2019年高考数学一轮总复习专题32等差、等比数列的概念及基本运算检测理

1、专题 32 递推数列本专题特别注意：1. 等差数列通项公式的推广2. 等差数列通项公式的推广3. 等差中项的应用4. 等比中项的应用5. 前n项和的应用6. 等差等比数列性质的应用【学习目标】1 掌握等差数列、等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等.2 掌握等差数列与等比数列的判断方法.3 掌握等差数列与等比数列求和的方法.【方法总结】1. 等差、等比数列的五个基本量ai,an,n,d(q) , $. 般地“知三求二”，通过构建方程(组)求出特征量ai,d(q)，则其余问题可解.2. 等差、等比计算型问题注意函数思想、方程思想的渗透；消元法和整体代入法的灵活运用3. 等差数列an的单调

2、性由公差d确定.若d0,则等差数列勿递增；若d0,则等差数列创递减.4. 等比数列an的单调性由首项ai和公比q综合确定.若q0,q1 或ai0, 0q1，则等比数列an递增；若ai1 或ai0, 0q0,贝Uan=,由 anV5 得v5nv25.那么使 anV5 成立的 n 的最大值为 24.故选：C.点睛：本题考查数列的性质和应用，考查了不等式的解法，解题时要注意整体数学思想的应用.6.在等差数列中，已知七-二，则公差=A.B . C . 4 D .【答案】A【解析】分析：由题意，利用等差数列的通项公式，列出方程组，即可得到答案详解：由題意,等差数列中,a2=l,aB= 13,点睛：本题主

3、要考查了等差数列的通项公式的应用，其中熟记等差数列的通项公式，列出方程组求解是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题7 .已知等差数列的首项 和公差均不为零，且,成等比数列，U()A. B . C .：D【答案】D【解析】分析：由,成等比数列，得.，从而即可求得答案口盘=a j +d= tLaa= ctj + 7d = 13解得d = 2?故选乩详解:成等比数列,即（阳+3就）2=（旳十国 +7旳解得:宀一1u1+ a5+3 + 12d_2c?i +3d5d故选：D.点睛：数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而ai和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常

4、用方法.8 已知等差数列的通项公式为，且满足亠：，则.A. IB.C.1D.：【答案】D【解析】分析：由等差数列先求出通项，然后求出详解：宙已知可得： %十 = %+ 1v轴+ s+i = 2? +即2a兀+1 = 2n +1则缶=空怦=55故选D点睛：本题考查了等差数列的通项及和的运算，较为基础，运用公式即可求出结果。9已知是公差为 的等差数列， 为数列 的前 项和，若_,则（A.B . C .D .【答案】D【解析】分析：由是公差为 的等差数列，,可得，解得， 求解即可.详解：是公差为 的等差数列，,m,解得旳j.a7十a利用等差数列求和公式点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的

5、前项和公式，属于中档题等差数列基本量的运 算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量：一般可以“知二求三”， 通过列方程组所求问 题可以迎刃而解.22ir .10.已知数列满足： ，厂一 I - - ，那么使. 成立的的最大值为（）A. 4 B . 5 C . 24 D . 25【答案】C【解析】分析：由题意知 an2为首项为 1，公差为 1 的等差数列，由此可知 an=，再结合题设条件解不等式 即可得出答案.详解：由题意 an+12- an2= 1 , an2为首项为 1,公差为 1 的等差数列， an=1+ （ n 1）x仁 n,又 an0,贝Uan=,由 anV5 得 -5, n 2

6、5.那么使 an2)、:2% =。(n2)./. %和* bn_2= 2bn(n 2 hT%展等比数列，-n-i= = 2br2AA=2,他乏2丄则!。吐f%十叽丿=tbg=2 + 2丿I0Q24 = 2即10%(七口前+鮎口J = 4故选：D.点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键.17.已知数列是等比数列，匚一，且二，,成等差数列，则，：: ，! _()A. 7 B .12 C .14 D . 64【答案】C【解析】分析：先根据条件解出公比，再根据等比数列通项公式求结果IT2r详解：因为，, 成等差数列，所以 : 所以: -: !

