数学-湖北省武汉市2025届高中毕业生二月调研考试（武汉二调）试题和解析

1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x2-4x-5<0{，则A∩B=A.{2,3,4,5}B.{1,2,3}C.D.{2,3,4}【解析】B={x|-1<x<5{，所以A∩B={1,2,3,4}，选C2.若复数z满足(z+i((1-2i(=5，则|z|=A.1B.2C.2D.5EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(→),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),C)中点，则MN=b+cB.b+cC.a-D.a+b+cC1EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up6(—→),N)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up6(—→),N)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up6(—→),M)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up6(—→),C)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up6(→),1)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up6(—→),B)(AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up10(—→),C)+AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up10(→),1)(-AEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up10(—→),B)=a-b+c，选BAMBC2-122-12，得到a5-a2=-4，公差d=6，选A【解析】总共有CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(4),8)种选法，其中恰为两对双胞胎有CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),4)种，其中没有双胞胎的有CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(1),2)CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(1),2)CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(1),2)CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(1),2)种，故一共有CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(4),8)-CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),4)-CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(1),2)CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(1),2)CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(1),2)CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(1),2)=48种，选B第1页，共11页A.a=0.057.函数f(x(满足：f(x+1(=f(x(+f(x+2(，若f(1(=2，f(11(=3，则f(2025(=A.1B.-1C.5D.-5【解析】由题意，f(x+2(=f(x+1(-f(x(，所以f(x+3(=f(x+2(-f(x+1(，两式结合得f(x+3(=f(x+1(-f(x(-f(x+1(=-f(x(，所以f(x+3(=-f(x(=-[-f(x-3([=f(x-3(，得f(x(是以6f(11(=f(-1(=-f(2(=3，又f(2025(=f(3(，所以由f(x+2(=f(x+1(-f(x(得f(3(=f(2(-f(1(=-3-2=-5．故选D.8.已知O为坐标原点，过抛物线y2=2px(p>0(焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若A.4【解析】法一：显然直线AB的斜率不可能为0，故设：x=my+，A(x1,y1(，B(x2,y2(，x=my+2-2mpy-p2=0，Δ>0，y1+y2=2mp，y1y2=-p2原点O到直线AB：x-my-=0的距离为d==，|AB|=1+m2(y1+y2(2-4y1y2=2p(1+m2(=12原点O到直线AB：x-my-=0的距离为d==，第2页，共11页p2,即p2,即3p=46..........2OAB22解得p=4，故选A2((p((p=4sinθ= 向右的抛物线，θ为直线AB的倾斜角)2x2x+EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(π),4)9.函数f(x(=sin2x+A.最小正周期是πB.最大值是2,3,3ACAC221-cos2x+221-cos2x++=1-f(x(=6sin2x=1-3sin2x=1-3cos2x-=1-(+1sin2x-sin2x=42422A：T=B：f(x(max=≤2x-EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(π),6),3EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up3(Γ,3EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up3(Γ),L)|，所以f(x(在,622 ,1( 10.已知a>0且a≠e，则函数f(x(=ex-alnx的图象可能是A.yAyyeeC.D.OO eeC.D.OO【解析】f/(x(=ex-(a>0,x>0(，对比四个选项的图像均先减后增，AB的极小值点小令f/(x(>0，即ex->0，ex>，xex-a>0，令φ(x(=xex-a，则φ/(x(=ex(x+1(，令x0ex0-a=0，可知x>x0时，φ(x(>0，即f(x(>0；x<x0时，φ(x(<0，即f(x(<0，可知f(x(在(0,x0(上单调递减，(x0,+∞(上单调递增，所以f(x(先减后增，再研究x0<1和x0>1时，若0<x0<1，则f(x0(=ex0-alnx0，又因为x0ex0-a=0，所以ex0=，代入得f(x0(=-alnx0=a-lnx0(，因为0<x0<1，所以>0，lnx0<0，又a>0，所以f(x0(>0，若x0>1，则f(x0(=a(-lnx0(，因为a>0，故仅需讨论-lnx0与0的大小关系即可，令m(x0(=-lnx0，m(x0(=--<0，所以m(x0(在(1,+∞(上单调递减，m(1(=1>0，m(e(=-1<0，可知f(x0(既可能大于0，也可能小于0，故CD均正确．故选BCDA|为集合A中元素的个数，min(A(为集合A中的最小元素．若非空数集A⊆{1,2,⋯,n}，且满足|A|≤min(A(，则称集合A为“n阶完美集”．记an为全部nA.a4=7B.将n阶完美集A的元素全部加1，得到的新集合，是n+1阶完美集C.若A为(n+2(阶完美集，|A|>1且n+2∈A，满足条件的集合A的个数为an+1-nD.