安徽省宣城市2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)

1、安徽省宣城市 2020 届高三数学上学期期末考试试题 理（含解析） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 .1. 设全集 是实数集 , 集合 ， ，则 为（ ）A. B. C. D.【答案】 C【解析】试题分析： ， 或 ， ， ， ， ， ， .考点： 1.一元二次不等式的解法； 2.对数不等式的解法； 3. 集合的补集、交集运算 .2. 设 为虚数单位，复数 ，则 的共轭复数 在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 D【解析】复数 ，则 的共轭平面复

2、数 在复 平面中对应的点 在第四象限，故选 D.3. 设 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ 为递减数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 D【解析】试题分析：若“ ”，当 ， 时 ， 所以 为递增数列； 若 为递减数列，当 时， ，所以应选 D.考点：充分必要条件解析】分析】判断 的奇偶性，以及 在 上的函数值的符号，结合选项得出答案【详解】解： 的定义域为 ，关于原点对称，又 ，即函数 奇函数， 的图象关于原点对称，排除 A、 D，当 时， ， ，排除 B，解析】 考点：古典概型及其概率计算公式分析：从正六边形的 6 个顶点

3、中随机选择 4 个顶点，选择方法有 C64=15 种，且每种情况出现 的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数， 求比值即可解：从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，选择方法有 C64=15 种， 它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 = 故选 D6. 若实数 满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. 8 D. 10 【答案】 C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由 的几何意义，即可行域内的动点与定点 距离 的平方求解【详解】解：由约束条件 作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动

4、点与定点的几何意义为可行域内的动点与定点 距离的平方，由图可知，最小值为 到直线 的距离的平方，故选： C【点睛】本题考查了简单的非线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方 法，是中档题7. 已知圆 和圆 只有一条公切线，若 且 ，则 的最小值为A. 2 B. 4C. 8D. 9【答案】 D【解析】【分析】由题意可得两圆相内切， 根据两圆的标准方程求出圆心和半径， 可得，再利用“ 1”的代换，使用基本不等式求得 的最小值 .【详解】由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为 ， ， 所以圆心坐标分别为 ，半径分别为 2 和 1，故有=1， + =（ + ）（） =5+ + 5+4

5、=9，当且仅当 = ，即 时，等号成立， + 的最小值为 9，故选 D.【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式 的应用，得到 是解题的关键和难点B.A.【答案】 DC.D.解析】【分析】由三视图可知，直观图是正方体挖去两个 圆柱，即可求出表面积【详解】解：由三视图可知，直观图是正方体挖去两个 圆柱 该几何体的表面积为故选： D点睛】本题考查了三视图，以及表面积的计算，这类型题的关键在于三视图的还原，属于中档题9. 已知函数 的周期为 2，当 时， ，如果 ， 则函数的所有零点之和为（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 【答案】 A【解析】解：

6、函数的零点满足： ， 在同一个平面直角坐标系中绘制函数 和函数 的图象， 观察可得 4 对交点的横坐标关于直线 对称， 据此可得函数 的所有零点之和为 2×4=8.本题选择 A选项 .CAB）CAB离心率的取值范围是（ ）答案】 A解析】试题分析：根据题意，由于双曲线的渐近线方程为 ，而圆的圆心，半径为 1，则利用圆心到直线的距离，故选 A考点：双曲线的几何性质、直线与圆方法点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题确定双曲线的渐近线方程，利用双曲线的一条渐近线与圆 有公共点，建立不等式，即可求得离心率的范围在高考中，对双曲线的考查一般以它

7、的特色渐近线、离心率的考查为主11. 已知函数 的图象在点 处的切线 与直线 平行，若数列10. 若双曲线的一条渐近线与圆 有公共点，则双曲线的D.D.的前 项和为 ，则 的值为（答案】 C解析】分析】 函数的图象在点 处的切线 与直线 平行，利用导函数的几何含义可以求出，转化求解数列 的通项公式，进而由数列的通项公式选择求和方法即可求解【详解】解：函数 的图象在点 处的切线 与直线 平行， 由 求导得： ，由导函数得几何含义得： ，可得 ，所以 ，数列的通项为所以数列 的前 项的和即为 ，则利用裂项相消法可以得到： 所以数列的前 2020 项的和为： 故选： C【点睛】此题考查了导函数的几何