7、 _ 选 C.点睛：本题考查等比数列与等差数列基本量，考查基本求解能力18 .已知数列的前 项和为，且二+ 一5八二+.：=；：“，若：i亠广：A,则.( )A. B .C . D .I 【答案】B【解析】分析：根据等差数列的判断方法，确定数列为等差数列，再由等差数列的性质和前 n 项和公式，即可求得的值.详解：知曰+4一2口时=得2為仪二轴十片数列尙坊等差数列.由等差数列性质：16 +口“ =% + s = 2為玄，v口百+ a3i+ i2 o 24:.= Bfl-n + tXggA535=-*35 = 358 =35X 8 = 280故选B.点睛：本题考查等差数列的判断方法，等差数列的求和

8、公式及性质，考查了推理能力和计算能力等差数列的常用判断方法（1）定义法：对于数列，若=_、： r；冷（常数），则数列是等差数列； 等差中项：对于数列，若 -1-_1_ -：- ，则数列是等差数列；通项公式：- r 为常数，）？是等差数列；前项和公式：=r-为常数，）?是等差数列；（5）是等差数列？b j 是等差数列.19已知为等差数列中的前 项和，-，则数列的公差 （）1A.B . C D 【答案】B【解析】分析：由 飞-匸：可得“m 广制:,解方程组即可的结果.详解：由等差数列 中的前 项和，/,/ 曰十2d :久 4 口 + CkZ = 1D得,解得 ，故选 B.点睛：本题主要 考查等差数

9、列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 一般可以“知二求三”， 通过列方程组所求20.在等差数列中，； ，则公差 等于（ ）问题可以迎刃而解A. 0 B .1 C . 2 D .3【答案】C解析分析=根据等差数列的通项公式可求得公差/详解:T等差数列gj中,=z = 69二公差严二=“ =2故选C点睛：已知式等差数列中的两项，则等差数列的公差-，本题考查学生的变形应用能力和运算能力.21中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还

10、 ”其意思为：有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地，请问第二天走了A.192 里 B . 96 里 C . 48 里 D . 24 里【答案】B1呗右r 1q = = 378- = 378【解析】由题意有：此人每天所走的路程形成等比数列，其中公比，则 I ，,a-a3= q2=192 X （-）2- 48解出-,所以，选 C.22 .若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）.11A如斗】B1十口1?CH叫D+乓【答案】C+ 1 +1- | 【解析】分析：求出.1，在 A 中，宀S不一定是常数，在 B 中，. 可能有零

11、项，在 D 中，当.时，数列存在负项，此时无意义，只有 C 项满足等比数列的定义，并且公20.在等差数列中，； ，则公差 等于（ ）比是原数列公比的倒数，从而求得结果详解：因为数列是等比数列，所以18 吗+ 1垢叫 + Mgq对于A, 宀5七二曲不一定是常数，故 A 不一定是等比数列；对于 B,：可能有项为零，故 B 不一定是等比数列；对于 C,禾 U 用等比数列的定义，可知 的公比是数列公比的倒数，故 C 项一定是等比数列；对于 D,当 时，数列存在负项，此时无意义，故 D 项不符合题意；故选 C.点睛：该题考查的是有关等比数列的判断问题，在解题的过程中需要对等比数列的定义牢牢掌握，再者就是

12、对等比数列的性质要熟记，对等比数列中的项经过什么样的变换还成等比数列a fF的取值范围是（）.163【答案】A【解析】分析：根据等比数列的通项公式和已知条件， 建立方程组求出首项和公比，从而得到数列：是以 为首项， 为公比的等比数列，再由公式求出数列 的前 n 项和，即可求得aiaz十做旳+ - + % + E N * ）的取值范围.123已知是等比数列，,，则A. 一 ： B :C .丨 D 详解:设数列唧的公比为 4二数列窃忖展以8为苴项，扌为公比的等比数列,。風+Q風+氐何十i3cN*的取值范围为8占丿-故选A,% fl点睛：两个等比数列叫与%的积、商、倒数的数列叽、卩、仏仍为等比数列.

