九年级下册人教版数学知识点归纳精编WORD版

1、九年级下疥X教超数学知识点归究精编WORD 版IBM system office room A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8。的符号开口方 向顶点坐 标对称轴性质向上X二 h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x = h时，y有最小值向下X二h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x = h时，y有最大值八第二十二单元二次函数一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如y = ax2 4- b.X + C （“，/）, C 是常数，“"0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类 似，二次

2、项系数而，C可以 为零.二次函数的定义域是全体实 数.2 .二次函数y = "F+/" + c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自 变量x的二次式，x的最高次数是2.（2）4, ，C是常 数，。是二次 项系数，是一次 项系数，。是常数项.二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式），=。（X -万）2 +k的性 质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化 成顶点式y = a（x-力+女，确定其顶点坐 标（力，女）;（2）保持抛物线y = ”2的形状不变, 将其顶点平移到（/?，&）处，具体平移方 法如下：

3、2 .平移规律在原有函数的基础上“力值正右 移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下 减”.方法二：（1） y = 6M-2 +bx + c沿），轴平移：向上 （下）平移?个单位，y = ax2 + bx + c变成y = ax2 +bx + c + m （或y = ax2 + bx + c- m ）y = a/+bx + c沿轴平移：向左（右）平移？个单位，y = ax2 + bx + c 变成 y = a（x + ?）2+b（x + ?） + c （或 y = a（x - m）2 + b（x - m） + c ）四、二次函数y =+人与y = ax2 +历+（,的比

4、较从解析式上看，y =/?）?+4与y = ax2 +以+ c是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者，即（,b 4ac -h2 甘山 y = a x + +-，其中 2a） 4a. b , 4al/h =9 k =2a 4a五、二次函数产/+以 + c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函 数y = ax2+bx + c化为顶点式 y = a（x-h）2 +k ,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴 两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y轴 的交点（0，c）、以及（0，c）关于对称 轴对称的点（2万，c）、与x轴的交点 （X, 0） , （&

5、;,0）（若与x轴没有交 点，则取两组关于对称轴对称的 点）.画草图时应抓住以下几点：开口方 向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与 丁轴的交点.六、二次函数y =+ c的性质1 .当>0时，抛物线开口向上，对 称轴为工=-2,顶点坐标为b 4ac-b2当时，y随克的增大而减2a小；当人>-2时，,，随x的增大而2a增大；当x = -2时，y有最小值2a4ac-心4a2 .当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为).=一二，顶点坐标为 2a(b 4ac-ly .当 x<_L 时，丫 随x 的2a 4a2a增大而增大；当;v>-二时，y随克的增 2a大而减小；当入=-2时，

6、y有最大值2a4ac-h24a 七、二次函数解析式的表示方法3 .一般式：y = cix2 +bx + c (a, b »C为常数，“H0)；4 .顶点式：y = a(x-h)2 +k ( a , h » “为常数，“h0);5 .两根式：y = “(x-X)(x-X2)(a wO , x, , x2是抛物线与x轴两交点 的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化 成一般式或顶点式，但并非所有 的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点，即4比20时，抛物线的解析式才 可以用交点式表示.二次函数解 析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的

7、关系1.二次项系数。二次函数y = “/+x + c中，a作为 二次项系数，显然工0.。决定了抛物 线开口的大小和方向，。的正负决定开 口方向，M的大小决定开口的大小.2. 一次项系数2.已知抛物线顶点或对称轴或最大在二次项系数。确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴.岫的符号的判定：对称轴x = - tE.y 轴左边则 ab > 0， 2a右侧则HvO,概括的说就是“左同右 异”3.常数项c c决定了抛物线与y轴 交点的位置.总之，只要，八。都确定，那么这条 抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析 式，通常利用待定系数法.用待定系数 法求二次函数的解析

8、式必须根据题目的 特点，选择适当的形式，才能使解题简 便.一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般 选用一般式；（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的 横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两 点，常选用顶点式.九、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系 （二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程"、加+ C = 0是二次函 数广+版+ c当函数值y = 0时的特殊 情况.图象与x轴的交点个数：当从-强。时，图象与x轴交于 两点A（m , 0）, 0）（玉工电）,其中的为，士是一元二次方程ax2 + bx +

9、c = 0（a w 0）的两根.这两点间的距.离 AB = * 一 xj =". M，l A = 0时，图象与x轴只有一个交点；当 <0时，图象与x轴没有交点.当 >0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0; 2,当“<0式子八'（4 20）叫做二次根式，二次时，图象落在x轴的下方，无论x为任 何实数，都有）Y。.2 .抛物线>，="/+云+。的图象与y轴一 定相交，交点坐标为（0, C）:3 .二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与X轴的交点坐 标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要 利用配方法将

10、二次函数由一般式转化为 顶点式；根据图象的位置判断二次函数y = ax2 + + c 中 a , b » c 的符号， 或由二次函数中a, b,。的符号判 断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称， 可利用这一性质，求和已知一点对 称的点坐标，或已知与x轴的一个交 点坐标，可由对称性求出另一个交 点坐标.第一单元二次根式1、二次根式根式必须满足：含有二次根号“«” ；被开方数a必须是非负数。2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数 是整数，因式是整式；被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式，这样的二次 根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方

11、法 和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括 小数）或分式，先利用商的算数平方根 的性质把它写成分式的形式，然后利用 分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整 式，先将他们分解因数或因式，然后把 能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。4、二次根式的性质ax2 + bx + c = Q(a W 0),它的特征(1) (y/a)2 = a(a > 0)(2) ya = |t/| =(3) yfcib = y/a n万( > 0,Z? > 0)(4) J- =t(67>0,Z?