8、含义及方程的思想，还考查了利用裂项相消法求数列的前 项和的方法12. 已知 ， ， ， ， 为 外接圆上的一动点， 且 ，则 的最大值是(A.答案】 B【解析】【分析】以 的中点为原点， 以 为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设 的坐标为求出点 的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到 ，根据正 弦函数的图象和性质即可求出答案 .【详解】解：以 的中点为原点，以 为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 外接圆的方程为 ，设 的坐标为 ，过点 作 垂直 轴， ， ， ， ，【点睛】本题考查了向量 坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角 三角形的问题，考查了学生的分析解

9、决问题的能力，属于难题二、填空题（每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈 四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高 一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10 尺， 1斛=1.62 立方尺，圆周率 ），则该圆柱形容器能放米 斛【答案】【解析】, 圆柱形容器体积为, 所以此容器能装 斛米14. 二项式 展开式中的常数项为 【答案】 60【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的 常数项的值【详解

10、】解： 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ，所以展开式中常数项为 故答案为： 60 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的 系数，属于基础题15. 已知答案】解析】 【分析】 利用两角和差的正弦公式进行化简，结合三角函数的倍角公式以及换元法进行求解即可 . 【详解】解：，则，且，则可得故答案为：点睛】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的正弦公式以及倍角公式进 行转化是解决本题的关键，属于中档题16. 已知函数 的图像与直线 恰有三个公共点， 这三个点的横坐标 从小到大分别为 ， ， ，则 【答案】 .【解析】【分析】由已知条件得到图像，

11、运用导数和三角函数进行求解详解】如图所示，易知 ，则又直线与 相切于点则则故答案为【点睛】本题主要考查了三角函数的图象，导数的几何意义，三角函数求值，考查化归与转 化思想，数形结合思想和运算求解能力，属于中档题目。三、解答题 （本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 在中， 分别是内角 的对边，且满足 （ 1）求角 的值；（ 2）若， 边上的中线 ，求 的面积【答案】 ；【解析】分析】由，根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简可得，由于 ，可求 ，进而可求 的值； 由结合平面向量数量积的运算可得，解得 的值，根据三角形面积公式即可得结果详解】由正弦定理得：即， 从而 ，即： ， 又 中

12、， ， 故， 得.，得：由从而 或 舍 ，点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中 的应用，属于中档题以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦 定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度 不大，但综合性较强 . 解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心18. 如图，四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角梯形， ，（ 2）若截面与底面 所成锐二面角为 ，求 的长度【答案】（1）见证明；（2）4【解析】【分析】（ 1）取

13、的中点 ，连接 ， ，易证四边形 是平行四边形， ， 平面；（2）分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 ，写出平面的法向量为 ，平面的法向量 为 ， 由截面 与底面所成锐二面角为 ，解得【详解】（ 1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，是 的中点， 且 ，底面 为直角梯形， ， ，且 ， 四边形 是平行四边形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 .2）如图，分别以， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 。则， ， ， ，取平面 的法向量为 .， ，设平面 的法向量为不妨取 ，则 ， ，即即.点睛】利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标 系利

14、用向量的坐标进行求解，利用向量计算二面角的大小先分别求出二面角的两个半平面所 在平面的法向量，通过向量的夹角得到二面角的大小19. 每年七月份， 我国 地区有 25天左右的降雨时间， 如图是 地区 镇 2000-2020 年降雨量（单 位： ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（ 1）假设每年的降雨天气相互独立，求镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过 的概率；（2）在 镇承包了 20 亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果， 平均每年的总利润为 31.1 万元而乙品种水果的亩产量 （ / 亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品 种水果的单位利润为 （元 /

