素可以优先考虑.例2：7位同学站成一排.、乙两

31、同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑在一起看成一个元素与其余的5个元素同学一起进行全排列有A6种方法；再将甲、乙两个同学“松绑进行排列有A；种方法.所以这样的排法一共有A(6A；=1440种.、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上,一共有A；A：=720种.、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有A；种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、乙_2.242两个同学松绑进行排列

32、有A2种方法.所以这样的排法一共有A5AA2=960种方法.解法二：将甲、乙两同学“捆绑在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,假设丙站在排头或排尾有2A5种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A62A5bA960种方法.解法三：将甲、乙两同学“捆绑在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有A4种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有A5种方法,最后将甲、 乙两同学“松绑,所以这样的排法一共有A1AA=960种方法.本材料第 1212 页共 1616 页小结二：对于相邻问题,常用“捆绑法先捆后松例3:7位同学站成一排.、乙两同学不能相

33、邻的排法共有多少种？解法一：排除法AAA3600解法二：插空法先将其余五个同学排好有A5种方法,此时他们留下六个位置就称为“空吧,再将甲、乙同学分别插入这六个位置空有储种方法,所以一共有_5_2A5A63600种方法.甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有A4种方法,此时他们留下五个“空,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空有A53种方法,所以一共有A4A53=1440种.小结三：对于不相邻问题,常用“插空法特殊元素后考虑.例4：从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,那么共有多少种不同的排法？解

34、法一：从特殊位置考虑NA；136080解法:从特殊兀素考虑假设选：5Ag假设不选：Ag那么共有5Ag+Ag=136080解法三：间接法A60A；136080例5:八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,那么共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排A：;丙排在后排A：;其余进行全排列A55.所以一共有A：A4A5=5760种方法.不同的五种商品在货架上排成一排,其中 a,ba,b 两种商品必须排在一起,而 c,dc,d 两种商品不排在一起,那么不同的排法共有多少种？略解：“捆绑法和“插空法的综合应用a a,b b 捆在一起与 e e 进行排列有A；此时留下三个空,将

35、c,dc,d 两种商品排进去一共有 A A；最后将 a a,b b“松绑有尾,所以一_2_2.2共有A2A3A2=24种方法.6张同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,假设要求师生相间而坐,那么不同的坐法有多少种？略解：分类假设第一个为老师那么有A3A3；假设第一个为学生那么有AA3所以一共有2A33A；=72种方法.例6:由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：A5AAA；A55325由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13000大的正整数？解法一：分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有A3A；种方法；另一类是首位不为1,有A：种

36、方法.所以一共有A3A；A；A：114个数比13000大.本材料第 1313 页共 1616 页解法二：排除法比13000小的正整数有A3个,所以比13000大的正整数有A3A=114个.例7:用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列.第114个数是多少？3796是第几个数？解：由于千位数是1的四位数一共有A60个,所以第114个数的千位数应该是“3,十位数字是“1即“31开头的四位数有A：12个；同理,以“36、“37、“38开头的数也分别有12个,所以第114个数的前两位数必然是“39,而“3968排在第6个位置上,所以“3968是第114个数.由上可知“37开头的数的

37、前面有60+12+12=84个,而3796在“37开头的四位数中排在第11个倒数第二个,故3796是第95个数.例8:用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中能被25整除的数有多少个？十位数字比个位数字大的有多少个？解：能被25整除的四位数的末两位只能为25,50两种,末尾为50的四位数有A：个,末尾为25的有A3A3个,所以一共有A2+A3A3=21个.注：能被25整除的四位数的末两位只能为25,50,75,00四种情况.用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,一共有A5A；300个.由于在这300个数中,十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的,所以十位数字比个位数字大的有1A5A；150个.参考练习1.有6张椅子排成一排,现有3人就座,恰有两张空椅子相邻的不同坐法数是-()2.由1、2、3、4组成的无重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列人排成一排,其中甲、乙之间至少有一人的排法种数为4.用0、1、2、3、4、5、6组成满足以下条件的数各多少个？1无重复数字的四位数；2无重复数字