第十二章统计推断

1、第十二章统计推断知识结构图内容提要    教学基本要求1了解总体、个体、样本、统计量、点估计、区间估计等概念；2会计算样本均值、样本方差，会查?2分布、t分布、F分布表；3掌握矩估计法、最大似然估计法，了解估计量的评价标准；4会求正态总体的均值与方差的置信区间；5理解假设检验的基本思想，了解假设检验可能产生的两类错误，掌握   单正态总体的均值与方差的假设检验方法重点难点重点：了解样本、点估计、去件估计等概念；会计算样本极值、样本方差；会查有关的分布表；掌握矩估计法、最大似然估计法以及对估计量的评价标准；掌握单正态总体的均值与方差的假

2、设检验方法；会求正态总体的均值与方差的置信区间；掌握点估计、区间估计在经济管理中的应用；掌握假设检验和经济管理中的应用。难点：统计推断的思想的理解12.1总体、样本、统计量12.1.1总体和样本总体和样本：将所研究对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体，组成总体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本，一个样本中所含样品的个数称为样本容量(或样本大小)，由n个样品组成的样本用x1,x2,xn表示 当从总体中抽取一个样品进行测试后，随机变量就取得一个观测值，这个数值称为样品值；抽取n个样品组成样本x1,x2,xn时，得到的一组观测值称为样本值，为方便起见

3、，在不至于引起混淆的情况下，我们仍用x1,x2,xn表示样本值 12.1.2统计量数理统计的任务就是对样本值进行加工、分析，然后得出结论以说明总体为了把样本中所包含的我们所关心的信息都集中起来，就需要针对不同的问题构造出样本的某种函数这种函数在数理统计中称为统计量 定义12.1设x1,x2,xn是总体X的一组样本，f(x1,x2,xn)为一n元连续函数，如果f(x1,x2,xn)中不包含任何未知参数，则称f(x1,x2,xn)为样本x1,x2,xn的一个统计量当x1,x2,xn取定一组值时，f(x1,x2,xn)就是统计量的一个观测值12.1.3样本矩设x1,x2,xn是从总体X中抽取出来的一

4、个样本， 称统计量                   为样本均值 称统计量               为样本方差 称统计量             

5、; 为k阶样本原点矩 称统计量             为k阶样本中心矩12.2抽样分布 统计量的分布又称为抽样分布 在以下结论中，样本均值为                     , 样本方差为     &

6、#160;           . 12.2.12-分布设x1,x2,xn是来自标准正态分布N(0,1)的一组样本，可以证明统计量的分布密度为             这里我们称统计量服从自由度为n的分布，记作 其中是-函数在n/2处的函数值，“自由度”是指独立的随机变量的“最大个数” 分布的图形与自由度n有关，    当n很大时(一般地n>

7、45)，近似地服从正态分布，因此分布表只列到n=45,对于给定的正数,称满足的点为分布的上100百分位点，其中f(t)是分布的概率分布密度    12.2.12-分布定理12.1设x1,xn是来自正态总体N(,2)的一组样本，则有如下结论： (1) 样本均值 (2) 统计量 (3) 与s2相互独立. 定理12.2设x1,xn是来自标准正态分布N(0,1)的一组样本，则有如下结论： (3) 与Q相互独立 例1已知某单位职工的月奖金服从正态分布，总体均值为200，总体标准差为40，从该总体中抽取一个容量为20的简单随机样本，求这一样本的均值介于190210的概率 解因

8、为XN(200,402),n=20，所以             故             即样本均值介于190210的概率是0.737 例2查分布表：设x1,xn是来自正态总体N(,2)的一组样本，则由定理12.2知统计量具体地，例如样本容量n=11，则，此时临界值可通过查分布表得到：自由度为11-1=10，若=0.05，则12.2.2t-分布设X与Y是两个相互独

9、立的随机变量，且XN(0,1)，Y，可以证明统计量的概率密度为               这时我们称统计量服从自由度为n的t-分布，记作T-t(n). t-分布的概率密度函数图形(图12-3)是关于x=0对称的，并且形状类似于正态概率密度的图形，当n很大时(一般地n>30)， t-分布近似于标准正态分布N(0,1)，但对于小的n，t-分布与N(0,1)相差很大   对于给定的正数，称满足的点为t-分布的上100百分位点