12、>0)V b 4h5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运 算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加 减，有括号的先算括号里的(或先去括 号)。第二单元一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方 程。2、一元二次方程的一般形式是：等式左边十一个关于未知数x的二 次多项式，等式右边是零，其中小叫 做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做 一次项，b叫做一次项系数；c叫做常 数项。二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一 元二次方程的解的方法叫做直接开平方 法。直接开平方法适用于解形如* + “)

13、2= 的一元二次方程。根据平方 根的定义可知，x + 是b的平方根，当/? > 0 时，x + a = ±yb , x =-a ± yfb , 当b<0时，方程没有实数根。2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它 不仅在解一元二次方程上有所应用，而 且在数学的其他领域也有着广泛的应 用。配方法的理论根据是完全平方公式 a2 ± 2ah + b2 = (a + h)2,把公式中的 a 看做未知数X,并用X代替，则有x2 ±2bx + b = (x±Z?)2 o3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方 程的解的方法，它是解一元二次方程的

14、 一般方法。一元二次方程+ bx + C = 0(6/ W 0) 的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手 段，求出方程的解的方法，这种方法简 单易行，是解一元二次方程最常用的方 法。三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程 a/ + x + c = 0( W0) 中，尸-蛇心叫做一元二次方程 4/+/加+。= 03工0)的根的判另|J式，通 常用来表示，即=从-4双当>0时: 一元二次方程有2个不相 等的实数根；当二0时，一元二次方程有2个相同 的实数根；当<0时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系如果方程ax2 + bx + c = 0

15、(。W 0)的两 个实数根是%x,那么玉+占=-2, a 西达=£。也就是说，对于任何一个有 a实数根的一元二次方程，两根之和等于 方程的一次项系数除以二次项系数所得 的商的相反数；两根之积等于常数项除 以二次项系数所得的商。第三单元旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点0转动一个角 度的图形变换叫做旋转，其中0叫做旋 转中心，转动的角叫做旋转角。等。（1）对应点到旋转中心的距离相3、判定（2）对应点与旋转中心所连线段的 夹角等于旋转角。二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180° ,如果旋转后的图形能够和原来 的图形互相重合，那么这个图形叫做中 心对称图形，这个

16、点就是它的对称中 心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全 等形。（2）关于中心对称的两个图形，对 称点连线都经过对称中心，并且被对称 中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对 应线段平行（或在同一直线上）且相 等。如果两个图形的对应点连线都经过 某一点，并且被这一点平分，那么这两 个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够和原来 的图形互相重合，那么这个图形叫做中 心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点五、坐标系中对称点的特征（3分）1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐 标的符号相反，即点P （x, y）关于原 点

17、的对称点为P' （-x, -y）2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐 标中，x相等，y的符号相反，即点P(x, y)关于x轴的对称点为P' (x,连接圆上任意两点的线段经过圆心的弦叫做直径。(如途中-y)3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐 标中，y相等，x的符号相反，即点P (x, y)关于y轴的对称点为P' ( x, y)第四单元圆一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段0A绕它固定 的一个端点0旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的 端点0叫做圆心，线段0A叫做半径。2、圆的几何表示以点0为圆心的

18、圆记作“。0”，读 作“圆0”叫做弦。(如图中的AB)(2)直径的CD)直径等于半径的2倍。(3)半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆 成两条弧，每一条弧都叫做半圆。(4)弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分 叫做圆弧，简称弧。弧用符号表示，以A, B为端 点的弧记作“病”，读作“圆弧AB”或 “弧 AB”。二、弦、弧等与圆有关的定义(1)弦大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)；小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)平分弦所对的劣弧三、垂径定理及其推论知二推三平分弦所对的优弧垂径定理：垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的弧。推论1: （1）平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分

19、弦所对的两 条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂 直平分弦，并且平分弦所对的另一条 弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧 相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心、 >垂直于弦直径平分弦四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一 条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称 图形。五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关 系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的 关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所推论3：如果三角形一边上的

20、中线对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦 的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个 圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦 的弦心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等。六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所 对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆 周角是直角；90°的圆周角所对的弦是等于这边的一半，那么这个三角形是直 角三角形。七、点和圆的位置关系设。的半径是r,点P到圆心0的 距离为d,则有：

21、drU>点P在。0内；d=点P在。0上；d>ro点P在。0外。八、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三 角形的外接圆。直径。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三 条边的垂直平分线的交点，它叫做这个 三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的 判定条件）圆内接四边形对角互补。九、反证法先假设命题中的结论不成立，然后 由此经过推理，引出矛盾，判定所做的 假设不正确，从而得到原命题成立，这 种证明方法叫做反证法。十、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如 下：（1）相交：直线和圆有两个公共点 时

22、，叫做直线和圆相交，这时直线叫做 圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点 时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做（3）相离：直线和圆没有公共点 时，叫做直线和圆相离。如果。的半径为r,圆心0到直线 1的距离为d,那么：直线1与。0相交U>dr；直线1与。0相切0d二r；直线1与。0相离U>d>r；十一、切线的判定和性质1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。十二、切线长定理1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这 点和切点之间的线段的长叫做这点到圆圆的切线,的切线长。2、切线长定理如果两个圆只有一个公共点，那么种。4、两圆相切、相交的重要性质从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等，圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角。十三、三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三 角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的 三条内角平分线的交点，它叫做三角形 的内心。十四、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说 这两个圆相离，相离分为外离和内含两就说这两个圆相切，相切分为外切和内切