第二讲坐标法求空间角与距离

1、坐标法求空间角与距离(教师版)1.基本概念：1.1.向量的数量积和坐标运算a,b是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数| a | |b| cos叫做a与b的 数量积(或内积)，记作a b,即 a b | a | | b| cos .其几何意义是a的长度与 b在a的方向上的投影的乘积其坐标运算是：若 a (x1,y1,z1),b (x2,y2,z2)，贝U a b x1x2 y1y2 z1z2; | a | X12 y12 z12,|b| 工目;z ； a b x1x2 y1y2 乙 z2 cos a, bX1X2y1 y2 Z1Z22 2 2 2 2y1乙 i X2 yZ21. 2法向量直线的法

2、向量：在直线L上取一个定向量n，则与a垂直的非零向量n叫，得n a 0且n.有时为了需要，也求法直线L的法向量.平面的法向量：与平面垂直的非零向量n叫平面 的法向量.、般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，推导平面法向量的方法如下:在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n (x,y,1)或n (x,1, z)，或n (1,y,z)，在平面内任找两个不共线的向量a, b。由n向量n上的单位法向量，则n0 注。z|_D在棱长为1的正方体 ABCD ABQ1D1 中,求平面ACD1的法向量n和单位法向量Ho.A10，由此得到关于x, y的方程组，解此方程组即可得到解：建立空间直角坐标系，如图1

3、,则A（1,0,0）,C(0,1,0)。设平面 ACDi 的法向量 n (x, y,1).得 AC ( 1,1,0)，AD,( 1,0,1)。又 n 面 ACD1，得 n AC, nAD1。有(x,y,1) ( 1,1,0) 0 得 x 1(x,y,1) ( 1,0,1) 0 寸 y 1n(1,1,1)，g-n-(1,1,1)冋V1 1 11.3.异面直线m, n所成的角分别在直线m,n上取定向量a, b,则异面直线m,n所成的角 等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所示），则cosla b|a| |b|1.4.异面直线m、n的距离分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的向量

4、n ，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在n上的射影长，即d| AB n|n|证明：设CD为公垂线段，取CA a, DBb （如图1所示)，则CD CA AB BDCD n (CA AB BD) n|CD n | |AB n|CD | AB n |n|设直线m, n所成的角为，显然cos|a b|a| |b|图21.5直线L与平面所成的角在L上取定AB，求平面的法向量n （如图2所示），再求cos| AB n |AB| |n |则为所求的角.21.6. 二面角方法一:构造二面角I的两个半平面量ni、门2 （都取向上的方向,如图3所示），则的法向 若二面角 I 是

5、“钝角型"的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cosn1 n2mini若二面角 I是“锐角型”的如图3乙所示,那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角，cosrirI ni | | n2 |方法二:在二面角的棱I上确定两个点A、B,过A、B分别在平面 、内求出与I垂直的向量n1、n2 （如图4所示），则二面角 I的大小等于向量n1、n2的 夹角，即 cos| n 1 | | n2 |1。7.平面外一点p到平面 的距离先求出平面的法向量n,在平面内任取一定点A，则点p到平面 的距离d等于AP在n上的射影长，即d |AP n|d-0 0|n|2.坐标法所谓坐标法

6、，就是建立适当的空间直角坐标系，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算，以达到解决问题的目的。解题的关键是根据几何体的特点，选取恰当的坐标原点和坐标轴，一般来说,长方体、正方体中较为容易建立坐标系.例2右图6在长方体ABCD AiBiCiDi中，Di已知 AB= 4, AD =3, AA i= 2。 E、F 分别是 AB、BC.D-上的点，且EB= FB=i。(i)求二面角C DE Ci的正切值; 求直线ECi与FDi所成的角的余弦值。解：(I)解法一：以D为原点，DA,DC,DDi分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,0,0), Di(0,0,2),C(0,

7、4,0),Ci(0,4,2) , E(3,3,0), F(2,4,0), Ci(0,4,2)于 是，DE (3,3,0), ECi ( 3,1,2),FDi ( 2, 4,2)，设向量n (x,y,z)与平面GDE垂直，则有n DE3x 3y 0in EC3x y 2z 0n(2乙iz卄亠z, z) -(i, i,2),其中 z取n。(i, i,2)，则n。是一个与平面CQE垂直的向量,向量DDi (0,0,2)与平面CDE垂直,n°与DDi所成的角cosn0 DDi|nc| |DD为二面角C DE C的平面角tan(I)解法二:令M点在DE上，且 CMDE ,可设M点的坐标为M (