10、，其中f(t)是t-分布的概率密度    定理12.3设x1,xn(n2)是来自N(,2)的一组样本，则随机变量                    定理12.4设X与Y是相互独立的两个随机变量，来自正态总体XN(1,2)的一组样本，来自正态总体YN(2,2)的一组样本，则随机变量     其中分别是两总体的样本均值，分别是两总体的样本

11、方差，n1,n2分别是两总体的样本容量 特别地，当n1=n2=n时，有             12.2.3F-分布若随机变量，且X1与X2相互独立，则统计量的概率密度函数为     这时我们称统计量服从第一自由度为n1，第二自由为n2的F-分布，记作XF(n1,n2)，即              

12、;     F-分布的图形与n1,n2有关       F-分布满足：   的点Fn(n1,n2)，称为F-分布的上100百分位点，其中f(t)是F-分布的概率密度   Fn(n1,n2)具有性质 例3设FF(8,12)，=0.05，查附表可得F0.05(8,12)=2.85又若求F0.90(12,15)，查表得F0.10(15,12)=2.10,故       &#

13、160;        F0.90(12,15)=1/2.10=0.476定理12.5设是来自正态总体XN(1,2)的样本，是来自正态总体YN(2,2)的样本，且X与Y相互独立，则随机变量                 其中分别是两正态总体的样本方差，n1,n2分别是两总体的样本容量 12.2.4其他结论定理12.6设来自正态总体，来自正态总体，且X与Y相

14、互独立，则随机变量和彼此独立，遵从均值为均方差为的正态分布 12.3参数的点估计 设为总体X的待估计的参数，x1,x2,xn为总体X的一个样本，构造一个统计量作为参数的估计，称统计量为参数的一个估计量，当x1,x2,xn为一组样本值时，则就是的一个点估计值 12.3.1矩估计法设总体X的分布中包含未知参数1,2,m，则其分布函数可以表成F(x;1,2,m)显然它的k阶原点矩vk=E(xk)(k=1,2,m)中也包含了未知参数1,2,m，即vk=vk(1,2,m)又设x1, x2,xn为总体X的n个样本值，样本的k阶原点矩为 按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建

15、立方程，即有             由上面m个方程，解出m个未知参数就是参数(1,2,m)的矩估计量例1设x1,x2,xn是来自正态总体N(,2)的一个样本，试求和2的估计量 解因为x1,x2,xn是来自正态总体N(,2)的一个样本，因此E(xi)=，D(xi)=2，i=1,2,n 于是，从而有               &

16、#160;  从上式解出和，得                若要求标准差的会计量，则从上式可得                   例2设某种灯泡寿命XN(,2)，其中和2未知，今随机抽取5只灯泡，则得寿命(单位：h)分别为 &

17、#160;           1623, 1527, 1287, 1432, 1591.求和2的估计值 解根据例1的结论，得           即和2的估计值分别为      必须注意,对于不同的样本值,估计值是不同的  例设X服从均匀分布   设1.3, 0.6, 1.7, 2.2, 0.3,

18、 1.1是总体X的一组样本值，试估计这个总体的数学期望、方差以及参数 解分别用样本的均值和方差估计总体的均值和方差，故总体期望的估计值为 总体方差的估计值为 为了估计参数，先求总体的数学期望E(X)，             令，则得的矩估计值为              12.3.2最大似然估计法设x1, x2,xn是来自密度为f(x1;)的一个

19、样本，是未知参数，称f(x1;)f(x2;)f(xn;)为的似然函数，记作L(;x1,x2, xn)，即             L(;x1,x2,xn) =f(x1;)f(x2;)f(xn;). 由于样本值x1,x2,xn是已知确定的值，而是未知的，因此似然函数是关于的函数 当参数用作估计量时使似然函数L(;x1,x2,xn)达到最大值的称为参数的最大似然估计量，记作         

20、         如果似然函数L(;x1,x2,xn)关于参数是可微的，求L(;x1,x2,xn)的最大值时，解方程                        从中得到，经过适当检验，便可得到的最大似然估计量实际计算时，由于似然函数L是多个函数连乘积的形式，直接对函数L求导比较困难，考

