分式方程的几种特殊解法

1、分式方程的几种特殊解法白云中学：孙权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程;（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式 方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的 分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适 当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下而举例谈谈解分式 方程的几种特殊技巧。一、加减相消法。例 1、解方程：-=.!= i - !ox + l x+2018x + 20170+2018x + 2017分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题 方法。如果我们发现方程两边都加上分式!,则可以通+2

2、018x+2017过在方程两边都加上分式 1,就将原方程化简成丄=1 ,f +2018+ 2017x + l从而轻松获解。解：原方程两边都加上 !,则可得： 丄=ix + 201 8 + 2017x+去分母，得：2 = x+l解得：JV = I经检验，x = l是原分式方程的解。二、巧用合比性质法。例2：解方程：U =兰。Jr+1 x + 7分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话， 则可以利用合比性质将分子化为1,从而可以轻易将方程的解求出。解：由合比性质可得：八*+DJ""S + ex +1x + 71 _ 1x2 + 1T+7去分母并化简得：X2 -x-

3、6 = 0 ,即( -3)(x + 2) = 0解得：X = 3 Wcv = -2经检验，x = 3或V = -2是原分式方程的解。三、巧用等比性质法。例3、解方程：竺II =竺三。3x + 2 3x+l分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。解：由等比性质可得:(4x + 4)-(4x + 2) _ 4x + 2(3x + 2)-(3x +1)3x+l4x + 23x +1化简得：2x = 0. x = 0经检验，x = 0是原分式方程的解。四、分组化简法。例4、解方程：丄+丄=丄+丄。x + 2 x + 5 x + 3 x + 4分析：

4、此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。 解:原方程可化为：-1=-Lx + 2 x + 3x+4 x + 5分别通分并化简，得:(x + 4)(x + 5) = ( + 2)(x + 3)解得：X = 3.5经检验，X = 3.5是原分式方程的解。五、倒数法。例5、解方程:1 _ 11 I -y+ x+2 2017-rl分析：木题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解,过程较复杂。但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。解:原方程两边取倒数，得:1 x+l X+21=2017x-1 X-I移项化简，得:1 _ 1201

5、7"TT方程两边取倒数，得：2017 = x-l解得：x = 2018经检验，x = 2018是原分式方程的解。六、列项变形法。例6、解方程：+ +=丄。X(X +1) (X + 1)( + 2)(x + 99 )(x +100 ) 24分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。若注意 到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为1。凡是这样的 分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外 的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。解:原方程可化为：丄-丄+=丄X x+1 x + 1 x + 2x + 99 x + 100 241 1 1 ” _X x +10

6、0 一 24去分母化简得：X2+100x-2400 =0,即(x+120) (x-20) = 0 解得：x = -120Jcv = 20经检验，x = -120<x = 20是原分式方程的解。七、换元法。例7、解方程：耳+旦=2。JT+9 6x分析：注意到且与孚2互为倒数，因此可考虑换元法，化繁JT+9 6x为简，化难为易。解：令冬，则F=丄，故原方程可化为：JC+96a yy + -= 2y去分母化简得：y2 -2y + l = 0,即(y-D2 =0解得：y = 1-Q = I+9所以化简得:X2 -6x+9 = 0,即(X-3)2=0解得：X = 3经检验，x = 3是原分式方程的

7、解。八、化为整式部分和分式部分之和的变形法。例8、解方程:x + 2x + 27+2+4x + 61X + 2分析：若一个方程的分子的次数高于或等于分母的次数，则可把 这个分式化为化为整式部分和分式部分之和的形式，如此即可妙解分 式方程。解：原方程可化为：x + 1 + " = x + 2+ 1x+1x+21 2x+1x+2去分母得：x+2 = 2x+2解得：=0经检验，x = 0是原分式方程的解。九、巧用特殊方程法。例9、解方程：÷-= ox-1 3x 2分析：对于方程"丄F +丄，我们易知它的根为Xl=6X,=-o而Xaa木题可化为x + - = a + 的形

8、式，所以利用上述结论可巧妙将方程解Xa出。解：原方程可化为：竺+匕=2 +丄x-l 3x 23x _ 2 或 3兀 _ 1X 1A 1 2解得：A= - 2或X = -丄经检验，x = -2JtV = -I是原分式方程的解。5十、设辅助元法。例10、解方程：空二匚("口) = 42。x+1x+1分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分 繁杂。如果我们观察到原方程的特殊结构，采用设辅助元，令 y =-一，则可得XV+ (x+y) = 13,而原方程则可化为XV(x+y) = 42 ,进 x + 一步可构造Q和 + y为根的一元二次方程,然后在求出卞和龙+ y的基 础上获

9、得原方程的解。解：设y = -_,则可得 xyf + ( + y) = 13X+1又原方程则可化为Ay (x+y) = 42所以由、可知：Ay和x + y可以看作一元二次方程r-13z÷42 = 0的两个实数根。解之得：© =7, G =6所以有：Ff 7或X）T = 6M = 7进一步解得：Xl = l,x2 =6,x3 = 3 + "2,x4 =3 V2 0经检验，Jq= l,x2 =6,x3 =3+f2,x4 =3-2是原分式方程的解。十一、函数图象法。例 11、解方程：X2 +2x- - = O OX分析：原方程可化为+2x = ,我们可以将此方程的两边分别看X作二次函数y = ÷2x和反比例函数尸°。然后在同一直角坐标系分 X别作出它们的图象，两个函数交点的横坐标即是原方程的解。解：原方程可化为：÷2 = 。将此方程的两边分别看作二次函X数 = + 2-和反比例函数V = -OX在同一直角坐标系分别作出它们的图象（如下图）：观察图象，可以发现两个函数的图象只