15、），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种 的水果可以使利润 （万元）的期望更大？（需说明理由） ；降雨量亩产量500700600400答案】（ 1） ；（ 2）乙品种杨梅的总利润较大解析】分析】1）由频率分布直方图中矩形面积和为1，计算第四组的频率，再求出第三组矩形面积的一半，求和即可求出对应的概率值，再利用独立重复试验概率公式可得结果；（ 2）根据直方图求随机变量的概率，可得随机变量 的分布列，求出乙品种杨梅的总利润的数学期望，与过去 种植的甲品种杨梅平均每年的总利润为 28 万元比较得出结论和建议 .【详解】（1）频率分布直方图中第四组的频率为 该地区在梅雨季节的降雨量超过 的概率为

16、所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 的概率为（或 . ）2）据题意，总利润为元，其中 .所以随机变量 （万元）的分布列如下表：273531.222.40.20.40.30.1故总利润 （万元） 期望（万元） 因为 ，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润 （万元）的期望更大 .点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题 . 直方图的主要性质有： （1）直方的乘积为该组数据的频率； （ 3）可得平均值； （ 4）直方图左右20. 已知椭圆为1）求椭圆的标准方程；2）过椭圆 右焦点 的直线定值？若存在，求出点 的坐标答案】解析】每个矩抛物圆交于

17、两点得点，1）（ 2）各矩形的面积之和为；（ 2）组距与直方图纵坐标的右焦点示且椭圆的离心率，使得 为，在 轴上是否存在点理由中点横坐标与该矩纵坐标、组距相乘后求和的焦点重分析】（ 1）先求出抛物线的焦点， 从而得到椭圆的，再结合离心率以及 即可求出的值，从而求出椭圆方程 .（ 2）先假设存在，然后设出直线的方程 ，结合韦达定理以及向量数量积的坐标运算，利用 与 来表示 ，要使得其为定值，则与 无关，即可求出 的值，并求 出 的值，再验证当直线斜率为 0 也符合即可 .【详解】解： （）抛物线 的焦点为 ， ， ，又因为椭圆的离心率为即，则，因此，椭圆的方程为（）假设存在点 ，使得 为定值当直

18、线 的斜率不为零时，可设直线 的方程为 ，联立 ，得，设 、 ，由韦达定理可得、，要使上式为定值，即与 无关，应有 ，解得，此时，. 对于定值（ 参数可能是直当直线 的斜率为零时，不妨设 、 ，当点 的坐标为 时，使得综上所述，存在点点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解，以及定值问题的探究与证明，属于难题 问题，主要是证明求解的一个量与参数无关，解这类问题时要会合理选择参数 线的斜率、截距 , 也可能是动点的坐标等 ） ，使用参数表达其中变化的量，再使用这些变化的 量表达需要求解的解题目标，再证明这个要求解的量与参数无关，从而证得该为定值21. 已知函数（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若对于任

19、意的，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围【答案】（ 1）在 递增，在 递减，在递增（ 2）【解析】【分析】（ 1）先求函数的定义域以及导数，然后根据导数的零点与 的大小关系确定分类讨论的标准，再结合 的符号讨论函数 的单调性 .（ 2）结合函数的单调性， 求出 ，则问题转化为对于任意 恒成立问题，再求出 ， 的最大值，即可求 出 的范围 .【详解】解： （ 1）的定义域是 ， 当 时，令 ，解得： ，或 ，令 ，解得： ，故 在 递增，在 递减，在 递增， 当 时， ， 在 递增， 当 时，令 ，解得： ，或 ，令 ，解得： ；故 在递增，在 递减，在递增；（ 2）由（ 1）知 时，在

20、 递增，故 在 递增， 故， 要使不等式 在 恒成立， 只需，记，则，故 在 递增， 的最大值是 ， 故，故 的范围是 【点睛】主要考查了含参函数单调性的讨论，以及恒成立问题，属于难题 . 对于恒成立问题， 关键是等价转化为函数最值问题 . 而含参函数单调性的讨论的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求出函数的导数；（ 3）根据定义域以及函数导数的零点确定分类标准；（ 4）根据导数的符号讨论函数的单调性 .为参数），点 的极坐标为22. 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 处，极轴与 轴的正半轴重合，且长度单位相 同圆 的参数方程为1）化圆参数方程为极坐标方程；2）若点 是圆 上的任意一点，求