21、虑到lnL是L的增函数，L与lnL应该在的同一值处取得最大值，因此往往先对L取对数，然后再解方程                        从中得到的使lnL取得极大值的，就是参数的最大似然估例4设总体X的分布为指数分布，其密度为           &#

22、160;      其中为未知参数设x1,x2,xn是来自总体X的一个样本，求参数的最大似然估计 解似然函数为       L(;x1,x2,xn)=f(x1;)f(x2;)f(xn;)                        取对数，得

23、60;          解方程              故参数的最大似然估计量为  总体分布X中含有两个未知参数1,2时，最大似然估计法仍然适用，这时似然函数是二元函数L(1,2;x1,x2,xn)              

24、       从中解出的使lnL取得极大值的，就是参数1,2的最大似然估计量 例5设x1,x2,xn是正态总体N(,2)的一个样本，试求和2的最大似然估计 解似然函数是         取对数      解方程组        解得          

25、;  于是得到和2的最大似然估计是                        与矩估计法的结论相同 例6设x1,x2,xn是均匀分布                   的一个

26、样本，求参数的最大似然估计 解似然函数为      L(;x1,x2,xn) =f(x1;)f(x2;)f(xn;)                        从似然函数L(;x1,x2,xn)与的关系式可以看出，越小L(;x1,x2,xn)就越大，它的极大值在可能取的最小值上达到，而必须大于xi(i=1

27、,2,n)，因此L(;x1,x2,xn)的极大值是,于是得到的最大似然估计是                  12.3.3估计量的评价标准定义12.2如果参数的估计量满足：                     &#

28、160;    则称为参数的无偏估计量例7证明：是总体均值的无偏估计量 证因为 所以是的无偏估计 例8设x1,x2,xn是来自总体X的一个样本，证明：(1) 样本均值是总体均值的无偏估计；(2) 统计量不是总体方差2的无偏估计，而                     是2的无偏估计 证(1) 由于E(xi)=，i=1,2,n,  &#

29、160;     所以                   定义12.3若1,2都是的无偏估计，而且D(1)<D(2)，则称1比2更有效    例9若总体X服从泊松分布             对于容量为

30、n(n>2)的样本x1,x2,xn ，证明比有效 证因为E(xi)=，所以即与都是的无偏估计但是所以比有效12.4区间估计12.4.1置信区间与置信度例1设x1,x2,xn是物体长度的测量值，已知测量误差i(i=1,2,n)是各次独立的，都遵从N(0,2)，其中是已知的常数，问以99%的把握可以断言长度的真值在什么范围内? 解  因为测量值xi=+i，根据期望和方差的性质，有                &#

31、160;E(xi)=，D(xi)=D(i)  所以x1,x2,xn是独立同分布的随机变量，即xiN(,2)，于是的点估计量就遵从正态分布由正态分布的性质可知              12.4.1置信区间与置信度例1设x1,x2,xn是物体长度的测量值，已知测量误差i(i=1,2,n)是各次独立的，都遵从N(0,2)，其中是已知的常数，问以99%的把握可以断言长度的真值在什么范围内? 解  因为测量值xi=+i，根据期望和方差

32、的性质，有                 E(xi)=，D(xi)=D(i)  所以x1,x2,xn是独立同分布的随机变量，即xiN(,2)，于是的点估计量就遵从正态分布由正态分布的性质可知              定义12.4设x1,x2,xn是分布密度为f(x;)的一个样

33、本，对给定的0<<1，如能求得两个统计量和，使得    则称1-为置信度，称区间为参数的置信度为1-的置信区间置信度简称为信度，置信度为1-的置信区间在不至于混淆时也简称为置信区间 12.4.1置信区间与置信度总结例1的解题过程，可以归纳出求置信区间的步骤： 1明确问题：明确要估计的参数如例1中要估计的参数是(总体的期望)，确定置信度 2用参数的点估计，导出估计量的分布例1中用的估计量，并已知 3利用估计量的分布给出置信区间例1中利用导出于是总结例1的解题过程，可以归纳出求置信区间的步骤： 1明确问题：明确要估计的参数如例1中要估计的参数是(总体的期望

34、)，确定置信度 2用参数的点估计，导出估计量的分布例1中用的估计量，并已知 3利用估计量的分布给出置信区间例1中利用导出于是例3用某仪器测量温度，重复5次，得1250,1260,1265,1245,1275若测得的数据服从正态分布，试求温度真值所在的范围?( =0.05) 解在总体方差未知的情况下，总体均值(温度真值)的置信区间是              查t-分布表可知  计算知      &

35、#160;                   所以                           故温度真值表的置信度为0.95的置信区间是(1244.

