第1讲集合及其运算

1、集合与常用逻辑用语 B基础自主TQr嶺新考纲考向極测I 誹熬勞的舟义.怵会元歳与彙令的側于奧專一基能,图总语肓，尝合语育t列举袪或播述怯描述不同的典体何題一 3”理解策合之间址會与幅鲁的含孟能训别甜毎築合的干年.4仆卫休惆障中* 了轲/年q空如的;vsl乩理解两e集件的片条寸玄乗的雪丈.金率両e简草蕖合的片聚q交幫 仏矗鮮壶龄崔比冷申一牛谏的朴蛊的;*丈.公虫船纽加的补隼.&能阻川打理I Vhiu)團表达聲合的藝*筮駅朋集合的差卒运墓.4H“隼舍的交.并.卅话岸理两集舍网的 61淖瓷系怪等舌的叛点*狂包泮缎运 算中刪TP不誓丸甬IHfl站乩 i时常用iHJKttffHB 用. t壹手生的敷脳姑

2、件船想和11專仙 腥.駆堕惻酬破为l核心#放世fill於，J第i讲集合及其运算理救财育冥車苗知识4走进教材、知识梳理1. 集合与元素(1) 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或?表示.集合的表示法： 列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN + （或 N*）ZQR2.集合间的基本关系表示加、自然语言符号语言Venn 图子集集合A中所有兀素都在集 合B中(即若x A，则x B)A? B（或 B? A）1O 或 CjuC真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B（或

3、B A）1O集合相等集合A, B中兀素相同A= BCD3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言(3符号语言A U B= x|x A, 或 x BAn B = x|x A，且 x B?uA= x|x U，且 x?A常用结论1. 三种集合运算的性质(1) 并集的性质： A U ?= A; A U A= A; AU B= B U A; A U B= A? B? A.(2) 交集的性质： an ?= ?； An a=a； An b = Bn a； an b= a? a? b.(3) 补集的性质： A U (?UA)= U ; A n (?UA)= ?; ?u(?uA) = A; ?u(A

4、 n B)= (?uA) U (?uB)； ?u(A U B) = (?uA)n (?uB).2. 集合基本关系的四个结论(1) 空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集.(2) 任何一个集合是它本身的子集，即A? A.空集只有一个子集，即它本身.(3) 集合的子集和真子集具有传递性：若A? B, B? C，贝U A? C;若A B, B C,则A C.(4) 含有n个元素的集合有 2n个子集，有2n- 1个非空子集，有2n- 1个真子集，有2n 2个非空真子集.二、教材衍化1. 已知集合 A=x|x是平行四边形 , B = x|x是矩形, C=x|x是正方形, D = x|x是菱

5、形，则()A. A? BB. C? B C. D?CD. A? D答案：B2集合A = x|x= y2+ 6, x N , y N的真子集的个数为()A . 9B . 8C . 7D . 6解析：选C.当y= 0时，x= 6;当y= 1时，x= 5;当y= 2时，x= 2;当y3时，x?N , 故集合A= 2 , 5, 6，共含有3个元素，故其真子集的个数为23 1 = 7.3. 已知集合 A= 1 , 3, a2, B = 1 , a + 2，若 B? A，则实数 a =.解析：因为B? A，所以a+ 2 = 3或a+ 2= a2(此方程无实根)，所以a= 1，此时A =1 , 3, 1 ,

6、 B= 1 , 3.答案：1走岀误区一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) x|y= x2+ 1 = y|y = x2 + 1 = (x, y)|y= x2 + 1.()若x2, 1 = 0,1，则 x= 0, 1.()(3) x|xw 1 = t|tw 1.()(4) 对于任意两个集合 A, B, (A A B)? (AU B)恒成立.()(5) 若 A A B= AA C,贝 U B = C.()答案：(1)X (2) X (3) V V (5) X二、易错纠偏常见误区|K (1)忽视集合中元素的互异性致误；(2) 忽视空集的情况致误；忽视区间端点值致误.1. 已知集

