北京市西城区2017届高三一模考试数学(理)试题 Word版含答案

1、西城区高三统一测试 数学（理科） 2017.4 第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，那么（A）（B）（C）（D）2在复平面内，复数的对应点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3函数的最小正周期是（A）（B）（C）（D）4函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）5在中，点满足，则（A）（B）（C）（D）6在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A） （B）（C） （D） 7数列的通项公式为则“”是“为递增数列”的（A

2、）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为，则的最大值为（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9在的展开式中，的系数为_（用数字作答）10设等比数列的前项和为若，则_；_11执行如右图所示的程序框图，输出的值为_ 12曲线（为参数）与直线相交于两点， 则_13实数满足，若，则的取值范围是_ 14 如图，正方体的棱长为2，

3、点在正方形的边界及其内部运动平面区域由所有满足的点组成，则的面积是_；四面体的体积的最大值是_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，且（）求角的大小；（）求的取值范围16（本小题满分14分）如图，在正四棱锥中，分别为，的中点 （）求证：平面；（）求异面直线与所成角的余弦值；（）若平面与棱交于点，求的值17（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度

4、，如下表所示：题号12345考前预估难度0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144（）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理18（本小题满分13分）已知函数设为曲线在点处的切线，其中 （）求直线的方程（用表示）；（）设为原点，直线分别与直线和轴交于两点,求的面

5、积的最小值19（本小题满分14分）如图，已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点， （）求椭圆的方程；（）设为原点，为椭圆上一点，的中点为直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点求证：20（本小题满分13分）如图，将数字全部填入一个行列的表格中，每格填一个数字第一行填入的数字依次为，第二行填入的数字依次为记（）当时，若，写出的所有可能的取值；（）给定正整数试给出的一组取值，使得无论填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；（）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法，的所有取值的奇偶性相同 西城区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小

6、题5分，共40分.1A 2A 3B 4C 5D 6C 7A 8C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10； 1112 13 14；注：第10，14题第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分）解：（） 由 ，得 1分由正弦定理得 3分 所以 4分因为 ， 5分所以 6分（） 7分 8分 9分因为 ， 所以 ， 10分所以 ， 11分所以 ， 12分所以 的取值范围是 13分16（本小题满分14分）解：（）设，则为底面正方形中心连接因为 为正四棱锥，所以 平面 1分所以 2分又 ，且， 3分

7、所以 平面 4分（）因为，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系 5分因为 ，所以 所以 6分设 所以 ，所以 ， 7分所以 即 异面直线与所成角的余弦值为 9分（）连接设 ，其中 ，则 ， 10分所以 设平面的法向量为，又，所以 即 所以 令，所以 12分因为 平面，所以， 13分即 ，解得 ， 所以 14分17（本小题满分13分）解：（）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为 2分所以，估计240人中有人实测答对第5题 3分（）的可能取值是0，1，2 4分； ； 7分的分布列为：012 8分 10分（）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度 定

8、义统计量，其中为第题的预估难度并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理 11分 12分因为 ，所以，该次测试的难度预估是合理的 13分注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断如“预估难度与实测难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的平均值”等，学生只要言之合理即可18（本小题满分13分）解：（）对求导数，得， 1分所以切线的斜率为， 2分由此得切线的方程为：， 即. 4分（）依题意，切线方程中令，得 . 5分所以 ，.所以 ，. 7分设 ，. 8分则 . 10分令 ，得或 ，的变化情况如下表：所以 在单调递减；在单调

9、递增， 12分所以 ， 从而 的面积的最小值为1 13分19（本小题满分14分）解：（）设椭圆的半焦距为依题意，得 ， 2分解得 ，所以 ， 所以椭圆的方程是 4分（）解法一：由（）得 设的中点，设直线的方程为：，将其代入椭圆方程，整理得， 6分所以 7分所以 ，即 8分所以直线的斜率是 ， 9分所以直线的方程是 令，得 10分直线的方程是 令，得 11分由，得直线的斜率是 ，所以，记垂足为；因为直线的斜率是 ，所以，记垂足为 13分在和中，和都与互余， 所以 14分解法二：由（）得 设，其中因为的中点为，所以 6分所以直线的斜率是 ， 7分所以直线的方程是 令，得 8分直线的方程是 令，得

10、9分由，得直线的斜率是 ， 10分因为 ，所以，记垂足为； 12分同理可得 ，所以，记垂足为 13分在和中，和都与互余， 所以 14分20（本小题满分13分）解：（） 的所有可能的取值为3，5，7，9. 3分（） 令 ，则无论填写的顺序如何，都有 5分因为 ，所以 ， 6分因为 ，所以 8分注：，或均满足条件（）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变 不妨设，记，其中则 9分因为 ，所以 与具有相同的奇偶性 11分又因为 与具有相同的奇偶性，所以 与的奇偶性相同，所以 的所有可能取值的奇偶性相同 13分解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变 考虑如下表所示的任意两种不同的填法，不妨设，