三角形四心向量形式的充要条件应用知识总结

1、资料收集于网络,如有侵权 请联系网站删除只供学习与交流三角形“四心向量形式的充要条件应用知识点总结1.O是 ABC 的重心 OA OB OC 0；假设O是ABC的重心,那么 uuir uuuuuuPG1 (PAPB3S BOCuuir PC )S AOC S AOB13sA“故OAOB OC 0G为ABC的重心.2 . O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OAtan A ：tan B :tan C假设o是ABC 非直角三角形的垂心,那么s boc： s aoc : s aob故 tan A OA tan BOB tan COC 02223 .是 ABC 的外心 |OA | |

2、OB| |OCgOA OB OC)假设.是 ABC 的外心那么 Sboc： Saoc： Saob sin BOCsin AOCsin AOB sin2A: sin2B: sin2C故sin2AOA sin2BOB sin 2COC 04.O是内心 ABC的充要条件是OA .3 AL)|AB | ACOB ( BA BC ) OC (-CA|BA | |BC |CA |引进单位向量,使条件变得更简洁.如果记AB,BC,CA的单位向量为ei,e2,e3,那么刚刚O是ABC内心的充要条件可以写成OA e13OB(eie2) OC (e2e3) 0 .日)O thABC内心的充要条件也可以是 aOA

3、bOBcOC 0.假设.是ABC 的内心,贝U S BOC : S AOC : S AOB故aOAbOB cOC0或 sin AOA sin BOB sin COC 0.uur uuin|AB|PCumruur uuu uurr uurr r| BC | PA | CA | PB 0 P 是 ABC 的内心;uuir向量-ABL -46-0所在直线过 ABC的内心是 BAC的角平分线所在|AB| |AC|直线；一将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点p满足OP OA0,那么p点的轨迹一定通过ABC的A外心B内心C重心D垂心uuruuuA

4、B uur0和e2,又OP OA解析：由于 否是向量AB的单位向量设 AB与AC方向上的单位向量分别为AB只供学习与交流资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除只供学习与交流原式可化为AP e ej ,由菱形的根本性质知 AP平分 BAC ,那么在 ABC 中,AP平分 BAC,那么知选 B.二将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理例2. H是4ABC所在平面内任一点, HA HB HB HC HC HA 点H是 ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB , HA BC .故H是 ABC的垂心.反之亦然证略例3.湖南P是4

5、ABC所在平面上一点,假设 PA PB PB PC PC PA,那么P是4ABC的D A.外心B .内心C.重心D.垂心解析:由而 PB PB PC得 PA PB PB PC 0.WPB PA PC 0,即PB CA 0那么PB CA,同理PA BC, PC AB 所以p为 ABC的垂心.应选d.三将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理例4. G是4ABC所在平面内一点, GA GB GC =0证实 作图如右,图中 GB GC Ge连结BE和CE,贝U CE=GB , BE=GCBGCE为平行四边形点G是 ABC的重心.D是BC的中点,将GBGC GE代入GAGB GC =0,AD为BC边上

6、的中线.1PG 1 (PA PB PC). 3证实 PG PA AG PB BG PC CG3PG(AG BG CG) (PA PB PC) G 是" ABC 的重心 ：GA GB GC =0AG BG CG =0,即 3PG PA PB PC由此可得pg1PA PB PC.反之亦然证略 3uuu uuu例6假设O为ABC内一点,OA OBuuur rOC 0 ,那么O是ABC的(A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心uuruuruuirr uuruuuuuu解析：由OAOBOC0得OBOCOA ,如图以ob oc为相邻两边构作平行四边形,那么uur i uur由平行四边形性质知 O

7、E -OD, OA 2OE ,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选四将平面向量与三角形外心结合考查uuu uur uuur OB OC OD ,只供学习与交流得GA EG =0 GA GE 2GD ,故G是 ABC的重心.反之亦然证略例5. P是4ABC所在平面内任一点.G是4ABC的重心资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除只供学习与交流uuu例7假设O为ABC内一点,OAA.内心 B.外心C.垂心uuuOBuuurOCD.重心,那么O是ABC的解析：由向量卞II的定义知 O到 ABC的三顶点距离相等.故 O是 ABC的外心,选Bo 五将平面向量与三角形四心结合考查例8.向量 函,O

8、可,OP3满足条件 函 +OP2+OP3 =0, |O可|=|OP2 |=|丽 |=1,求证 APiP2P3是正三角形.?数学?第一册下,复习参考题五 B组第6题1证实 由0Pl+OP2 =-OP3,两边平方得 0Pl - OP2 = 21同理 OP2 , OP3 = OP3 - OP1 =, 2.| PP2 | = | P瓦 | = | P耳 |= <3 ,从而 PiP2P3 是正三角形.反之,假设点O是正三角形 PiP2P3的中央,那么显然有 0Pl +OP2 +OP3 =0且10Pl |=|OP2 |=|OP3 |.即O是 ABC所在平面内一点,OPi +OP2 +OP3 =0 且