13、24.在等比数列an中，如果 a+a4= 18,比+a3= 12,那么这个数列的公比为（）1A. 2 B .1 1C. 2 或 D . 2 或【答案】C【解析】分析：设等比数列an的公比为 q ,由ai+a4= 18 ,a?+a3= 12 ,可得 ：，听（叼十护）=口$工_ 1 联立解出即可得出.详解：设等比数列an的公比为 q, a1+a4= 18,a2+a3= 12,旳（1 十沪） = 1E 旳（q 十）=12 用工一 1? ?化为：一：；1解得：或由题可知吐=2,乩5=；即dq-2a诅亠解得心则aaag+ OgA -卜aa+i呼专（T）,故选：C.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的

14、一类基本问题，数列中有五个量知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.25.等差数列的首项为 1,公差不为 0.若a2,a3,a6成等比数列，则 前 6 项的和为()A. 8 B .C .3 D【答案】D【解析】分析：禾 U 用等差数列的通项同时，等比数列的性质列出方程，求出公差，由此能求出数列的前项和.详解：因为等差数列的首项为b公差不为山且色卫，成等比数列，所以码=衍* % 即(01 + 2d)s= Oh+町丄+5d所以。+2d =(1 + d)(l + 5 成等比数列，且- - ；，贝 U()A. 4 B . 2 C .D .【答案】D【解析】试题分析：因为 a, b, c 成等差数列，且

15、其和已知，故可设这三个数为b - d, b, b+d,再根据已知条件寻找关于 b, d 的两个方程，通过解方程组即可获解.详解：由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列，可设 a=b- d, c=b+d,由题设得，tb - d + 3b + b d = 1()(b -d)2=b(b + d)卩=2(b=Z解方程组得，或,/ 0, b=2, d=6,a, n,q,an,S,般可以 a=b - d=- 4,故选：D.点睛：此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求解，注意三个成等 差数列的数的设法：x- d, x, x+d .27.已知等比数列的公比为，前项和是，则

16、“”是“5 上心*汀 5”的(A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：先求出“ 仝；的等价条件，再根据题意作出判断.解得眄0 1或心0, q 等价于a. 1或如氏0q VI.故7旷是5迪巧*_Z01S 2比0卢的既不充分也不必要条件，故选D.点睛：等比数列的单调性除了和公比有关外，还与数列的首项有关当 I 或 1 :时,数列为递增数列；当E:或 I 时，数列为递减数列.28 已知数列满足：，则.()20IB .12018 “o2O10o18 .刁A.B .1C .D .【答案】B【解析】分析：通过对7 变形可知，进而可知数列：

17、是首项、公比均为 3 的等比数列，计算即得结论详解：厂 s + 变形可知-数列是首项，公比均为3 的等比数列A71 十 1 = * 即ctn=3 - Iu2018 _ J 1故选 Bo点睛：本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.详解:由+*S201B 2S泅爲吆他a2017f29 数列 是等差数列，若，构成公比为的等比数列，贝 U ()1A.1 B 2 C D 3【答案】A【解析】分析：利用等差数列的通项公式和等比数例的定义进行求解。i羊解：由题可知+(日1+4d + 5)解得0 + 3口久2+3Aq=Hrn=+1=1故答案为A,点睛：本题主要

18、考查等差数列的通项公式和等比数列的定义，属于基础题。30 等比数列订鳥中，3!0，则“印:33”是“印心4”的()A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件【答案】B2【解析】分析：用等比数列的基本量a1,q可将“ai：a3”转化为ai：，求公比q的取值范围，进而可得a1：a4不一定成立；同理将a1,a4转化为基本量a1, q，可证由a1：a4能推出 6 ：a3。详解：如果“印：:a3”，那么印：ag2, q21 q 1或q：-1。I I33因为a4ag，当q”一1时，a4ag 0,因为Q 0,所以a1a4,所以“a1心3”不是“a1心4”的充分条件。由a1

19、：a4可得印心心，因为a10,所以q31，解得q -1 o所以q21，所以a3二ag2印。故“ai : a3”是a1：a4”的必要条件。故选 B。点睛：解决有关数列的问题可将条件转化为基本量，来求基本量的取值或范围，进 而可解决问题。本题考查学生的转化能力。31已知直线y=a与正切函数y =tanx二I 3丿且有乂2-为=二，假设函数y=tan；BX+|(XE(0,兀”的两个不同的零点分别为X3,X4(X4AX3),若在区间0,二内存在两个不同的实数X5,X6(X5X5)，与X3,X4调整顺序后，构成等差数列，则y =tan i xx狄5,乂6?的值为（）I 3丿【答案】CJT7TST._1J