若A为(n+2(阶完美集，|A|>1且n+2∉A，满足条件的集合A的个数为an+1-n-1若将“n阶完美集”A中元素全部加1，则元素个数不变，但min(A(加1变大，均不违背“n+1阶完美集”的定义，所以，得到的新集合是一个“n+1阶完美集”，B正确；对于满足“n+2阶完美集”的所有A，n+2属于所有A或不属于所有A，均可视为同一情形，即退化为“n+1阶完美集”的情况，总个数为an+1．又由于|A|>1，则满足条件的集合A要排除掉“n+1阶完美集”中只含有1个元素的情形(排除n+1个单元素集合)，因此，满足C、D选项的情况的集合A的个数均为an+1-(n+1(=an+1-n-1，故选D不选C．故选ABD12.直线3x+2y=6经过椭圆m2x2+n2y2=1的两个顶点，则该椭圆的离心率为.第4页，共11页所以a=3，b=2，所以e=1-=1-=.13.已知tanαtanβ=2，cos(α-β(=，则cos(α+β(=.【解析】因为tanαtanβ=2，所以sinαsinβ=2cosαcosβ,又因为cos(α-β(=，所以cosαcosβ+sinαsinβ=，所以cos(α+β(=cosαcosβ-sinαsinβ=-.14.四棱锥P-ABCD中，AB=AD=、10，CB=CD=5，∠BAD=90°,PB=4，PC=3，△PBC内部点Q满足四棱锥Q-ABCD与三棱锥Q-PAD的体积相等，则PQ长的最【解析】法一：设PQ∩BC=M，BM=a，PQ=tPM,t∈(0,1(，则VQ-ABCD=(1-t(VP-ABCD...1VQ-PAD=tVM-PAD=tVP-MAD...2a5+得1-t SMADSABCD,解得t=a5+得1-t SMADSABCD,解得t=2===t=5所以在所以在△PBM中，PM2=a2+16-所以PQ2=t2PM2=t2a2令F(a(=令F(a(=所以PQ≥6、13=t，则BF=tBC=5=t，则BF=tBC=5t，t+t+10所以点F到AD的距离为d=102PF2=(3t(2+(4-4t(2=25t2-32t+16，=t+=t+10ABCD2PDQDACBaMBCPBFPBFQDA第5页，共11页现设点P到平面ABCD的高为h，且Q点的位置关系有=a，则PQ=a⋅PF=a⋅(25t2-32t+16(，由题知四棱锥Q-ABCD与三棱锥Q-PAD相等，即VQ-ABCD=VQ-PAD=VP-AFD-VQ-AFD，所以：⋅15⋅(1-a(⋅h=t+5(⋅h-t+5(⋅(1-a(⋅h=t+5(⋅a⋅h即15(1-a(=(t+5(⋅a，即所以PQ=a⋅PF=a⋅令f(t(=易求得，当t=，f(t(min=f(所以PQmin=15.(13分)已知函数f(x(=x(a+lnx(，曲线y=f(x(在点(e,f(e((处的切线与y=4x-1平行.(2)求f(x(的极值.【解析】(1(f'(x(=a+lnx+1由题意y=f(x(在点(e,f(e((处的切线的斜率为4，所以f'(e(=2+a=4，解得a=2；(2(f(x(=2x+xlnx，x∈(0,+∞(f'(x(=lnx+3=0，得x=e-3所以f(x(在(0,e-3(单调递减，在(e-3,+∞(单调递增当x=e-3时，f(x(极小值=f(e-3(=-所以f(x(的极小值为-，无极大值.16.(15分)如图，直角梯形ABCD中，BC⎳AD，AB⊥AD，BC=8，AD=9，AB=23，点E为线段BC不在端点上的一点，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDEF.BAFDBBEC(1)若CF⊥BD，求BE的长；(2)求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值.第6页，共11页ADFDFECEzz【解析】(1(∵四边形ABEF为矩形，∴AF⊥EF∵平面ABEF⊥平面ECDF平面ABEF∩平面ECDF=EFAF⊂平面ABEF∴AF⊥平面ECDF如图所示，以F为原点建立空间直角坐标系，令AF=BE=a,a∈(0,8(EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—→),C)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—→),B)∴FEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),C)∙DEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(—→),B)=12+(8-a((a-9(=-a2+17a-60=0，∴BF=5AAyDGyDECxC(2(在FD上取点G使FG=EC=8-a，即∠DAG为直线BC与AD的夹角，∴tanα=，tanβ=，∴tan(α-β(===≤=，当且当tan(α-β(最大值，cos(α-β(最小，故cos(α-β(min=∴异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值为.且BC=AD.(1(证明：过B点作BE⋕AC，连接DE交AC于F，∠EBD=，BE=AC=2，AE=ADDE2=BE2+BD2-2BE∙BD∙cos=42+BE2=BD2得DE⊥BE∵AE=AD，所以F为DE中点∴OF⋕BEADBDOCEFGBDAFGBDAOCBFBF∴O为BD中点(2(过D点作DG⎳BC交AC于点G∴GD=BC=AD=AE∴AF=FG，∠B=∠ODG设OC=x，则OG=x，FG=AF=1-x∴5sin2A+cos2B=5(2cos2B-1(+cosB=5∴25cos2B+cosB-25=0解得cosB=或-(舍(∴sinB=得tanB=∴OC=18.(17分)有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军．八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知B∼H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，A运动员与其它运动员对决时，A获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立.7865327865324141(2)求B与A对决过且最后获得冠军的概率；(3)求B与C对决过且最后获得冠军的概率.(1(P(A(=(2(设B与A对决过且获得冠军为事件M，则分情况讨论B与A何时对决，不妨设B在1(i(A抽中2的概率为，A，B在预赛处相遇第8页，共11页此时：,(ii(A抽中34的概率为，A，B在半决赛相遇(iii(A抽中5678的概率为，A，B在决赛相遇(3(由(2(，设B与C对决过且获得冠军为事件N，则EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(B与A对决夺),B与A不对决)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(后),B)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(B与C对决),C对决夺冠)要先B与A对决，即BA→B→B，此时共有CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),6)种，与C对决有五种，此时P(N1(=∙=×此时，B不与A对决，即B→B→B，有CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(3),6)种，而B与C对决，剩下两个空，则一共有CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up3(2),5)种∴P(N(=×+×=.(2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点．已知点T