7、合 A= 1 , 3, 丽, B = 1 , m，若 B? A，则 m=.解析：因为B? A,所以m= 3或m= .m,即m = 3或m= 0或m = 1,根据集合元素的 互异性可知，m1,所以m = 0或3.答案：0或32. 已知集合 M = xX 2= 0 ,N = x|ax 1 = 0，若 M A N= N,则实数 a 的值是.解析：易得M = 2 因为M A N= N,所以N? M ,所以N= ?或N = M ,所以a= 0或 1a = 2答案：0或23. 已知集合A= x|x2 4x+ 3 V 0 , B = x|2 V xv 4，贝V A A B =, A U B =, (?rA)

8、 U B=.解析：由已知得 A = x|1v xv 3, B = x|2v xv 4,所以 A A B = x|2v xv 3, A U B =x|1 V xv 4,(?rA) U B= x|x 2.答案：(2, 3)(1 , 4)( a, 1U (2 ,+s )趣边考点 i学生用书P2考点集合的概念(自主练透)1. 设集合 A = x Z|X|W 2 , B=y|y= x2 + 1 , X A，则 B 中的元素有()A . 5个B . 4个C. 3个D .无数个解析：选C.依题意有A= 2, 1, 0, 1, 2,代入y= x2 + 1得到B= 1 , 2, 5,故B中有3个元素.2. 若集

9、合A = x R|ax2 3x+ 2= 0中只有一个元素，则 a=.c9解析：当a = 0时，显然成立；当a丰0时，A= ( 3)2 8a= 0,即a= 7.89答案：0或983已知集合A = x N|1vxv Iog2k，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为解析：因为集合A中至少有3个元素，所以Iog2k4,所以k24= 16.答案：(16,+ )4. 已知集合 A= m+ 2, 2m2+ m，若3 A,则m的值为.解析：由题意得m+ 2= 3或2m2 + m= 3,3贝U m= 1或m =夕当m= 1时，m + 2 = 3且2m2+ m= 3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意；31

10、3当m= 2时，m+ 2 = 2 而2m2 + m= 3,符合题意，故m= ?.3答案：3回園曲3求解与集合中的元素有关问题的注意事项(1) 如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.(2) 如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.考点集合的基本关系(典例迁移)： I (1)已知集合 A = x|x2 3x+ 2= 0, x R , B =x|0x5, x N，则()A . B? AB . A = BC. ABD. BA(2) 已知集合 A = xx2

11、3x+ 2 = 0, x R , B= x|0x5, x N，则满足条件 A? C? B的集合C的个数为()A . 1B. 2C. 3D. 4(3) 已知集合 A = x| 2 w xw 5 , B= x|m+ 1 x 2m 1，若 B? A，则实数 m 的取值范围为.【解析】由x2 3x+ 2= 0得x= 1或x= 2,所以A = 1 , 2.由题意知B = 1 , 2,3, 4,比较A, B中的元素可知 AB,故选C.(2) 因为 A= 1 , 2 , B = 1 , 2, 3, 4 , A? C? B,则集合 C 可以为1 , 2 , 1 , 2 ,3, 1 , 2 , 4, 1 , 2

12、 , 3, 4,共 4 个.(3) 因为 B? A ,所以若B = ?,则2m 1m+ 1,此时m m + 1 ,若B工?,贝U m+ 1 2, 解得2w mW 3.2m 1 w 5.由可得，符合题意的实数 m的取值范围为 mW 3.【答案】(1)C (2)D (3)( a , 3【迁移探究1】(变条件)本例(3)中，若B A,求m的取值范围？解：因为B A , 若B = ?,成立，此时mv 2.2m 1 m + 1 , 若B工?,贝U m+ 1 2,且边界点不能同时取得，2m 1 w 5 ,解得2W mW 3.综合，m的取值范围为（一a , 3.【迁移探究2】（变条件）本例（3）中，若A?

