2019-2020第一学期通州区高二数学期末试题

1、通州区2019 2020学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷2020年1月考生须知：本试卷分I、n两卷，共4页满分150分，考试时间120分钟.第一部分、选择题：本大题共 8小题，每小题（选择题共40分）5分，共40分.在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的21 .双曲线-y2 =1的离心率是 42 .已知椭圆 C的两个焦点分别为Fi(-3.0), F2(3,0),点P为椭圆C上一点，且PFi|+|PF21=10,那么椭圆C的短轴长是A . 63.已知 a 0,B. 7C.那么下列不等式中一定成立的是C.1 0)取得最小值.4x10 .已知抛物线的顶点在原点，准线方程为y

2、= -2,那么该抛物线的标准方程是 11 .已知向量n= (2,Y,2), m= (T,2,1)分别是两个不同平面 口，P的法向量，可得向量n与m的数量关系是 ,进而得到平面a与P的位置关系是 .12 .写出满足下列条件的一个双曲线的方程：焦点在x轴上，y轴是对称轴；高二数学期末考试第 2页(共4页)一条渐近线的方程是y = kx k ：二-213 .如图2, 一个湖的边界是圆心为 O的圆，湖上有桥 AB （ AB是圆O的直径）.湖的 一侧有一条直线型公路l ,规划在公路l上选一个点P ,并修建一段直线型道路 PB .已知点A , B到直线l的1距离分别为 AC, BD ,测得 AB=10,

3、AC =6,（二方BD=12 （单位：百米）.若道路 PB与桥AB垂直，X2V求道路PB的长.图2某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整.如图3,过O作OH _Ll ,垂足为H ,以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.由已知 AB=10, AC=6, BD =12,计算得出 OH =9, A（4,3）, B（,-3图 3从而得到直线l的方程为y=9,直线AB的斜率为.由PB _L AB ,得直线PB的斜率为 ，进而得到直线 PB的方程为，得到点P的坐标为，计算得出PB的长为 百米.14 .“斐波那契数列”是数学史上的一个著名的数列 .在斐波那契数列街中，a1 =1 , a?

4、 =1 , and2 =an +an+ （nW N*）.设数列an的前n项和为& ,若a99 =九，S99 =（九，N三 R ）,则 a00 =三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明； 证明过程或演算步骤.15 .（本题13分）已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q（q0）的等比数列，且 4=6=2, a4 +a5 =25 , a3b3 = 4 .（I）求数列an和bn的通项公式；高二数学期末考试第 3页（共4页）(n )设Cn =an +2 ,求数列Cn的前n项和Sn .216 .(本题13分)已知双曲线x21-=1,抛物线y2=2px(p 0)的焦点与

5、双曲线的一个焦点相同，点P(x0,y )为抛物线上一点.(I)求双曲线的焦点坐标；(n)若P点到抛物线的焦点的距离是 5,求x0的值.17 .(本题13分)已知圆C的圆心在y轴上，且过(0,0 ), (0,2 )两点.(I)求圆C的方程；(n)若直线l经过点P(2,2 ),且与圆C相切，求直线l的方程.2x 218 .(本题13分)已知椭圆 一+y =1的上、下顶点分别为 A, B,点M是椭圆上异于 A, 4B的任意一点，过 M点作MN _Ly轴于点N , E为线段MN的中点，直线 AE与直线y = 1交于点C, G为线段BC的中点，O为坐标原点，连接OE,EG,求/OEG的大小.以下是某同学

6、的部分解答过程:2x 2解：如图4,因为点A, B为椭圆 一+ y2=1的上、下顶点,4所以 A(0,1), B(0,-1).设 M x0,y0 址:0 ,所以 N(0,y ), Efj,y0因为A(0,1),所以直线 AE的方程为y-1 =2y0+1)x .Xo高二数学期末考试第 4页(共4页)令 y = -1,得 x =0-,所以 C =x-,1 . y0 +1d0+1J因为B(0, 1), G为线段BC的中点，所以 G xX, -1 I2(y0+” J (i)请指出上述解答过程中的错误之处(指出错误源头即可)；(n)写出完整的正确的解答过程 .19 .(本题14分)如图5,在长方体 AB

7、CD ABQR中，点E , F分别是AB , AC的中点，AD =AA1 =2 , AB =4.(I)求证：EF / 平面 ADD0 ;(n )求二面角 F -DE -C的余弦值;(出)在线段 AD上是否存在点 M ,使得BM _L平面EFD ?图5若存在，求出 AM的值；若不存在，请说明理由.AD12220.(本题14分)已知椭圆 、+冬=1 ( ab0)的焦点是F1，F2,且 下正2=2, a b离心率为.2(I)求椭圆的方程；(n)过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A(x1，B(x2, y2) ( x1之X2)两点.(i)求AF2 BF2的最小值;八QA F2A-(ii)点Q在直线l上异于

8、F的一点，且满足 一1 =，求证：点Q在一条定直线2QB F2B上.高二数学期末考试第 5页(共4页)通州区2019-2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准2020年1月选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CCDBABCB二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分._ 12y29. 10. x2=8y11. n = 2m,平行 12. x2 - =1 （答案不唯29一）13. 3,一4, 4x+3y+25=0,（一13,9）, 1514. 九+1三.解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本题13分）解：（I）因为数列an是公差