36、2, 1273.8)例3用某仪器测量温度，重复5次，得1250,1260,1265,1245,1275若测得的数据服从正态分布，试求温度真值所在的范围?( =0.05) 解在总体方差未知的情况下，总体均值(温度真值)的置信区间是              查t-分布表可知  计算知               

37、;           所以                           故温度真值表的置信度为0.95的置信区间是(1244.2, 1273.8)12.4.2数学期望的区间估计1已知方差2，对期望进行区间估计 设x1,xn为总体N

38、(,2)的一个样本，其中未知，(已知)，由定理12.1知                     所以                  对于给定的置信度1-，存在，使得     

39、            例2从正态总体N(,4)中抽取容量为4的样本，样本均值为求的置信度为0.95的置信区间 解因为1-=0.95，所以=0.05，查正态分布数值表，    ，故=1.96，于是             即的置信度为0.95的置信区间是(9.28, 17.12)2未知方差2，对期望 进行区间估计 设x1,x2,xn为总体

40、N(,2)的一个样本，由于2未知，用2的无偏估计样本方差来估计2，并且由定理12.3知道                    对于给定的置信度1-，存在，                   使得  

41、0;      故所求期望的置信度为1-的置信区间为                   于是由不等式，推得                   故所求期望的置信度为1-的置信区间为

42、0;                 例3用某仪器测量温度，重复5次，得1250,1260,1265,1245,1275若测得的数据服从正态分布，试求温度真值所在的范围?( =0.05) 解在总体方差未知的情况下，总体均值(温度真值)的置信区间是              查t-分布表可知 

43、; 计算知                          所以                       

44、0;   故温度真值表的置信度为0.95的置信区间是(1244.2, 1273.8)12.4.3方差2的区间估计考虑方差2相应的样本方差s2，并由定理12.1知道                    故有      由此得：当总体N(,2)的参数未知时，方差2的1-的置信区间为     

45、             12.4.3方差2的区间估计例4求例2中总体标准差的置信度为0.95的置信区间 解的置信区间为                  查表可知       已知=0.05，例2已计算出s2 =142.5，故  

46、;               于是总体标准差的置信度为0.95的置信区间是(7.2, 34.2)12.5假设检验12.5.1假设检验问题在统计中，我们称待考察的命题为假设，从样本去判断假设是否成立，称为假设检验 例1某工厂生产一种零件，零件的标准长度为0=2cm，根据过去大量生产的零件数据算出标准差0=0.05cm现在为了提高产量，采用一种新工艺生产，抽取新工艺加工的零件10个，测其长度的平均值是     

47、;                =1.980cm，问与0之间的差异，纯粹是试验或测试的误差造成的，还是由于工艺条件的改变造成的? 解由工艺条件的改变所引起的误差称为条件误差；由生产过程中受偶然因素的影响，以及对产品测量的不准确所造成的误差称为随机误差，这种误差即使在同一工艺条件下也是不可避免的，于是问题变成：与0之间的差异是由条件误差引起的还是由随机误差引起的? 用0表示原工艺生产的零件长度X的数学期望，表示新工艺 生产的零

48、件长度的数学期望(未知)，假设工艺的改变对零件长度没有显著影响，也就是与0的误差纯粹是随机误差，不存在条件误差，那么从理论上讲命题H0:=0应该是成立的 本例已知总体，H0:=0成立，即                 其中临界值通过查正态分布数值表得到，即通过已知条件计算在本例中=1.980, 0=2,0=0.05,n=10, 则         

49、0; 因此有               (12.5.3)   成立, 于是(12.5.2)式化为             =0.05，查正态分布表得=z0.025=1.96，因为|U|<=1.96，说明(12.5.3)式是满足的(12.5.3)式的概率意义是：没有理由怀疑假设 H0:=2不成立，即零假