8、3 ,3 ,0)，则CM (3 ,34,0)CM DE, CM DE (3 ,34,0) (3,3,0)1812 02,CM (2, 2,0). MC ( 2,2,0).3再令N点在DE上，且QN DE,设N点的坐标为N(3 ,3 ,0)，则GN (3 ,34, 2)GN23DE, C1N DE (3 ,3C1N(2, 2, 2),NC1cosMC NC1tan| MC | | NC1 |( 2)2(II )设EG与FD1所成角为cosEC1 FD1|EC1 | |FD1 |4, 2) (3,3,0)18(2,2,2)121 2,2,0) ( 2,2,2)22 02 . ( 2)2 22 22

9、，则(2) 1 ( 4)2 22 22 23,(3)21222. ( 2)2( 4)222.2114N图7如果题中几何体不是长方体或正方体，则考察几何体中的线线垂直、线面 垂直及面面垂直关系.例3 如图7已知正三棱柱ABC A1B1G的棱长为2,底面边长为1, M是BC的中点。(1)在直线CG上求一点N，使MN AR;当MNAB时，求点A到平面AMN的距离.(3)求出AB与侧面ACGA所成的角。(1)解：以AC>AA1分别为y轴、z轴，垂直于AC、AA的Ax为x轴建立空间直角坐标系 A xyz，设|CN | a，则有A(0,0,0)、B1 ( 3,丄,2)、M(3,。)、N(0,1,a)

10、。2 244于是(2由AB1 MN得MN ABi 0,a)44312a8 81a -8,2) 0(2)解：当MNAB1 时,由知b123,1吩却)、呵1*A(0,0,2)，则MN (3 1 1、,4,8),AM33(丁严 AA (002)设向量n(x,y,z)与平面AMN垂直,则有MNAm、3x43414yx 3y 043z81z81z_-z,z) -C.3, 1,1) (z880)取n°(-3,1,1)向量AA在n0上的射影长即为A到平面AMN的距离，设为d ,于是d | AA1 | | cos AA1, n0 | | AA1 | AA1 | | n°| (0,0,2)

11、b-3, 1,1) |I .( 3)2(1)2 12(3)设平面ACCiA的一个法向量为n，贝U有n AA-in AC2z0, n (x,0,0)x(1,0,0)(x0)；取 n。(1,0,0),则| cos AB1, n° | AB1 n° |I AB1 | |n0 |3 1 )2*g)2 (2)2 舒(干,2)诃)(A-1510故AB1与侧面ACGA所成的角为：-2.15arc cosarcs in。10 10例4在三棱椎S 正三角形，平面SACM为AB的中点.(1) 求证 AC SB;(2) 求二面角S CM(3)求点B到平面SCM的距离。分析：如图9以AC中点O为坐

12、标原点,以OA、OB、OS的正向分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系即可得出各相关点图10的坐标.(解略)例5把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面 角，点E , F分别是AD , BC的中点，点O是原正方形的 中心，求(1 )EF的长；(2 )折起后 EOF的大小分析：如图11,以点O为坐标原点，以OB、OC、OD 的正向分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为 a即可得出各相关点的坐标.(解略)例 6 (2010 江西)20.如图 BCDW MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面 BCD,AB 平面 BCD AB 23。(1) 求点A到平面MBC的距离；(2)

13、 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：(1 )取CD中点O,连OB OM则OBL CDOML CD又平面MCD 平面BCD ,则MO_平面BCD，所以MO/ AB, A B、O M共面。延长 AM BC相交于 E，则/ AEB就是AM f与平面BCD所成的角.OE=MOj3 , MO AB MO/面ABC M O到平面ABC的距离相等，作VM ABC2、15。OH BC于H,连MH贝U MH BC,求得：OH=OCsi n6

14、,MH/15 ,利用体积相等得：VA MBC2 2(2 ) CE是平面ACM与平面BCD的交线.由 知，O是BE的中点，贝U BCE虎菱形作BH EC于F,连AF,则AF丄EC / AFB就是二面角 A EC B的平面角，设为因为/ BC匡120°,所以/ BCf=60°oBFBC sin 603tanABsin2 一52 ,BF5所以,所求二面角的正弦值是2,5o5【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决解法二：取CD中点O,连OB OM则OBL CDOI丄CD又平面MCD 平面BCD ,则MO丄平面BCD。以O为原点，