20、jr I【解析】由题意及可-Jq| = ，可知丁= xjjq|=，又丁= j得到d? = 2 , Bitt y = tan I 2x+22的I3丿JT15更、0+ 1 k 証JC+fcjlsk. Zx （。力兀）,-=, fh设36 236存在两个不同的实数y若使花凡忑心调整顺序后组合成等差数列.设公差为心贝U有T列情况:(八、0)相邻两支曲线的交点的横坐标分别为X1,X2,A.C .- 3或3或不存在D3则A/7二厂兀，经分析,数列为X3,X5,X4,X6时，不成立，不妨设数列为Xs,X3,X6,X4,此时717:7:X5=，XH，当X12y二ta n i 2 -I 123）二tan二,不存

21、在，当花=一时，2 12JI JI）tan 2 -I 123=tan ,也不存在2若X3与X4之间间隔两个数，即X3, X5,X6, X4组成一个等差数列,77T若码与花相邻，则|?| =否则X5,X6,将超出范围若X3与X4之间间隔一个数，设这个数为A,X，0,二厂X3,X4,不能相邻,皆哼+卄七哙=，故选 C.32 .设等比数列满足 f. 一则公比）1 1A. 2 B .C . D .【答案】B【解析】分析：根据题中的条件，找出等比数列的首项和公比：所满足的等量关系式，两式相除，消元求 得公比的值I宇解：十2 = 1J g = 3*-+Q) =11(1 4卞)=3+得：1 _ q = 3“

22、 q =一2故选择B.点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，利用通项公式，将题的条件转化为关于 求得公比.f f(4)f /(2014j33. 如果函数f(x)对任意a,b满足f(a+b) =f(a) f(b)，且f(1) = 2: +-+ =()A. 4 018 B .1 006 C . 2 010 D . 2 014【答案】D【解析】T函数 f (x)满足：对任意实数 a, b 都有 f (a+b) =f ( a) f (b),且 f (1) =2,f丄兀4) f(切丄 f(2014)：=2+2+- +2=2X1007=2014.故选：D.34.设是公比为 的等比数列，令I,若数列有连续四

23、项在集合-止一-中，则的值为（）43A.B .C .-2 DX4X3JE JEitX3d蔦石右，二 二2二= x32d，此时333，构成等差数列，当兀X5V时，(jrJi 1ny二tan 2tanI23丿3=_ 3，当时,的等量关系式，消元【答案】B由3 =1,得印=1,又由S2=2,得1a2,解得a?=1,Sn 1- 3Sn2Sn0,【解析】由题竜，数列叽的连续四项在-53,-23J93Z82】中，且垢=%+1,an=bn-lf则的连续四项在-52-22.18.36,81冲,因为堤等比数列，等比数列中有员项，贝归V0,且员数项为相墙两项，所決等比数列各项的绝对值递増或递减，按绝对值的顺序排列

24、上述数值得卩& -24范-54用1，相邻两项相除寺=则可得-236.-5811数列%的连续四项，且Q=-裁q = j舍去力故选B35 数列满足，则等于（）3A.： B C 1D 【答案】B故选 B.丄 D 丄1632【答案】A.等差数列B 等比数列【解由题数列 满足：，即数列 是以.为首项，以 2 为公比的等比数列，则36.数列a满足a4=1an i- 2an二0 nN，则ai等于(A.14【解an 1_2an=0 ,得数列 曲为等比数列，且公比为2,又a1，则8ai=1，即印二1.故选8B.37 数列彼中，已知 3 =1 ,5=2，且Sn1 2Sn4=3Sn,(n2且n N*）,则此

25、数列为（）C.从第二项起为等差数列D从第二项起为等比数列an + 1【答案】D【解析】（nEN*且n 32）,二（5申5） = 2（55）（N*且n启2），二an#=2an（ N*且n32）,n=1时，上式不成立，故数列:an ?从第2项起是以2为公比的等比数列，故选 D.38已知数列；鳥满足an .1二丄an，若a4=8，则印等于2A.1 B . 2 C . 64 D .128【答案】C【解析】因为数列：an满足an 1=2an，所以该数列是以1为公比的等比数列，又a4= 8，所以勺=8,2 2 8即a2 ,得码=8斤一Sp =4心4一1），所以数列斗的通项公式为皱=品-；I；2当0工03