13、B，求m的取值范围.m+ 1 w 2，mW 3,解：若A? B,贝U即所以m的取值范围为？.2m 1 5,m 3.【迁移探究3】（变条件）若将本例 中的集合A改为A=x|x5，试求m的 取值范围.解：因为B? A,所以当B = ?时，2m 1m + 1,即m52m 1 2,m 2, 解得或1即m4.m4m0，N= x X0 = x|x1 或 x0，N= x 一1 或 x0，所以 xM = N.故答案为C.2. 设M为非空的数集，M? 1，2，3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A . 6个B . 5个C. 4个D . 3个解析：选 A.由题意知，M = 1 , 3 , 1 ,

14、 2 , 1 , 3, 2 , 3, 1 , 2, 3，共 6 个.3. 若集合 A= 1 , 2 , B= xlx2 + mx+ 1 = 0, x R，且B? A，则实数 m的取值范围 为.解析：若B= ?,贝U = m2一4v 0,解得一 2 v mv 2,符合题意； 若 1 B,贝 U 12+ m + 1 = 0,解得m=- 2,此时B= 1,符合题意； 若 2 B,则 22+ 2m+ 1= 0,51解得m= 2,此时B= 2, 2 ,不合题意.综上所述,实数m的取值范围为一 2, 2).答案：2 , 2)考占目集合的基本运算(多维探究)角度一集合的运算會- (1)(2019高考全国卷m

15、 n n=()I )已知集合 M = x| 4x2 , N = x|x2 x 60,则a . x| 4x3B . x| 4x 2C. x| 2x2D. x|2x0 , B= y|y 2,则(?rA) U B=()A. 2 , IB. ?C. 0 ,)D . (0 ,)【解析】(1)通解：因为 N= x| 2x3 , M = x| 4x2,所以 M n N= x| 2x2,故选C.优解：由题可得N = x| 2x0 = x x，或x0 ,所以？rA = x 0x 0, B= x|x m.若 An B = x|x4,则实数 m 的取值范围是.2 2【解析】(1)由题意可得3a 1 1,解得a3,即

16、实数a的数值范围是 3, + m .故选C.根据并集的概念，可知a, a2 = 4 , 16,故只能是a = 4.(3)集合 A= x|xv 3 或 x 4,因为 A n B= x|x 4,所以一3 m 4.【答案】(1)C(2)4 (3) 3 , 4(1) 集合运算的常用方法 若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； 若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2) 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； 若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.提醒在求出参数

17、后，注意结果的验证(满足互异性). (2020 西吉安一中、新余一中等八所中学联考)已知集合M = 1, 1, N= y|y =x2, x M，贝U M n N =()A 0, 1B 1,1C. 0, 1）D （0, 1解析：选 A.由于 M = 1, 1, N = y|y= x2, x M,所以 N = 0,1,所以 M n N = 0 , 1.故选A.2. （2020安徽宣城八校联考）如图，设全集 U = N，集合A= 1 , 3, 5,乙8 , B= 1 , 2 ,3 , 4, 5,则图中阴影部分表示的集合为（）町A . 2 , 4B. 7 , 8C. 1 , 3, 5D. 1 , 2,

18、 3, 4, 5解析：选A.由题图可知阴影部分表示的集合为（?uA）n B,因为集合A = 1 , 3 , 5 , 7 ,8, B= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , U = N,所以（?uA）Q B = 2 , 4.故选 A.3. 已知集合 A= x| 1 v xv 2, B = x|y= :- x2 2x,贝V A n B =（）A . x| 1 vxv 0B. x| 1 v x 0,解得2 x 0,所以集合 B = x| 2 x 0.又集合 A= x| 1v xv 2,所以 An B = x| 1 v x 0.故选 B.学生用书P4集合新定义问题中的核心素养咚嗣（1）（2020河南

19、南阳第一中学第十四次考试）定义集合运算：AO B = Z|Z = xy , x A ,y B,设集合A= 1, 0 , 1, B = sin a , cos a ,则集合AO B的所有元素之和为（）C. 1D. sin a+ cos a（2）（2020河北保定一模）设P和Q是两个集合，定义集合P Q=x|x P ,且x?Q,如果 P= x|12x4 , Q= y|y= 2+ sin x , x R,那么 P Q =（）A . x|0xw 1B. x|0 x2C. x|1W x2D. x|0x1【解析】（1）因为x A,所以x的可能取值为一1, 0 , 1.同理，y的可能取值为sin acos

20、a,所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次):sin a, 0, sin a, cos a, cos a,所以所有元素之和为0故选B.(2)由题意得 P = x|0x2, Q= y|1w yw 3,所以 P Q= x|0x0 = x|x3 或 x2 , B= x|x10 = x|x1,所以An B = x|x1,故选 A.3. (2020河南许昌、洛阳三模)已知集合A = x|y= x2+ 1, B= (0 , 1),则An B=()B . (0, 1A. (0, 1)C. ( 1 , 1)D . 1, 1解析：选A.由题意得A = 1, 1,又B = (0, 1),所以An B= (0,