15、直线OG BO OM为x轴，y轴,z轴，建立空间直角坐标系如图DO咅OMJ3，则各点坐标分别为 O0, 0, 0) ,C( 1, 0, 0),M( 0, 0 , ,3), B (0,- ,3 , 0), A (0 , - 3 ,2、3),(1 )设 n (x, y,z)是平面 MBC勺法向量，贝U BC=(1,j3,0),BM (0,、3八3),由 n BC 得 x 、3y 0 ；由 n BM 得3y >3z 0 ；取 n (；3, 1,1),BA (0,0,2 3),则距离 |BA2届n 5(2) CM ( 1,o,、3), CA ( 1, ,3,.3)。设平面ACM的法向量为n1ni

16、(x, y,z)，由niCM得CA。解得0x 3z , y z，取 niG. 3,1,1）。又平面BCD的法向量为n （0,0,1），则cos ri|, nn1 n 1设所求二面角为，则sin 1 （丄）22 5 。忑 5例7 （2010重庆）（19）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II ）小问7分）如题（19）图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 底面ABCD PA=AB=6，点E是棱PB的中点。（I ）求直线AD与平面PBC的距离；（II ） 若AD= 3，求二面角 A-EC D的平面角的余弦值。< T）如答（19）图f ,在ABCD中川JJ匚从叭40平面FR

17、G故直线AD与平面的跑离为点川到平PBC 的距离因円I丄展面曲眈仇故丹丄A艮由丹I = ABPAB为 等腰直角三角形”只点£是域的屮点AE丄PB.又 在矩形初仞中.BC1 ABAS是PR在底面ABCD内的 射由三垂线定理BCLPB.从而甌丄平面刊民故 BC 1 &乩从而佃丄平面朋匚故栋之X麻为首线妙甘 平面时距离一善）图1在RtAB中.円=朋二岳咖 AE = j-PB（H）过点“昨DF丄f巴交CE于人过点Fff.EC丄CE交AC于匚則 MG为所求的二 面角的平面倉，由（】）知£C丄平面RW.又AD ff BC.得At） 1半面円生故.40 1亦，从而 DE m J疋

18、+少=国.在中CE立+ BC3 = X 由G5二禹.斯以G5E为等边三角形，故， 为CE的中点卫DF - CD - tin 逹.困为AE ±平面FHC,故乂E丄又FG丄CEMyX£t从而FG =乎，且£点为AC的中点*119连DG,则衽 RtAADC 中.DG = -AC = £ c r?阳.0尸 * FC1 DQ 届所 U eoa DFQ =? DF 皿=3 -r+ Ci/ a -7 .解沬二：z*（I ）如新图2,以/为坐标匣点，射线ABDP分/*k別为*轴轴j轴正半轴，弹孑牢间宜甫坐标系A -/； / 1 审 *设 0(0屆0) 则巩屁).0).

19、C(J5tafi)tMAXH0O用片E（靱浙./八 W/q y因此M =（痔,0罟）、就-（0间*0）.= 風如-冉人«(19)图 2则猛 fij = 0,盘Pb = 0所VAAE 1平面,又由AD/HC知3 平曲尸“匸故宜线加与平血P甌的跑离为点彳到平面阳C的距离即为|莊|二万« H因为I肪1心则p（otJT.o）疋（屁圧o）设平面AEC的法向ftfl） = （x4 tyt冉）.则/ii xC = otnt * a£ = o +婀 + V5jf| - 0,XXE =（岳伍0）应=像o網故,号、+» = °朋以Xi " _疔耳、矶=X

20、|-可車叭=-庄.M "| * C 豆.故< n, 4n3步F哼所収二面和A -ec亠p的平m爲的余荒值为痔.所LU巧=O 片-街可取Ft - 1 »剤性-(O, t .雄.例8 (2010辽宁)(19)(本小题满分12分)已知三棱锥 P ABC中,PA 丄 ABC,AB丄 AC, PA=AC=AB,N 为 AB上一点，AB=4AN,M S 分别为PB,BC的中点.(I)证明：CML SN；(n )求SN与平面CMN所成角的大小。证明：设PA=1 ,以A为原点，射线AB AC,AP分别为x , y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。M(1,0 , - ), N(-,2