26、2冬二垃（一1）卫工1时等比数列,当&=1时$是等差数列/故选D.40.关于数列 3,9，2187,，以下结论正确的是（）A.此数列不是等差数列，也不是等比数列B.此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C.此数列可能是等差数列，但不是等比数列D.此数列不是等差数列，但可能是等比数列【答案】B2187【解析】因为729，所以该数列有可能是以首项和公比均为3的等比数列；321873又363，所以该数列有可能是以首项为3，公差为6的等差数列，故选 B.6二、填空题41 .已知数列血满足1-an + iX6+兔）=ls（n丘 N ），则 i =严的值是_ .扣“十-2）【答案】L11tnn【解

27、析】分析：设岛可得3釘，数列I引是公比为 2 的等比数列，从而可求得3，利用分组求和，结合等比数列求和公式求解即可详解:设如=言皿=12则（3-亡）（百+）=地故数列仏+弓是公比为2的等比数列,久=工*（2沢一1） W_ T W （2比 “ _2人故答案为左2）点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1 ）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时即了也处+一6 b和1二0川耳+12妇 + 妇+i

28、 +- = 2（叽+亍）,则几+討2心（6 +|）=严】（氏+扌）=扌用累乘法求通项；（4）构造法，形如 J v：in w的递推数列求通项往往用构造法，即将% =州_十况 g 月工 1）利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出叫+叫的通项，进而得出仏的通项公式【解析】试题分析：依题意，设三角形的三边分别为a, aq , aq2，利用任意两边之和大于第三边即可求得的取值范围.详解：依题意，设三角形的三边分别为 4 酣，aq2,/a + ttqaq2贝a + aq2 aqaq + aq2 a解得：宁乎，解得:qR;由得：字q或qO呼【解析】分析：根据条件si nA11及正弦定理，将问题转化为

29、等比数列公比的范围的问题，结(tanA tanB丿合三角形三边关系构造不等式可得结果.详解：根据题意，设等比数列a,b,c的公比为q(q0)，则b = aq,c = aq2.由题意得sin A丄 丄 二si nA泌 业=si nACOsAsinB cosBsinA(tanA tanB丿(sinA sinB丿sinAsinBsinCsi nB当时贝abcf宙三角形三边关系得bca即驹+蜩、一整理得- IAO,解得二gl兰jg=lH寸贝a=b-cf满足题意.故.当QA1时$贝b C?由三角形三边关系得abC)即a+aqa整理得gIAO，解得At$宀re -1 +的1 +壮可得q 即siM的取值范围

30、罡-1 + 75 1+屈点睛： 本题难度较大， 涉及的知识较多， 解题时注意转化思想方法的灵活运用， 首先从三角变换入手将所 给式子化简，然后根据正弦定理得到三角形的边的比值，即为等比数列的公比最后根据三角形三边的关 系构造出关于公比q的不等式，通过解不等式可得所求范围.-，且对任意正整数m, n，都有am二am爲，若Sn t恒成5【答案】:14【解析】因为口却=耳筑=+,所次实数的取值范围是4点睛：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f x：a恒成立？a f xmax,f X a恒成立？ a：f x皿山47 若数列是等比数列，且., ，贝 U3n 1+ 1【答

31、案】【解析】兔_ 口 1 = 1 禺 1 衍= V 耳+ 1.-口 11 二护1=l+3 + 32+ .J. + 3Jt-13? 11-3nl+ 1r48.已知数列a,的前n项和Sn =2n-1，则数列an 1的通项公式an二【答案】an=2n45.数列 an/ 的前n项和为Sn,已知4立，则实数t的最小值为【答案】1411an二a*是首项为二，公比为一-51t，实数t的最小值为4丄，故答案为4的等比数列，所以46.1数列an的前n项和Sn,已知a1，且对任意正整数m, n,5都有am .n二aman，若对任意n N,Sn:：:t 恒成立，则实数t的取值范围是可得an .1【解析】因为 印=0