50、设H0:=2成立，新工艺没有改变生产条件，这样就回答了开始提出的问题12.5.2假设检验的步骤总结上面例子的分析过程，可以得到假设检验的步骤： (1) 提出假设 根据研究的问题提出零假设H0(待检验的命题)和备择假设H1(对立命题)有时，我们关心的是总体均值是否增大(或减小)，这时要检验的假设是           H0:=0 ,H1:>0 (或H1:<0)，这种假设检验称为单边检验，而形如例1的检验称为双边检验  (2) 确定检验H

51、0的统计量 根据所研究问题的性质，已知条件及零假设H0，构造一个合适的统计量U，在假设检验中也称为检验量(3) 确定显著性水平，求临界值 根据问题的要求，确定，一般0.05(或0.01)求出在H0成立的条件下，满足                的临界值(查正态分布数值表得到)(4) 计算检验量的值并判断 根据样本值和检验所用的统计量U，计算检验量的值U0，并将U0与临界值比较，若|U0|>，则判断H

52、0不成立，拒绝H0，而接受H1：若|U0|，就没有理由怀疑H0的正确性，即接受H0，也常称为H0相容 1253 两个重要概念    (1)小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生，这个原理称为小概率原理，也称为实际推断原理    (2)两类错误    当H0为真时，作出了拒绝H0的推断，这类错误称为第一类错误，也叫弃真错误，犯这种错误的概率记作，即P拒绝H0|H0为真=    当H0为假时，作出了接受H0的判断，这类错误称第

53、二类错误，也叫存伪错误，犯这种错误的概率记作，即P接受H0|H0为伪= 12.6正态总体的假设检验问题12.6.1U检验法设x1,x2,xn是正态总体XN(,2)的一个样本，其中未知，(已知)用x1,x2,xn检验假设H0:=0(0是已知数)，H1: 0当H0成立时，有                对给定显著水平，查标准正态分布数值表，得，使得        

54、60;           因为P(|U|>)=，由样本x1,x2,xn计算检验量U的值U0：如果|U0|>，则拒绝H0，而接受H1；否则接受H0: =0或称H0相容，也就是说                H0的拒绝域是         

55、;       H0的相容域是 此法因检验量常用U来表示，故习惯上称为U检验法 例1已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下遵从N(4.55, 0.1102)现测了九炉铁水，其含碳量分别为4.27, 4.32, 4.52, 4.44, 4.51, 4.55, 4.35, 4.28, 4.45 .如果标准差没有改变，总体均值是否有显著变化? 解作假设H0:=4.55； H1:4.55，        计算样本均值   &#

56、160;    由于方差没有改变，故已知，选统计量，计算检验量值                  选显著性水平=0.05，查正态分布数值表得临界值=1.96因为|U|=3.82>1.96，说明在一次抽样试验中发生了小概率事件，这是不合理的，应拒绝H0:=4.55，即含碳量与原来相比有显著差异例2汽车轮胎厂制造的轮胎使用寿命服从均值=50000km，标准差为=4000km的正态分布现在改变配

57、方，重新生产一种轮胎，若随机抽出16个轮胎进行检验，得其平均数为52000km，那么新生产的寿命比以旧产品的寿命是否明显增长? 解由于我们只关心轮胎的使用寿命是否超过50000km，所以假设检验是单侧的 作假设H0:=50000； H1:>50000由于方差没有改变，故已知=4000，选统计量 ，计算检验量值                   选显著性水平=0.05，因为是单侧检验，因此P(U>)，即=

58、1- (见图12-11)查正态分布数值表得临界值=z0.05=1.65，现在U=2>1.65，说明在一次抽样试验中发生了小概率事件，应拒绝H: =50000，即新产品的使用寿命明显大于旧产品    例3某单位欲购买一批灯炮，从两个品牌的产品中各取50个测试平均寿命，甲的平均寿命为1282小时，乙为1231小时，甲的均方差为80小时，乙的为94小时，已知灯炮的寿命服从正态分布，问能否判断两个品牌的灯泡在质量上存在差别(=0.01)? 解作假设由定理12.9知服从均值为、均方差为的正态分布，因和未知，但样本容量较大，可用样本方差来近似估计它们，即，又因为在成立时