9、 |OPi | = |OP2 | = |OP3 | 点 O 是正 P1P2P3 的中央.例9.在ABC中,Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心.求证： Q、G、H三点共线,且 QG:GH=1:2 .【证实】：以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如下图的直角坐标系.设 A0,0、B xi,0、CX2,y 2 , D E、F 分别为AB BC AC的中点,那么有：X1D ( ,0)、E (2X2 y2X1 X22 uuuuF(X2 y22 uuurX“由题设可设Q 二)AH(X2,Y4)QFX2 X1 y2uuuBC (X2 xl)uuuuQ AH uuuu AHy,uuurBC umr?B

10、C x2(x2X2(X2 xj¥2X1)y2y4uuurQQFuuurQFuuuuACumur ?AC、3y3X2J22y2X /X2X2(-2X1)42(万y3)uuuu QHy3)2x 22X13x 2(X22y1X1)只供学习与交流资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除只供学习与交流UULTQGx 2 x1xi y2万,万y32x2 xi y2X2(X2 xi)2y2y222x 2 x1 3x2(x2 x1(6)6y;-1 uuur=-QH3y21 /2x2 x1T) 3(3x2(x2 xi)今 2yl 一万,UUUUUULT即 QH =3QG ,故 QG H三点共线,且QG

11、GHM：例10.假设O、H分别是 ABC的外心和垂心.求证 off OA OB OC .证实 假设 ABC的垂心为H,外心为O,如图.连BO并延长交外接圆于 D,连结AD, CD.AD AB, CD BC.又垂心为 H, AH BC , CH AB,AH / CD, CH / AD,:四边形AHCD为平行四边形,AH DCDOOC,故 OH Oa aH Oa ob Oc .著名的“欧拉定理讲的是锐角三角形的“三心一一外心、重心、垂心的位置关系：1三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线；2三角形的重心在 “欧拉线上,且为外一一垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍“

12、欧拉定理的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题1 - -例11. 设O、G、H分别是锐角 ABC的外4、重心、垂心.求证 OG -OH31 证实 按重心JE理 G是 ABC的重心 OG 一OA OB OC.、一 、. "-* -h& b 1.按垂心定理 OH OA OB OC由此可得 OG - OH3补充练习1.A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足而(1 OA + 1OB +2OC ),w PABC 的3 22A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点非重心C.重心1.B取AB边的中点M ,那么OA OB3OP 3OM 2MC , MP

13、' 2MC,3选B.11 一 1 一2OM ,由 OP = - - OA +OB 322即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点+2 OC 可得P不过重心,故D.AB边的中点ULUUIITUUUUUUUUUUUULUUULTUUUUUIT山!±1_2222222.在同一个平面上有ABC及一点o满足关系式:oa + BC =OB + CA = OC + AB 那么.为ABC 的 D A 外心 B 内心 C重心 D 垂心UUU UUUULUT2 . ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA PB PC只供学习与交流资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除只供学习

14、与交流( c )A 夕卜心B 内心 C重心 D 垂心P满足:3.O是平面上一 定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点OP OA (AB AC),那么p的轨迹一定通过 abc的A 夕卜心B 内心 C重心 D 垂心4. ABC , P为三角形所在平面上的动点,且动点 P满足:uuu uurPA?PCuuu uuuPA?PBuuu uuurPB? PC 0 ,那么p点为三角形的A 夕卜心内心C重心 D 垂心5.P为三角形所在平面上的一点,且点uuup满足：a PA buuuPBuum c?PC0 ,那么P点为三角形的外心内心C重心D 垂心外心ABC中,动点一,2 满足：CA2 CB 2AB?C

15、P ,P点轨迹定通过 ABC的：内心C重心垂心7.非零向量aB与aC满足(2B- +jAC- |A B| |A C| ABBC=0且空|A B|AC 1=5 ,那么ABC 为()|aC| 2A.三边均不相等的三角形uuuAB解析：非零向量与满足(-uuLB.直角三角形uurACuuir ) =0C.等腰非等边三角形D.等边三角形,即角A的平分线垂直于 BC, . AB=AC,又COSAuuu uuur|AB| |AC|AB AC 1 uuu uuur =2|AB| |AC|A= 一,所以 ABC为等边三角形,选 D.38 . ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 h, OH m(O

16、A OB OC),那么实数m =9 .点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足 OA OB OB OC OC OA ,那么点O是 ABC的(B)(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点10.如图1,点G是 ABC的重心,过G作直线与uuuv uuuvAB, AC两边分别交于 M N两点,且AM xAB ,uuu/ANuuiv 得AGuuv (ABABC的重心, uuuv uuuv AG) (ACuuv 知GAuuu/AG)uuv uuvGB GCuuvO,有 AGO,1 uuv uuv-(AB AC).又M, N G三点共线(A不在直线

17、MNL1),于是存在uuv,使得AGuunv AMuuLVAN (且1),uuiv 有AGuuv xABuuv 1yAC =-(uuvABUJIVAC),uuuv 11yAC,那么一一3.x y只供学习与交流资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除只供学习与交流1一11Hr1 '于是 3 °x yx y3例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法2 、向量的加法、数量积等性质3 、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4 、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理

