考研高数：利用对称性求定积分

1、2016考研高数：利用对称性求定积分定积分的计算是考试常考的一个知识点，由牛顿一莱布尼茨公式我们知道，要计算定积 分实际上从方法上而言可以归结到计算不定积分，只需要找一个原函数再把积分上下限代入 进去即可，所以所有计算不定积分的方法我们可以平移到计算定积分上来。但是对于定积分而言，也有一种方法对于我们计算定积分是很有帮助的，也就是利用函数的奇偶性求解对称区间上的定积分。由函数的奇偶性的性质我们知：奇函数的图形一定关于原点对称；偶函魏图形一定关于y轴对称冷帰这个性质我们可以得到；设克或在区间-恥上可积， .他为奇函数则有丨声«心=H2f %俚汐 此结论也可以进行严裕的数学证-2(畑肚

2、/(初为偶函数f(x)dx = I+ |-对于 | /(兀)比，令 x-t 可没得到1° JXQdx -i-t I = f= l /(-x)ifc* 故有-丿.l Q丿0I fw(k= f fWd)c+ i /(r)= I此时再利用函数的奇偶性就可臥得到上述结论。此结论对于犹们计算对称区间上的定积分是很育帮助的我 可以帮助我们莊行函数殆化简-N= I >(sin x + cos x)dx ，例 1 ( 1994 1,2 ：设 M 二 lt-4cos*r 1 + jrJI (丿 strf j - cos* jjdii，则有()'-4i AT<P<M【解析人本题

3、是把讨称区间上定积分的奇偶性与定积分的比较结合起来着查犬 家.现在给出的积分区间是一样的，所以我们只需要比较祓积函数的大小即可; 区间又是一个对称区间，故我们可以先利用奇偶性逬行优简，故有一比晋炽嵌"礒积函好奇躍h対=：I sinJ x + co s* x = 1 :F co s* xdx: > 0 ；P= i iF sit? x-cgs* x tit = f-r - cos* xdx <0,故选iZh -当给定的积分区I司是关于凉点对称时，首先肴虑函数的奇偶性进行化简：若镀积函数不具育奇偶性时，可以利用奇偶性的证明过程进行解题。例丢计算住竺兰处”*-y 1+'【

4、解析】：积分区间是关于痰点对称，但是被积函数不具有奇偶性，此时不能直 接利用奇偶性的结论解决，但是珑们可以借肋证明奇偶性的过程去计算； 竺上皿匚沁站卩空上必,对于匚淬丘作变量代换為* + 6* *T 1 + " 1 丰 g* 1 + 0tkd sin" ？血" ；ysin? x 占 、11 Vdr = - 处十 2dx = sin- x + dr丄#14厂h 1+对h i+厂 hU+总 l + e_,Jf 、賢=|1 sin-工必=一 h4大家以后再做对称区间上的定积分时需要优先考虑的是被积函数的奇偶性，如果被积函数不具有奇偶性就可以利用积分区间的可加性把积分区间

5、拆分成两个小区间去计算，在计算时重要的一步是利用变量代换把两部分区间化为一致后再去计算。凯程教育：凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李 海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩 教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、 答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态

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7、解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集， 李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构 只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。对该专业有辅导历史： 必须对该专业深刻理解， 才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士 10人，人大金融硕士 15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取 30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、 郑家威 都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉

8、大学、公安大学等院校斩 获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学 员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢 老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校， 某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯 程教育已经

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10、 read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your mome nts of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your cha nging face;And bending dow n beside the glow ing bars,Mu

11、rmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest dista nee in the worldIs not betwee n life and deathBut whe n I sta nd in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest dista nee in the worldIs not whe n I sta nd in front of youYet you can't see my loveBut whe n un doubtedly knowing the love from bothYet cannot be together.The furthest dista nee in the worldIs not being apart while being in loveBut whe n I pla inly cannot resist the year ningYet prete nding you have n ev