现代控制理论试卷及答案总结

1、2 0 12 年现代控制理论考试试卷-、(10分，每小题1分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，(，)1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。(，)2.若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为 最小实现。(X )3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输 出能控的。(，)4.对线性定常系统& Ax,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩 阵A的特征值都具有负实部是一致的。(V ) 5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反 馈使其稳定。(X ) 6.对一个系统，只能选取一组状态变量；(，)7.系统的状态能控性和能观性是系统的结

2、构特性，与系统的输入和 输出无关；(X ) 8.若传递函数G(s) C(sI A) 1B存在零极相消，则对应的状态空间 模型描述的系统是不能控且不能观的；(X )9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统 在任意平衡状态处都是稳定的；(X ) 10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。二、已知下图电路，以电源电压 U(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R2上的电压为输出量的输出方程。(10分)解：（1）由电路原理得：二.（10分）图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流和电容C 上的电压X2为状态变量，电容C上的电压X2

3、为输出量，试求：网络的状态方 程和输出方程，并绘制状态变量图。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有 独立变量。以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：iL Xi,Uc X2, 由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：从上述两式可解出Xi, X2,即可得到状态空间表达式如下:yiV2 =0R1R2RiR21RiR1R20XiR2UX2 + RiR2三、（每小题10分共40分）基础题（1）试求驱3& 2y & u的一个对角规范型的最小实现。（10分）Ys3 1 (s 1)(s2 s 1)s2 s 1 1 , _1_ 4分U (s) s3 3s 2 (s 1)(s2

4、 s 2) s2 s 2 s 2 s 1不妨令Xi(s)1X2(s)1 2分U(s) s 2 U(s) s 1于是有又 Y(s) 1 Xi(s)U(s) U(s)X,所以 Y(s) U(s)U (s)Xi(s) X2(s),即有最终的对角规范型实现为则系统的一个最小实现为:u, y 1 1 x + u(2)已知系统&u,y 12 x,写出其对偶系统，判断该系统的能控性及其对偶系统的能观性O10分)解答:(3)设系统为试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应(10分)0.3x(t)x(0)Bu( )dr.3(4)已知系统解:uc2t eP1uc101 2012P2P1A02t e .2t e2t

5、e2t e112112 .111 22t e.1分u试将其化为能控标准型。(10分).2分.1分.1分2te11.2分22p 111,220 10,八能控标准型为x x u . .4分0 11四、设系统为试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。(10分)解：能控性分解：能观测性分解：传递函数为g(s) -2。l L L (2分)s 3 s 3？01五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统 x 0 1 x的稳定性。(10分)11方法一：?解：x1 x2原点xe=0是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即?当 0, x2 0 时，v(x) 0；当 x10, x2 0时，

6、v(x) 0,因此 V(x)为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数，例如：为正定，而为负定的，且当|x|，有V(x) 。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。方法二:解：或设P即P12P21P22Pl1P1201p12p2211一 T01Plip12则由atp PA I得 11pi2p22可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的 六、(20分)线性定常系统的传函为Ys) s 4U(s) (s 2)(s 1)(1)实现状态反馈，将系统闭环的希望极点配置为4, 3 ,求反馈阵K(5分)(2)试设计极点为(-10,-10 )全维状态观测器(5分)。(3

7、)绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图(4分)(4)分析闭环前后系统的能控性和能观性(4分) 注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为：解：(1)但U (s) (s 2)(s 1) s2 3s 2系统的能控标准型实现为： 您 01 X 0 u,y 4 1 X1分231系统完全可控，则可以任意配置极点1分令状态反馈增益阵为K k1 k21分则有A BK 01,则状态反馈闭环特征多项式为k2 2 k 3又期望的闭环极点给出的特征多项式为：(s 4)( s 3) s2 7s 12由 2 (k 3) (k2 2) s2 7s 12 可得到 K 4 10 3 分(2)观测器的设计