21、20, 0) ,S (1, - , 0).2 1 1 1(I)CM (1, 1-),SN (,0),2 2 2 1 1因为 CM ?SN00,2 2所以CMLSN6分1(n ) NC ( 2,1,0),设a= (x , y , z)为平面CMN勺一个法向量，1cx yz 0,则2令 x1y 0.x22,得 a=(2,1,-2).1、（本小题满分12分）12分如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形，AB AEFA FE AEF 45（I）求证：EF 平面BCE ；（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点 M，使得PM |平面B

22、CE ?若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由;(III )求二面角F BD A的大小。(I)因为 ABE为等腰直角三角形，AB=AE,所以AE± AB。又因为平面ABE吐平面ABCD,AE平面ABEF ,平面ABE FA平面 ABCD=AB所以AEX平面ABCD.所以AE± AD.因此,AD,AB,AE两两垂直，以A为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz。设 AB=1，贝U AE=1 , B (0, 1 , 0), D (1 , 0, 0 ),E ( 0, 0,1 ), C ( 1, 1, 0 )。因为 FA=FE ,/ AEF = 4

23、5 ° ,所以/ AFE= 90 °。1 1 从而，F(0,).1 1所以 EF (0, /BE (0, 1,1), BC (1,0,0).EF?Be 0 1 1 O,EF?BC 0。2 2所以EF丄BE, EF丄BC.因为 BE 平面 BCE , BCA BE=B ,所以EF丄平面BCE(n)存在点 M当M为AE中点时，PM/平面BCE.11M ( 0, 0, ) , P ( 1, -,0 ).22 1 1从而 PM =( 1, -), 1 1 1 1 于是 PM EF =( 1, (0,)=02 2 2 2所以PML FE,又EF丄平面BCE直线PM不在平面 BCE内,

24、故PMM平面BCE.(川)设平面BDF的一个法向量为 n ,并设n1= (x, y,z)。3 1BD (1 10) , BF (0, 2 '2)nBD 0>bn BF 0取 y=1，则 x=1, z=3。从而 n1(113).取平面ABD的一个法向量为 n2(0, 0, 1).cos (nn2)nj n2故二面角 F BD A的大小为arccos 。12分112、如图，四边形 ABCD是边长为1的正方形，MD 平面ABCD ,NB 平面ABCD，且MD=NB=1 , E为BC的中点(1) 求异面直线NE与AM所成角的余弦值(2) 在线段AN上是否存在点S,使得ES 平面AMN ?

25、若存在,求线段AS的长;若不存在，请说明理由17.解析:(1)在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz1 依题意，得 D(0,0,0) A(1,0,0)M (0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0),N(1,1,1),E(,1,0)。21NE ( -,0, 1),AM( 1,0,1)2TCOSNEAMNE, AM10| NE | | AM |10所以异面直线 NE与AM所成角的余弦值为(2)假设在线段 AN上存在点S，使得ES 平面AMN 。可设ASAN(0,),又EA1e, 1,0),2ESEA AS(?1,).ESAM0, 口10,由ES平面AMN，得,即2ESAN0

26、,(1) 01112故2，此时AS(%,2),| AS|。2/ AN (0,1,1),经检验，当AS y时，ES平面AMN。故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时3、2008福建18)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面ABCD ,侧棱PA=PD =2，底面ABCD为直角梯形,其中 BC/ AD,AB 丄 AD , AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点。(I)求证:PO丄平面 ABCD ;(n )求异面直线PD与CD所成角的大小;PAD丄底面AS仝2(川)线段 AD上是否存在点 Q,使得它到平面PCD的距离为 J3 ?若存在，求出 竺 的2QD值;若不存在，请说明理由(I)证明 在厶PAD中PA=PD,0为AD中点，所以P0丄AD ,又侧面FAD丄底面ABCD,平面PAD 平面ABCD=AD, PO平面PAD,所以P0丄平面 ABCD。(n)解 以O为坐标原点，OC、OD、OP的方向分别为z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意，易得A(0 , -1 , 0) , B( 1, 1,0) , C( 1,0,0 ) ,D(0, 1, 0), P(1),所以 CD=( 1,1,0),PB=(11, 1).所以异面直线 PB与CD所成的角是arccos '