9、为d的等差数列，a=2, a4+a5=25,所以 a13d a1 4d -25.所以d=3. 2分所以 an=2+（n1 产 3 = 3n1. 4分所以a3 =8.因为a3b3 =4,所以坊=工2所以 b1q2 =.2因为 b1 =2 , q 0,1所以q = -. 62分高二数学期末考试第 6页（共4页）n_2(n)因为cn=an+2, Sn是数列g的前n项和,所以Sn= G -C2|l| -Cn= ai, 2a22 - 11|an2=a a? an 2 2 I 2 =n 2 3n -1 2n13=3n2 5n. 22分16.(本题13分)2解：(I)因为双曲线的方程为 x2L=1, 3所以

10、 a2=1, b2=3.所以 c2=a2+b2=4.所以 c=2.所以双曲线的焦点坐标为-2,0 , 2,0 .2(n)因为抛物线y =2px(p0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,所以抛物线y2=2px(p0 )的焦点是(2,0)所以P =4.因为点P(%,y0 )为抛物线上一点,所以点P(x0,y0 )到抛物线的焦点白距离等于点P(x),y0 )到抛物线的准线x = -2的距离.因为P点到抛物线的焦点的距离是5,所以 x0 . 2 = 5.高二数学期末考试第 7页(共4页)所以Xo =3.1317.(本题13分)解：(I)因为圆C的圆心在y轴上，2 c所以设圆C的方程为X2 +(y -b )

11、 =r2.分 1因为圆C过(0,05(0,2)两点,22b =r ,所以22解得2-b =r2.b =1,r =1.2所以圆C的方程是x2+(y1) =1. 5分6(n)依题意，知直线l的斜率存在分 因为直线l经过点P(2,2 ),所以设直线l的方程为y 2=k(x2),即kx y2k+2 = 0. 8分因为直线l与圆C相切，”,、，1 2k *2石八 4所以 .=1.斛得 k =0 ,或k =一. 12k2 13分42所以直线l的方程是y=2或y=_x_.3313分18.(本题13分)-一八一.2 y0 1解：(I)所以直线 AE的万程为y-1 =-x”处出错. 3X。分高二数学期末考试第

12、8页(共4页)B 0,-1 .2(n)因为点A, B为椭圆 a + y2 =1的上、下顶点，所以4一一一一Xc设 M (Xc，y0 XX00，所以 N(0,y), E(W，y0 卜 因为A(0,1),所以直线 AE的方程为y_1=2.% -1 k .X0=1 ,得 x=- ,所以 C1 - y0因为B(0,-15G为线段BC的中点,Xo所以G2 17。(21 GE=12 1-yo,y0 +1 因为点M是椭圆上的一点， 所以2迎 + y02 =1 ，即 X02 =4 -4y02 .4Xo所以OE GE =通毡-2122(1-y22y0 %1 吟二V0V0=1-4 -1y0=0.12分 所以 OE

13、 _LGE 所以 /OEG =90、13所以/EOG的大小是9019.(本题14分)高二数学期末考试第 9页(共4页)(I)证明：连接A), AD交于点O,连接FO ,所以点O是AD的中点.1 又因为F是AC的中点，所以OF/CD, OF=CD.21 _因为 AE/ CD, AE=CD ,所以 OF/AE, OF=AE.2所以四边形 AEFO是平行四边形. 所以EF/ AO.因为EF平面ADDiA , AO匚平面ADDiA,所以EF /平面ADD1A .分(n)解：以点A为坐标原点，直线 AB , AD , AA为分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，5分因为点E, F分别是AB, AiC的

14、中点，AD=AAi=2, AB = J2，所以 B(五,0,0), D(0,2,0), E ,0,0 , F ,1,1 .I2 J 12 JEF = 0,1,1 .一，我、所以 DE = ,-2,0 ,I2J设平面EFD的法向量为n=(x,y,z),4 -* -2n DE =0,x_2y-0_所以百一即2 y 令丫=1,则2 = -1, x = 272.n EF=0,y z=0.所以 n=(2五,1,一1 ) 7分由题知，平面 ABCD的一个法向量为 m = (0,0,1),所以cos n, m10 11010又因为二面角FDEC为锐角,高二数学期末考试第10页(共4页)所以二面角F -DE

15、-C的余弦值是 匝 910分（出）解：假设在线段AiDi上存在一点M ,使得BM _L平面EFD .设点M的坐标为（0,t,2 ）.所以BM =（夜,t,2 ）.因为平面EFD的一个法向量为 n=（2 亚,i,i 所以BM与n不平行.14所以在线段ADi上不存在点M，使得BM _L平面EFD .分20.（本题14分）（I）解：因为椭圆的焦点是 E, F2,且 FiF21=2,所以c = 1.因为离心率为2 ,所以a = . 22所以b =i.2所以椭圆的方程是 L + y2=i 3分2（n） （i）解：由（i）知 F2（i,0 ）,一“自广无】广无】当直线l的斜率不存在时，A i,，B i-，

16、1 I 2 J I 2 J一、， i所以 AF2 BF2 = 1 . 42分 当直线l的斜率存在时，设为 k ,所以直线l的方程可设为y =k（x -1）.2、y2 1, , t 12 222联立万程组2 2消去y,整理得（1+2k2 ）x24k2x+2k2 2 = 0.y=k x-1 ,高二数学期末考试第 11页（共4页）2_ 2_4k2k -2所以x1 x2 =2 ， x1 x2 =2.1 2k1 2k所以 AF2 = J(x1 一1 ) +y； = Jl+k2|x1 -1 , BF2 =e-1 2 +y22 = Ji +卜上一1 所以 AF2 BF2 =(1 +k2 )x1 x2 -(x1 +x2 )+122=1 k22k2 -24k2)1+2k2 1+2k2 _ 1 k2一1 2k2分121 2k2当k2 =0时，AF2 BF2取最大值为1.所以AF2 BF2的取值范围是 日，1 . 1因为当直线l的斜率不存在时，af2