8、：由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。1分由观测器& （A EC）? Bu Ey可得其期望的特征多项式为：Tf *1195f (s) f E - 33（3）绘制闭环系统的模拟结构图第一种绘制方法:X210勺飞用x2，也勺田?田心（注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思，刚发现！ ！）第二种绘制方法：（4）闭环前系统状态完全能控且能观，闭环后系统能控但不能观（因为状态反馈不改变系统的能控性，但闭环后存在零极点对消，所以系统状体不完全可观测）、判断题，判断下例各题的正误，正确的打 错误的打x （每小题1分，共10分）1、状态方程表达了输入引起状

9、态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（ 2、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（3、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高( 4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数( 为5、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控(为6、状态的能空性是系统的一种结构特性，依赖于系统的结构，与系统的参数和控制变量作用的位置有关7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系( 为8、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关(M9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关(M10、

10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的(X)二、已知系统的传递函数为试分别用以下方法写出系统的实现：(1) 串联分解(2) 并联分解(3) 直接分解(4) 能观测性规范型(20分)解：，2对于2有s3 10s2 31s 30(1) 串联分解串联分解有多种，如果不将2分解为两个有理数的乘积，如218,绘制该系统串联分解的结构图，然4k； 后每一个惯性环节一的输出设为状态变量，则可得到系统四种典型的实现为：(s Pi)则对应的状态空间表达式为：需要说明的是，当交换环节相乘的顺序时，对应地交换对应行之间对角线的元素！ ！ ！如 一211一 的实现为:(s 2) (s 3) (s 5

11、)2 002#13 0 X 0 u0150y 0 0 1 X u则2-(s 5)1(s 3)一的实现为:(s 2)5 002/13 0 X 0 u0120y 0 0 1 X u依次类推！ ！(2) 并联分解100 b实现有无数种，若实现为#020 X b2 u只要满足0034y g c2 G3 X u例如：-322s 10s31s 3023(s 2)_1 (s 3)1一3一,则其实现可以为:(s 5)(3)直接分解(4)能观测规范型三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统& Ax,t 0 o现知，对应于两个不同初态的状态响应分别为试据此定出系统矩阵 Ao (10分)解：x(t) eAt x(0

12、)可得四、已知系统的传递函数为(1)试确定a的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；(2)在上述a的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性;(3)若a 3,写出系统的一个最小实现。(15分)解：(1)因为因此当a 1或a 2或a 3时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统(2)可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一存在零极相消，系统不能观(3)a 3,则有 G(s):s2 3s 2可写出能控标准形最小实现为此问答案不唯一，可有多种解五、已知系统的状态空间表达式为(1)判断系统的能控性与能观测性；(2)若不能控，试问能控的状态变量数为多少？(3)试将系统按

13、能控性进行分解；(4)求系统的传递函数。(15分)解：(1)系统的能控性矩阵为00,CCUC b Ab, detUc 0, rankU c 1 212故系统的状态不能控系统的能观测性矩阵为UocA，detUC1910115 0, rankU O 2故系统的状态不能观测4分(2) rankU C 1,因此能控的状态变量数为11分(3)由状态方程式可知是X2能控的，X1是不能控的2分(4)系统的传递函数为115G(s) c sI A b c2 sI A2 b2 只与能控子系统有关 3分s 2六、给定系统解李雅普诺夫方程，求使得系统渐近稳定的a值范围。(10分)七、伺服电机的输入为电枢电压，输出是轴

14、转角，其传递函数为(1)设计状态反馈控制器 u Kx v,使得闭环系统的极点为5 j5;(2)设计全维状态观测器，观测器具有二重极点-15；(3)将上述设计的反馈控制器和观测器结合，构成带观测器的反馈控制器，画出闭环系统的状态变量图;(4)求整个闭环系统的传递函数。(20分)第二章题A卷第一题：判断题，判断下例各题的正误，正确的打M 错误的打X(每小题1分，共10分)11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程(12、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的( X)13、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高(为