32、=1，所以当 n_2 时，aSn-Sn=2n-2n=2n，故对一切自然数n,a2n-，应填答案a2n-。49 设Sn为等比数列:an!的前 n 项和，a3=8a6,则S4的值为_ S2【答案】54【解析】由题设q3=空q J，则S41 q2；=5S2，故包=5，应选答案-。a3824S24450一个蜂巢里有 1 只蜜蜂第 1 天，它飞出去找回了 2 个伙伴；第 2 天，3 只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第5 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 _ 只蜜蜂【答案】243 或者【解析】由题意可知，蜜蜂数为等比数列，第 1 天飞回 3 只，第 2 天飞回 9 只，所以

33、第 5 天飞回 =243 只.填 243.51 设正数数列时的前 5 和是几，若厲和爲 j 都是等差数列，且公差相等，则+ d= _3【答案】：【解析】【分析】由和. 都是等差数列，且公差相等，把 和都用和表示， 联立求解和，即可求得结果 【详解】设数列%的首项为阳，公差为乩数列石3的前沏页和是5“A祁7 =孔+云冷Sg = J3aj +3d又”頁地是公差为/的等差数列，则Qi =J2g+ cf=屮石+ Q 两边平方得2如+d =+ 2da + d2= 3at+3d = y/a + 2d?两边平方得3勿+ 3d =比】+4仇伍7 + 4d笃 -得： 2d + 2d+ 3心,把代入得旅2d-1)

34、=0, Ad = Od = i,A当tf = 0日寸，不合题竜戸当山=事寸代入解得珀=右5+臨W+討2故答案为三【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，意在考查学生的计算能力、转化与划归思想的运用，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题 52.有一个数阵排列如下：123 456782468 1012144812 1620816 243216 32486432 649664 则第 10 行从左至右第 10 个数字为 _.【答案】5120【解析】【分析】由数表可发现规律：第行第一个数为 ，第 行组成以为首项，以 为公差的等差数列，由等差 数列的通项公式可得结果【详解】由数表可发现规律：第

35、硝亍第一个数为第硝亍组成以卽宀为首项，叹2为公差的等差数列，所臥第10行第1个数字为2兀51冇则第10行第个数字为512+fLO -l)X 512-512D,故答案为5120”【点睛】本题通过观察数表的规律，考查等差数列与等比数列的应用以及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤：一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数 列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目

36、的归纳和图形变化规律的归纳53 设有四个数的数列-,前三个数构成一个等比数列，其和为 -，后三个数构成一个等差数列，其和为 15,且公差非零.对于任意固定的实数 圮，若满足条件的数列个数大于 1,则肚的取值范围为_u (5P15) u (15, + )【答案】-【解析】分析：禾 U 用等差数列、等比数列的性质，可得方程Ji：=0,由此，即可得出结论详解:因为后3个数成等差数列且和为b故可依次设后3个数対 X邛地2 刊且d穽5）又前3个数构成等比数列.则第一个数为普;即普二丸-5我化简得护一15圧十75 5fcM因为满足条件的数列的个数大于1捧要皿，所以再由击tO且d#5,得ke 5且口H1S故

37、答案为：（吳5）uCU5）U（15,+co）点睛：本题主要考查等差数列，等比数列的性质，考查了函数与方程的思想，属于中档题。54.莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的是_ .【答案】的方程组，解方程组可得与，的值，从而可得详解：设份面包数按照从小到大的顺序排列分别为,它们组成以：为公差的等差数列，则一心一疋巧十口4十= %丐十叫）可得1& 丄解得.,即最少的那份面包数是，故答案为点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型

38、， 数列中的五个基本量 ：一般可以“知二求三”， 通过列方程组所求 问题可以迎刃而解55在等差数列 S 讣中3 =,如果弧是与叫的等比中项，那么_ .1个面包分成 份，使每份倍，则最少的那份面包数【解析】分析：根据等差数列的前五项和为 I且后三项和是前两项和的倍，列出关于首项、公差【答案】9【解析】 由题意得，所以,又因为是，与的等比中项，所以乜二-卜三即+ (k-l)d2= (aA+ 5d)-旳 + 伙十 5)d，即(fc-3)d2= 3d (fc 十 3)川，解得，解得点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应注意在