18、三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习2OC ,那么 O是4ABC的D 、内心一 2 21.1O是 abc内的一点,假设 OA OBA、重心B 、垂心 C 、外心1.2在 ABC中,有命题 ABACbC ； aB bc cA 0 ；假设 AB AC ? AB aCABC为等腰三角形；假设 AB ? AC 0 ,那么 ABC为锐角三角形,上述命题中正确的选项是A、 B 、 C 、 D 、2、知识回忆2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联3、利用向量根本概念解与三角形有关的向量问题例1、 ABC中,有AB AC ? B

19、CAB AC -0和空?生ABAC1 一“一一,试判断 ABC的形状.20 ,试判断 ABC的形状.4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、O是 ABC所在平面内的一点,满足|可2BeA、重心B 、垂心C 、夕卜心|OB2、内心ACOc|aB,那么 O是AABCWI 5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、P是 ABC所在平面内的一动点,且点 P满足OPOAABACAB AC,0,那么动点P一定过 ABC的A、重心B 、垂心C 、外心 D、内心练习1、 abc中,AB a , BC b, b是aabc中的最大角,假设a?b只供学习与交流资料收集于网络,如有侵权请联系网

20、站删除只供学习与交流练习2、O为平面内一点,A、B、C平面上不共线的三点, 动点P满足OP OAAB0,那么动点P的轨迹一定通过 ABC的B 、垂心外心 D 、内心例4、O是 ABC所在平面内的一点,动点P满足OPOAABAC0,点P一定过 ABC的A、重心B 、垂心、夕卜心 D、内心练习 3ABC 所AB cosBAC cosC一OBOP OCABACA、重心例5、点0,那么动点P 一定过 ABC的AB cosBAC cosC、垂心、夕卜心 D、内心G是的重心,过G作直线与AB AC分别相交于Ml N两点,且AM x?AB,ANy?AC ,求证:6、小结处理与三角形有关的向量问题时,要允分注

21、意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进 行转化是处理这类问题的关键.7、作业1、O是 ABC内的一点,假设OA OB OCO是4ABC的2、3、A、重心B 、垂心、外心、内心假设 ABC的外接圆的圆心为 0,半径为1,且 OAOBOC0,那么OA?OB等于A、O是 AB5f在平面上的一点,A、b、C所对的过分别是 a b、c假设a?OA b?OB c?OC 0,那么O是 ABC的A、重心B 、垂心、外心、内心4、P是 ABC所在平面内与A不重合的一点,满足AB AC 3AP ,那么 P是4ABCqA、重心B 、垂心c 、夕卜心、内心5 、平面上的三个向量 OA、O

22、B、OC满足OA OB OC 0 , OAOBOC1 ,求证： AB8正三只供学习与交流资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除只供学习与交流角形.6、在 ABC中,O为中线AM上的一个动点,假设 AM= 2,求OA (OB OC)三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比拟大小.在高中数学“平面向量(必修4第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底

23、向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再复原为几何关系.下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质.既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感.一、重心的向量风采【命题1】 G是 ABC所在平面上的一点,uur uuu 假设 GA GBuuirGC 0 ,那么G是 ABC的重心.如图.【命题2 uuu uuu OP OA图O是平面上一定点,uuu uuur图A B, C是平面上不共线的个点,动点P满足(AB AC),(0,),那么P的轨迹一定通过 4ABC的重心.uuu

24、 uuuuuuruuruur【解析】由题意AP(ABAC),当 (0,)时,由于 (ABAC)表示BC边上的中线所在直线的向量,所以动点 P的轨迹一定通过 ABC的重心,如图.二、垂心的向量风采【命题3】P是 ABC所在平面上一点,假设 PA PB PB PC PC PA,那么P是4ABC的垂心.uuu uuu uur uuiruur uuu uuiruuu uuuuur uur【解析】由PA PB PB PC ,得PB (PA PC) 0 ,即PB CA 0 ,所以PB,CA .同理可证uuiruuu uuuuuirPC,AB, PAX BC .P 是 AABC 的垂心.如图.只供学习与交流

25、请联系网站删除只供学习与交流资料收集于网络,如有侵权图【命题4】图O是平面上定点,A B, C是平面上不共线的个点,动P满足uuiuOPuuOAuuiu AB-uurpABcosBuuuACuuruACcoC(0,p的轨迹定通过 ABC的垂心.【解析】由题意uuuAP-uuu- ABcosBuurAB-utur- ACcosCuuurAC-uuu- ABcosBuur ABtuur ACcosC即uuur ACuuurBC 0 ,-uutrABcosBuuu uuir 即 AB BCuuu- ACcosCuuurACuuiuBCuuuurBCuuuuCBuuuuu口0,所以AP表示垂直于BC的向量,P点在过点A且垂直于BC的直线上,所以动点 P的轨迹一定通过 ABC的垂心,如图.内心的向量风采【命题5】 I为 ABC所在平面上的一点,且 AB c, AC b, BC auu uu .假设 aIA bIBurcIC 0,那么I是zABC的内心.uin【解析】. IB图 uu uuu IA ABuu ,ICuuIAuurAC,那么由题意得(a图uu uuin uuurb c)IA bAB cAC 0,只供学习与交流uuuuuur bAB cAC