15、14、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数( X)15、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控(X)16、状态的能空性是系统的一种结构特性，依赖于系统的结构，与系统的参数和控制变量作用的位置有关(V17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系( 为18、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关(M19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关(20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的(X)32第二题：已知系统的传递函数为G(s) ) s 210s一31s 32，试分别用以下方法写出系统的实U(s)

16、(s 5s 6)(s 1)现：(5) 串联分解(4分)(6) 并联分解(4分)(7) 直接分解(4分)(8) 能观测性规范型(4分)(9) 绘制串联分解实现时系统的结构图(4分)解：对于二产有s3 10s2 31s 30（3） 串联分解串联分解有三种S SS3 10S2 31s 30 (S 1)(1，)，(s 1) (s 2) (s 3)1 1s11 s() (T)(Tj (T) (T) )(r对,(1 3).L -(1 j)(S 1)(S 2)(s 3) (s 1) (s 2)(s 3)应的状态方程为:（4） 并联分解实现有无数种，其中之三为：（5） 直接分解（6） 能观测规范型（10） 结

17、构图第二章题 B卷第一题：判断题，判断下例各题的正误，正确的打M 错误的打x（每小题1分，共10分）1、状态空间模型描述了输入-输出之间的行为，而且在任何初始条件下都能揭示系统的内部行为（2、状态空间描述是对系统的一种完全的描述，而传递函数则只是对系统的一种外部描述（3、任何采样周期下都可以通过近似离散化方法将连续时间系统离散化（X）4、对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变（5、系统状态的能控所关心的是系统的任意时刻的运动（ X） 6、能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理（7、一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的子系统（B8、一个系统的传

18、递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能 观的（/9、对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数是唯一的（凶10、若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的（M第二题：求以下 RLC网络系统的状态空间模型 ，并绘制其结构图。取电压e_i为输入，e_o为输出。其中R1、R2、C和L为常数。第二题图答案: 解：（状态变量可以另取）定义状态变量：X1为电阻两端电压 v, X2为通过电感的电流io输入u为e_i,输出y为e_。使用基尔霍夫电流定理列R1和R2间节点的电流方程：使用基尔霍夫电压定理列出包含C、及、L回路的电压方程：最后，输出电压

19、的表达式为：得到状态空间模型：结构图为：第三题：如图所示，系统的输入量为U1和U2、输出量为y和请选择适当的状态变量，并写出系统的状态空间表达式，根据状态空间表达式求系统的闭环传递函数：第三题图解：状态变量如下图所示（3分）从方框图中可以写出状态方程和输出方程（4）状态方程的矩阵向量形式：系统的传递函数为（3分）：现代控制理论试题答案、概念题1、何为系统的能控性和能观性？答：(1)对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t),能在有限时间区间t0,tl内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态 x(tl),那么就称此状态是能控的。(2)对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下

20、，能够根据输出量 y(t)在有限时间区间to,ti内的测量值，唯一地确定系统在to时刻的初始状态 x(to ),就称系统在to时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。2、何为系统的最小实现？答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能 的实现中，维数最小的实现称为最小实现。3、何为系统的渐近稳定性？答：若金=。在时刻立为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于龟的实数缸E,。和任意给定的初始状态E 0 ,使得一局! |工6(&t3跖时，有|0(t黑山丸0 一琳| ,则称 = 0为李雅普若夫意义下的渐近

21、稳定二、简答题1、连续时间线性时不变系统(线性定常连续系统)做线性变换时不改变系统的那些性质？答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？答：方法1:对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：r Auk 也崂=ra?ikB.AB = n。方法2:如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后 A阵变换成对角标准形，且 豆不包含元素全为 0的行线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵Uo满秩。即：rankUo =