59、，故 计算检验量      =0.01，查正态概率分布数值表=2.58因为|U|=2.91>2.58，故拒绝，可以断定，即甲品牌的灯泡质量优于乙品牌 12.6.2t检验法设XN(,2)，,2都是未知常数，x1,x2,xn是总体X的一个样本，欲检验H0:=0 ,H1:0此时总体方差2未知，很自然的想法是用样本方差代替2(s2是2的无偏估计)，当H0成立时，构造统计量，根据定理12.3知统计量T服从自由度为n-1的t-分布于是对于给定的，由t-分布的临界值表可查得临界值:P(|T|>)=根据样本值算出检验量T的值，将|T|与比较，以检验

60、假设H0:=0是否成立：当|T|>时，拒绝H0；当|T|时，接受H0即2未知时，              H0的拒绝域是                   H0的相容域是 这个检验法称为T检验法 例4由于工业排水引起附近水质污染，测得鱼的蛋白质中含汞的浓度为：(单位:p

61、pm)0.37, 0.266, 0.135, 0.095, 0.101, 0.213, 0.228, 0.167, 0.766, 0.054 .从过去大量的资料判断，鱼的蛋白质中含汞的浓度服从正态分布，并且从工艺过程分析可以推算出理论上的浓度应为0.1，问从这组数据来看，实测值与理论值是否符合? 解作假设H0:=0.1；H1:0.1，    由于总体方差2未知，故选用统计量                &

62、#160;由已知条件可知0=0.1,n=10，通过计算可知样本的均值,方差是           计算检验量    T检验法还可以应用于比较两个带有未知方差，但方差相等的正态总体的均值是否相等的问题  设，检验假设H0:1=2若x1,x2,xn是总体X的一个样本，y1,y2,yn是总体Y的一个样本，则统计量            

63、60;    选显著性水平=0.05，查t-分布临界值表(自由度是9)得临界值t0.05 =2.262，现在|T|=1.375<t0.05=2.262，故应接受H0:=0.1，即实测值与理论值是相符的  在假设H0成立时服从自由度为2n-2的t-分布(定理12.6)对于给定的，查t-分布表得临界值:P(|T|>)=若|T|>，则拒绝H0；若|T|，则接受H0例5为考察温度对某物体断裂强力的影响，在70和80下分别重复作了8次试验，得断裂强力(单位:kg)的数据如下：7020.518.819.820.921.519.521.021.280

64、17.720.320.018.819.020.120.219.1假定70下的断裂强力用X表示，且服从，80下的断裂强力用Y表示，且服从，若，问70下的断裂强力与80下的断裂强力有无显著差别? 解作假设H0:1=2 ，据样本计算出              于是检验量          对于=0.05，查自由度为2n-2=14的t-分布数值表，得到满足P(|T|>)=的临界值t0.0

65、5=2.145由于|T|>t0.05，故拒绝H0，即认为70下的断裂强力比80下的断裂强力明显增大12.6.32检验法设XN(,2)，未知，x1,x2,xn是总体X的一个样本，欲检验H0: 2=(已知) 假设成立，用2的无偏估计量与比较，若比值接近于1，由于s2是2的最好近似值，说明2与近似相等，H0成立；否则，就否定H0如何刻画比值不接近于1呢?构造统计量                   由定理12.2知

66、，我们用比值替代作判断因分布的图形(见图)不对称，对于给定的，由P(1)=1-/2，由P(>2)=/2确定临界值1,2，它们可由分布表查出于是可用统计量进行对2的检验由样本值算出检验量的值，当1或2时，拒绝H0；当1<<2时，接受H0，这个检验方法称为检验法        例6某车间生产的铜丝，生产一向比较稳定，今从产品中任抽10根检查折断力，得数据如下(单位:kg)：578, 572, 570, 568, 572, 570, 572, 596, 584, 570.问是否可相信该车间生产的铜丝的折断力的方差为64?