21、 1).故选A.4.设集合M = xX= 2k+ 1, k Z, N = x|x= k + 2 , k Z,贝U ()A. M= NB. M? NC. N? MD . M n N=?解析：选B.因为集合M = x|x= 2k+ 1, k Z = 奇数, N= x|x= k+ 2, k Z = 整数,所以M?N.故选B.5. (2020 东湛江测试(二)已知集合 A= 1 , 2, 3, 4 , B= y|y= 2x 3, x A，则集合anB的子集个数为(C. 4解析：选 C.因为 A = 1 , 2, 3, 4, B= y|y= 2x 3, x A,所以 B= 1 ,1, 3, 5,所以A

22、n B= 1 , 3.所以集合A n B的子集个数为22 = 4故选C.6.已知集合 A= (x , y)|x2 + y2 3 , x Z , y Z,贝V A中元素的个数为(C. 5解析：选 A.法一：由 x2 + y2 3 知，3 x ;3, 3 yW ,3又 x Z ,y Z,所以x 1 , 0, 1, y 1 , 0 , 1,所以A中元素的个数为cc3= 9,故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2 +y2= 3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.7.已知 x R,集合 A= 0, 1 , 2, 4, 5，集合 B= x 2, x, x

23、+ 2，若 A n B= 0 ,2，则 x=()A.-2B.0C. 1D.2解析:选 B.因为 A = 0 , 1 , 2 , 4 ,5,集合 B = x 2 , x , x+ 2,且 A n B= 0 , 2,x 2= 0 ,x= 0 ,所以或x= 2x+ 2= 2 ,当 x = 2 时，B= 0 , 2, 4 , A QB = 0 , 2, 4(舍);当 x = 0 时，B= 2, 0, 2, A AB = 0 , 2.综上，x= 0故选B.& (2020滁州模拟)已知集合M =x|x2= 1 , N= x|ax= 1，若N? M，则实数a的取值 集合为()A . 1B . 1, 1C.

24、1 , 0D. 1, 1 , 0解析：选 D.M = x|x2= 1 = 1, 1,当 a = 0 时，N= ?,满足 N? M ,当 a 0 时，因即a= 1或a = 1.故选D.11为N? M ,所以-=1或=1,9.（2020太原模拟）已知全集aaU = R ,集合 A= x|x(x+ 2)v 0, B= x|x|w 1,则如图所示B.0, 1的阴影部分表示的集合是（）A . ( 2, 1)C. ( 2, 1) U 0 , 1解析：选 C.因为集合 A= x|x(x+ 2) v 0 , B= x|x|w 1,所以 A = x| 2 v xv 0 , B =x| 10 , B = x|x

25、a0 = xX3 , B = x|x a0 = x|xa.因为 B? A, 所以aw 1.故选D.11. 已知集合 A = x|x2 2x 3 0 , B= x|y= ln(2 x)，贝V AA B =, A U B解析：A= x|x2 2x 3w 0 = x|(x+ 1)(x 3) w 0 = x| 1 w x0 = x|xv 2,则 A A B = 1 , 2), A U B= ( 3.答案：1, 2)( a, 312. 已知集合 A= x|x aw 0, B = 1 , 2, 3,若A A ?,则a的取值范围为 .解析：集合A= x|xw a,集合B= 1 , 2, 3,若AA Bm ?,则1, 2 , 3这三个元素至 少有一个在集合 A中，若2或3在集合A中，则1 一定在集合A中，因此只要保证1 A即 可，所以a 1.答案：1 ,+a )综合题组练1.已知全集 U = A U B中有m个元素，(?uA)U(?uB)中有n个元素，若 A A B非空，贝U AAB的元素个数为()A . mnB. m+ nC. n mD. m n解析：选D.因为(?uA)U (?uB)中有n个元素，如图中阴影部分所示,又U = A U B中有m 个元素，故A A B中有m n个元素.2. 给定集合 A，若对于任意a, b A,有a + b