22、 ranfefc7,Ar)nCr = n.3、传递函数矩阵 G(X)的最小实现 A、B、C和D的充要条件是什么？ 答：充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 答：线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是系统完全能控。5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？答：线性定常连续系统状态观测器的存在条件是原系统完全能观。三、计算题1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，仃干为系统的输入，选两端的电压为状态变量XL 两端的电压为状态变量 反口电压为为系统的输出 V。解：由电路图可知：图1： RC无源网络选.“=以附,

23、算士 = ETC,可得：=所以可以得到：2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s)解：运用公式G =心国_4尸8 + D可得:可得传递函数为：3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程:其中，采样周期为 T=2o解：先求出系统的.令上3=x(r),u(k) = 口在)士田可得:K(k 4 1) = G*3 + HuQO = 夕X(k)+卯承)4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解常1亿)和T式)解：计算算式为：-.-所以：5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的取值范围：解：由于A无特定形式，用秩判据简单。因此，不管a去何值都不能够联合完

24、全能控和完全能观测6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即襄=是否为大范围渐近稳定：解：(1)选取李雅普若夫函数 V(x),取频幻=汇J十两工，可知：V(0)=0飞,-”. ：.：二 上 Li - D即V(x)=上J -hJ为正定。(2)计算丫3)并判断其定号性。对取定 巩X)=化J +七/和系统状态方程，计算得到：基此可知：即：V(l)=下/ +的2为负半定。(3)判断吆色也处0手Oo对此，只需判断R(h) = Q的=；和三= ：不为系统状态方程的解。为此，将 x = 0吗jF带入状态方程，导出：表明，状态方程的解只为x = 0 Of, x = 03jF不是系统状态方程的解。通

25、过类似分析也可以得证x =小不是系统状态方程的解。基此，可知判断它(白色孙,0)二o(4)综合可知，对于给定非线性时不变系统，可构造李雅普若夫函数判断足：V(x)为正定，早氏)为负定；对任意o于0,0磔仕与)手。当国| =匹阡7P T M,有Wt0 = xj + r33 t CD基此，并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态/=0为大范围渐近稳定。7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为试确定一个状态反馈矩阵K,使闭环极点配置为 g=-2 ,右=-4和匚-7 o解：可知，系统完全可控，可以用状态反馈进行任意极点配置。由于状态维数为3维。所以设h = k kj系统

26、期望的特征多项式为：而 令|司A + BK| =&ay,二者相应系数相等。得：_ 一 ._7： 即： 一 一 验证:A卷二、基础题(每题 10分)1、给定一个二维连续时间线性定常自治系统Ax,t现知,对应于两个不同初态的状态响应分别试据此定出系统矩阵 Ao解:x(t)eAtx(0)2 分可得Ate3 t - e43 t e21 te21 : - e413t3te3te5 t3 3t3 t1 3t5e-eO1e- ee44124445 t3 3t113 t1 3t5eeeee22222t3tt3 e433t3t1 te41 te21 3te43teAtdeA 一 dt1 t-e23 3te2C

27、3t3e1 t-e41 te23 ； e433t-e 23t2、设线性定常连续时间系统的状态方程为取采样周期T 1s,试将该连续系统的状态方程离散化。解：首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法:AteL1 sIL11L1 ss(s 2)10.5 12te2te(s 2)进而计算离散时间系统的系数矩阵。ATe0.52T1 e2Te1s代入得ATe0.43232分0.1353At.:dt0.5 12t2tdt0.5T2T0.25e 2T2T0.5e0.250.51.07890.4323故系统离散化状态方程为x1 k 11 0.4323 x1x2 k 10 0.1353 x21.0789 u0.43233、已知系统的传递函数为(1)试确定a的取值，使系统成为不能控,或为不能观测;(2)(3)若a 3,写出系统的一个最小实现。(10分)解:(1)因为在上述a的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性;因此当a 1或a 2或a 3时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统(2)可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一00 u y 2a 2 0 x 3 分 11分