67、解设X为铜丝的折断力根据经验知X服从正态分布，即XN(,2)，我们的任务是根据上述10个样本值，来检验假设                  H0:2=64；H1:264 由样本值算得                      取

68、=0.05，查自由度为9的分布表得临界值:，由于，故接受H0，即认为该车间生产的铜丝的折断力的方差为64例7原有一台仪器测量电阻值时，误差相应的方差是0.06()，现在一台新的仪器，对一个电阻值测量了10次，测得的值分别是1.101, 1.103, 1.105, 1.098, 1.099, 1.101, 1.104, 1.095, 1.100, 1.100.问新仪器的精度是否比原有的仪器好? 解设新仪器的误差的方差是2，于是10个测量值x1,x2,x10可以认为是正态总体N(,2)的一个样本，其中是电阻的真值，未知的现在要检验的假设是     

69、        H0:20.06；H1:2>0.06  2反映了新仪器的精度，2越小，精度越好，因此只要考虑20.06是否成立也就是说，如果我们从测量值推断出新仪器的精度不如原来的好，那么我们有相当的把握，从上面可以查得应用自由度为                       n-1=9的检验

70、，此时           查分布表，取=0.05，而0.00131<16.9，因此没有理由怀疑H0，也即可以认为新仪器的精度不会比原来的差.第12章 习题课 总结归纳本章主要内容： 一、总体、样本、统计量 1总体和样本    研究对象的某项数量指标X的值的全体称为总体，常记为总体X；组成总体的基本单位称为个体；从总体中任意抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本，也就是说，样本是一组独立且同总体分布的随机变量；一个样本中所含样品的个数称

71、为样本容量(或样本大小)，样本容量为n的样本可用x1,x2,xn表示    2统计量    设x1,x2,xn是总体X的一个样本，f(x1,x2,xn)为n元连续函数，若f(x1,x2,xn)中不包含任何未知参数，则称f(x1,x2,xn)为样本x1,x2,xn的一个统计量，当x1,x2,xn取定一组值时，f(x1,x2,xn)就是统计量的一个观测值    几个常用的统计量：设x1,x2,xn是从总体X中抽取出来的一个样本，    (1

72、)样本均值                    (2)样本方差                    (3)k阶样本原点矩      &#

73、160;     (4)k阶样本中心矩            3抽样分布    统计量的分布称为抽样分布二、来自正态总体的常用统计量及其分布1分布    分位点：对于给定的正数(0<<1)，称满足的点为分布的上100百分位点，其中f(t)是分布的概率密度    主要结论：  &

74、#160; (1)设x1,xn是来自标准正态分布N(0,1)的一组样本，则统计量服从自由度为n的分布，即    (2)x1,xn是来自正态单体N(,2)的一组样本，则：    样本均值             统计量             

75、0;  与s2相互独立.    (3)设x1,xn是来自标准正态分布N(0,1)的一组样本，则：              与Q相互独立.    2t分布    分位点：对于给定的正数:0<<1，称满足的点为t分布的上100百分位点，其中f(t)是t分布的概率密度.    主要结论：&#

76、160;   (1)设XN(0,1)，Y，且X与Y相互独立，则    (2)设x1,xn(n2)是来自N(,2)的一组样本，则                         3F分布    分位点：F分布的上100百分位点是指满足  &#

77、160;               的点，其中f(t)是F分布的概率密度    主要结论：    (1)若,，且X1与X2相互独立，则的分布即为F(n1,n2)，即    (2)设是来自正态总体XN(1,2)的样本，是来自正态总体YN(2,2)的样本，且X与Y相互独立，则统计量，其中分别是两正态总体的样本方差，n1,n2分别是

78、两总体的样本容量三、参数估计1点估计问题设为总体X的待估计的参数，一般用样本x1,x2,xn构成的一个统计量来估计，称为的一个估计量，对应于样本值x1,x2,xn，估计量的值称为的估计值，并仍记作，这种问题称为点估计问题求点估计的常用方法有矩估计法和最大似然估计法    2矩估计法设总体含有k个未知参数，矩估计法就是用样本的各阶矩去代替总体的各阶矩，即用k阶样本原点矩代替总体的k阶原点矩E(Xk), (或用k阶样本中心矩)代替总体的k阶中心矩EXE(X)k)得到k个方程，从中解出参数的估计量的方法    3最大似然估计法